象棋棋盤上的數學遊戲…老馬識途
半張棋盤上的 45 顆棋子騰空躍起，一匹馬以敏捷的馬步迅 速地將它們串連成了一條直線，避免所有棋子散落一地。
在 1783 年，晚餐後，尤拉一邊喝著茶一邊和小孫女玩耍，突然之間，煙斗
從他手中掉了下來。他說了一聲：「我的煙斗」，並彎腰去撿，結果再也沒有站 起來，他抱著頭說了一句：「我死了」，尤拉停止了生命和計算。尤拉是數學史 上最多產的數學家，現在常用的數學符號很多都是尤拉所發明的，例如：函數 符號 ( )f x ，圓周率
，自然對數的底 e，log x，sin x，cos x
以及虛數單位 i 等。尤拉恆等式
1 0 ei
曾經被兩本數學雜誌評選為史上最漂亮數學公式的第一名。尤拉本人也非 常喜歡這恆等式，原因是式子中的 0 與 1 分別是加法與乘法的單位元素，式子 中還有加法、乘法與次方三種運算，並且涵蓋複虛數 i 及圓周率
兩個重要的數 學符號。下圖則是尤拉注視著現代蘋果電腦公司在 i-phone 手機背殼上所刻的 尤拉恆等式。○←尤拉
提到尤拉就讓人聯想到他在哥尼斯堡七橋問題上的畫龍點睛之作：每座城 市被濃縮成為一個點，而橋樑被幻想成為連接兩點間的線段。這出神入化的轉 換，讓網絡圖解決了七橋問題，在當時，也只有鬼魅數學家尤拉才想得出來。
哥尼斯堡七橋問題是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士哥尼斯堡（今
哥尼斯堡七橋問題是現代圖論中的有名問題，這個問題在所有橋都只能走 一遍的前提下，如何才能把這個地方所有的橋都走遍？於 1736 年，尤拉在聖彼 得堡科學院發表了圖論史上第一篇重要文獻，圓滿地解決了七橋問題，並證明 市長要求的散步路線並不存在，也順帶解決了所謂的「一筆畫問題」。
尤拉把實際的問題簡化為平面上點與線的網絡圖，每一座橋視為一條線，
橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點，則這一點所連 出去的線數必須是偶數條。為了方便解釋，把連出去的線數為奇數的點稱為奇 點，而連出去的線數為偶數的點叫偶點，而所謂的網絡圖能一筆畫就是可以從 某起點出發，在每條線剛好畫過一次的條件下，最後畫到另一個終點，要注意 的是：起點是可以等於終點。
更詳細的討論是：如果一個網絡圖能一筆畫完成，那麼一定有一個起點開 始畫，也有一個終點。有一條邊進這點，那麼就要有一條邊出去，有進無出的 點肯定是終點，而有出無進的點就是起點。因此在「過路點」進出的邊總數應 該是偶數，即「過路點」是偶點。綜合起來，能一筆畫完成的網絡圖必須具備 以下兩個條件中的一個：
○1 如果起點和終點是不一樣，那麼起點與終點必須是奇點。
○2 如果起點和終點是同一點，那麼它也是屬於「有進有出」的類型，因此 必須是偶點，這個網絡圖上的每個點都必須是偶點。
尤拉把哥尼斯堡附近的地圖轉化成可以用一筆畫思考的網絡圖，其中 A,B,C,D 四點代表四塊區域濃縮所產生的點，而點與點的連線就是橫跨區域之 間的橋樑。
因為四個點都是奇點，所以無法將這網絡圖一筆畫。把這線條圖上的推論 還原回實際的問題，就是告訴我們：遊覽哥尼斯堡的七座橋，而且每座橋只能 經過一次的散步路線是不存在的。
哥尼斯堡七橋問題是一道「無解」的問題，而這個無解並不是幾何學裡的 邊長與角度兩個量度上的無解，而是將城市縮成一個點，橋樑當成連接點與點 之間的線段，透過有出就有進的一筆畫原理說明「哥尼斯堡市長所要求的散步 路線是不存在的」。尤拉的一筆畫作法使幾何學擺脫了測量距離與角度的負擔，
而開啟了現代拓樸學的一扇窗。有了七橋問題的經驗之後，碰到幾何問題不一 定要從長度與角度的幾何量著手，也可以考量其他的方法。
底下就是一道典型的幾何謎題：切下棋盤斜對角線上的兩個邊角，如下左 圖所示，然後你是否可以用 31 張長方形骨牌去完全覆蓋這個棋盤？每一張骨牌 的大小必須剛好覆蓋棋盤上相鄰的兩個正方格。
這道謎題對經驗不足的初學者來說，簡直是一道難題，但對看過解答的老 鳥來說，卻又是送分題。我們只需將棋盤塗成黑白相間的西洋棋盤樣式，如上 右圖所示，接著發現：每塊骨牌無論橫著擺或者縱著放，都剛好占據一格黑色 與一格白色的正方格。而這棋盤一共有 62 格正方格，需要 31 塊骨牌才能蓋滿，
者皆有」也是各說各話的問題。像網絡圖的一筆畫原理是因七橋問題而誕生，
還是七橋問題只是一個動機，讓早就存在的數學知識「一筆畫原理」被數學家 發現呢？接下來是遊戲時間，讓我們介紹一道象棋的啟蒙遊戲…老馬識途。
中國象棋盤由九道直線和十道橫線交叉組成，棋盤上共有 90 個交叉點，象 棋子就擺放和活動在這些交叉點上，棋盤分成兩個半張，每半張都是由九道直 線和五道橫線交叉組成，共有 45 個交叉點：
一隻馬能否跳遍半張空象棋棋盤上的每一個交叉點？答案是肯定的，稍具 象棋知識的人，都能準確回答這個問題。但是若進一步要求：是否能找到一條 路徑，讓馬跳遍半張空棋盤上所有交叉點的過程中，任意一個交叉點只允許被 馬踩過一次？後面這個問題，恐怕要難倒許多人了。這個古老難題，在西方稱 之為「騎士旅遊」，早在十六世紀時，瑞士數學家貝爾特蘭德即提出這個問題，
著名的大數學家尤拉在 1759 年開始研究它，並獲得了一般解法。
讓我們將思緒跳回到半張象棋棋盤上，如下圖，將 45 個交叉點塗上黑、白 的顏色，計算一下，有 23 個交叉點被塗上黑色，其餘的 22 個交叉點被塗上白 色（包括馬所在的位置也是白色）：
馬從白色交叉點出發，是否可以找到一條路徑，讓每一個交叉點剛好被馬 踩過一次？用馬走的日步模擬一下，不難發現：前後兩步分別會落在不同顏色 的交叉點上。既然馬從白色交叉點出發，這代表馬的奇數步落在白色交叉點，
而偶數步停在黑色交叉點上。又半張棋盤一共有 45 個交叉點，若馬找到每一個 交叉點剛好被踩過一次的旅行方式，則奇數步有 23 步，偶數步有 22 步，也就 是說，馬會踏過 23 個白色交叉點及 22 個黑色交叉點。這顯然與半張棋盤上的
交叉點顏色分布不合。那就是說，馬從白色交叉點出發，是沒辦法完成旅行的。
最後來一道象棋專家的餘興節目，我們把馬起始位置改變一下，讓馬從黑 色交叉點開始跳躍，結果又如何呢？各位可以從下圖中動手嘗試看看，能否讓 馬剛好踩過每個交叉點一次的前提下，讓馬以日步完成半張象棋棋盤的旅行：
這是一道帶有東方色彩的餘興節目，「馬走日步」更是道地的中國口味。在 中國，馬是一種獨特的動物，牠可文可武，可以是人文、藝術與棋藝的主題，
也可以是主導整齣戰爭歷史的利器；可以是貴族用來標示身分地位的象徵，也 可以是攸關庶民生活的重要寄託。我們很難找到一種功能如此多元、指向如此 豐富、可平實又可高貴、與人長期相伴的動物。
在餘興節目中，稱這遊戲為老馬識途，是有數學典故的，而這典故跟唐朝 及中國數學家陳省身有關聯。唐太宗昭陵上，有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世，
俗稱昭陵六駿（白蹄烏、青騅、颯露紫、拳毛騧、特勤驃、什伐赤）。這六匹戰 馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的坐騎，並命唐初大畫家閻本立繪草圖，
監石雕而成，因而有
「秦王鐵騎取天下，六駿功高畫亦優」
這樣的詩句流傳於世。這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於 1914 年被盜，運往 美國，現藏於美國費城賓夕法尼亞大學博物館，它們的複製品與其餘四匹駿馬 的真品陳列於西安碑林博物館。數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾，特 在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的扉頁上，用毛筆書寫著「老馬識 途」四個中文字，並附上拳毛騧的圖片。渴望它們早日回歸故里。
唐太宗懷念的這六駿，有的在箭雨中穿行，帶傷而馳；有的跨河飛奔，越 野而去；有的緩步慢行，若有所思。閻本立所草繪的六匹駿馬中，三匹作騰蹄 飛奔之狀，三匹為站立徐行的姿勢；有些馬則身中數箭，甚至有一幅是描述邱 行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景：
最後讓我們回到尤拉，如開頭所言，複虛數單位 i 是尤拉發明的，想必尤 拉在方程式上也有很大的貢獻，這裡提出一則尤拉在解方程式上的天才之旅。
在「代數基本定理」尚未被證明正確之前，萊布尼茲就質疑過「每個實係數多 項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式的乘積」的正確性。數學家白努 力更舉一個精確的例子說：「四次多項式
4 3 2
( ) 4 2 4 4 f x
x
x
x
x
就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積」。然而，代數大師尤拉在 1742 年時，將白努力所舉的四次多項式 ( )f x 分解 為二次多項式
2 2 4 2 7 1 4 2 7 7
x
x
與另一個二次多項式
2 2 4 2 7 1 4 2 7 7
x
x
的乘積。如果再套一下一元二次方程式根的公式解，那麼尤拉就把這個四次多 項式方程式的四個根都精確的表達出來了。真不知道這神奇的因式分解是如何 想出來的！
像這種類似的例子還有許多，例如將乘式
2 10 2 5 10 2 5 2 10 2 5 10 2 5
5 5
2 2
x x x x
乘開，也是一個以整數為係數的四次多項式。
尤拉是第一位將 1
的平方根 1定義為 i 的數學家，究竟在那個時代，人 們如何理解 i 這個「數」呢？我們以尤拉的一段話來作結束：「所有可能的數不是大於 0 就是小於 0 或等於 0，所以負數的平方根就不能是個數。既然是不可 能的數，…，我們只能稱之為虛數，因為只有在虛幻中才會有這樣的數。」
