第二章 文獻探討
第一節 一元一次方程式內涵及定義
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第二章 文獻探討
本研究的主要目的是探討國中七年級學生對於一元一次方程式單元學習錯 誤類型及迷思概念進行補救教學之個案研究。希望透過此補教教學能夠澄清學 生在學習一元一次方程式相關概念，建立正確觀念，以利後續的學習。因此，
本章文獻探討分為三個部分，第一節探討一元一次方程式內涵及定義，第二節 一元一次方程式的錯誤類型及迷思概念，第三節探討補救教學之相關研究，說 明本研究補救教學的理念、對象及學習特質、實施歷程、設計原理及教學策略 作為補救教學設計及教學流程的參考。
第一節 一元一次方程式內涵及定義
本節將一元一次方程式分成三大部分：文字符號、方程式、文字代數題即 應用題，分別說明如下：
一、文字符號（未知數）的發展
文字符號在數學領域是不可或缺的，而它的使用正是學習代數數學的重要 基礎，而人類究竟是從甚麼時間開始使用文字符號來列式解決數學問題，目前 尚無定論，也就是說目前尚待考證 。但根據國內外學者（方吉雄 ，2001；
Kieran，1992）的研究，將代數的發展分成三大階段 (一)文辭代數（rhetorical algebra） (二)簡單代數（syncopated algebra） (三)符號代數（symbolic algebra）
各階段發展的特色及代表作整理如下表 1：
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一、文字符號是可算出來的值（letter evaluated），意指文字符號代表某一個數值 如：a+8=12 中的 a 。
二、文字符號可忽略而不用（letter ignored），意指文字符號雖然出現在題目中，
但在解題的過程中可以不用考慮就可解出答案。如：a+b=7，求 a+b－1=？，
在本例中，已知題目與要求的題目中均有 a+b，故可忽略，直接將 a+b 改 成 7 ，即可算出答案為 7－1＝6。
三、文字符號當作是物體（letter as object），意指文字符號為某一代表物的簡寫 或標記（label）。 如：n 代表某一三角形的一邊，在此例中 n 代表邊長，而 不是數字。
四、文字符號當作是特定的未知數（letter as special unknown），意指文字符號可 以直接加以運算。如：一個正 n 邊形，其一邊長為 10，則正 n 邊形的周 長為 10n，這是可以直接加以運算的。
五、文字符號當作一般化的數字（letter as generalized number），意指文字符號代 表一組數字而非單一數值。如：x、y 均為正整數，若 x+y＝16 且 x＞y，則 的範圍為何？在此例中，x 代表大於 8 的數，也就是說 可以是 9，10，11，
12，13，14，而非單一數值。
六、文字符號當作變數（letter as variable），意指文字符號代表某一未定的數值。
如：2n 和 3n 的大小比較。
其中前三者是屬於較具體層面的，後三者是屬於偏向抽象思考。
另外，國內學者袁媛（1993）針對高雄市國一學生 132 位為對象，進行文字 符號概念發展的測驗，結果研究指出國一學生對文字符號的理解有很大的差 別，不管國一學生是 piaget 認知發展理論中的哪一個層次，對文字符號當作一 般化的數字，以及文字符號當作變數都感到相當困擾，難以接受。本研究為探 討學生學習一元一次方程式單元所產生迷思概念進行補救教學之個案研究，故 將重心著重在 Collis（1975）將文字符號分類的前四者，以增強學生的學習信 心。
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三、方程式（等號）
數學研究的兩大主題：「數」、「幾何」，其中「數」又分成「算數」與「代 數」，算數是精確地計算，而代數則是對未知量的探究，其目的是希望學生在學 習過程中，透過算數的基礎上尋找一套有系統化的制度能將問題簡化，發現數 學的規律性 察覺到數量模式寫成通則 建立秩序 並利用其特性來幫助我們 解決日常生活所遇到的各種問題。而一元一次方程式屬於方程式的一種，而方 程式又屬於代數的範疇。而方程式的產生是為了要解決我們日常生活所遇到的 問題，故方程式在代數的領域中扮演重要的地位（Polya,1945）。
距今四千多年前巴比倫人也曾利用方程式的概念解題，其當時典型的題目 為 已知長方形的周長及面積，求其長方形的長與寬。西元三世紀，古希臘丟 番圖（Diophantus）的墓碑也寫了一道一元一次方程式的題目。而方程一詞最早 出現在中國數學的「九章算數」中，其“卷第八”即名“方程”。數學中的方 程可以簡單的理解為含有未知數的等式，也就是等號的意義。換言之，一個式 子中含有一個未知數，而其未知數的最高次數是一次式，且中間有等號，這樣 的一個式子，就稱為一元一次方程式。
一元一次方程式中所謂的『元』，是指方程式中，代表未知數的符號，如 x，
y，z 等；而方程式中所謂的『次』，是指方程式中代表未知數的符號最高的次數，
如果未知數的符號只有一個，而且最高次數為一次，如 3x+1＝8，即為一元一次 方程式。又如 2y－x＝－9 即為二元一次方程式。例如 x
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+2x＝1，即為一元二次 方程式（林敏雪，1998）。一元一次方程式是一種平衡的觀念，但因為大部分的 學生剛接觸一元一次方程式代數的學習，經常會受到以前算術經驗的影響，往 往只注意到等號是一種解題中的結果或是答案，完全沒有數學上等價關係，也 就是沒有左右平衡的概念。因此，Kieran（1989）、Booth（1988）、Engliash＆Harford 等學者認為「等 號」是關鍵。Kieran 發現部分學生解方程式時，可能誤解教師的意思，而在解 題時產生錯誤，造成迷思概念。例如在解方程式 x+1＝7，教師告訴學生「移項
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時要換邊變號」，本來教師預期學生會將 1 換邊且變號，也就是加變成減，得到 x＝7－1，但有部分同學卻在此誤解了教師的意思，於是變成了 x＝7+1，學生的 理由是：「教師說要變號啊！」，可見學生缺乏方程式等價（平衡）概念。
四、代數文字題（應用題）
在數學中有關代數文字題的出現最早可追溯到古埃及時期，Sanford（1927）
在探討文字問題演進的過程，發現文字題的題目一直困擾著教師與學生 。 Hammer（1957）的研究中證實約有百分之七十五的學生無法清楚了解真正的問 題。Simon（1980）研究中發現學生缺乏用文字去表示未知數的能力。
Clement，Lochhead＆Monk（1981）研究指出，學生將簡單句子轉譯成方程 式時，呈現很大的失敗比例。如：將『學生人數（S）是教授人數（P）的六倍』
的敘述轉換成方程式，最常出現的錯誤類行為“6S=P”。學生之所以出現錯誤 的答案，不是簡單代數技能或是比例問題，而是在將文字轉換成方程式的過程 當中所產生的。所以，學生在解數學文字題所犯的錯誤主要的原因在於對題目 表徵結構的轉譯產生錯誤，較少是因為計算錯誤。
Muth（1991）研究指出：學生對於代數文字題的解題能力會因為文字題中 無關訊息的干擾而無法解決問題。也就是說文字題的題目較長，原本的意思是 要敘述得更清楚，讓學生明白找到關鍵詞句，但因為學生在觀念上普遍認為文 字題中任何訊息都會被使用到 反而造成學生更大的負擔，因而造成問題整合 的困難。
林碧珍（1990）的調查結果研究指出：學生解代數文字題的能力比基本計算 能力差，尤其是班上低成就的學生，勉強會閱讀題目，但不懂其意，所以不會 有解題計畫，也就是缺乏概念性的理解。
由上述文獻探討，可以知道解文字代數題對學生而言是相當難的一部份，
學生會因為看不懂題目而無法解題，或是解題錯誤。本研究是探討學生學習此 單元所產生迷思概念來進行補救教學之個案研究。因研究者研究的對象為低成
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的題目加以教學，其他的題目不列入補救教學的課程中。