勾股定理證明-A010
【作輔助圖】
1. 延長AB ，且在 AB 上任取一點D，並從D點作 AD 的垂線，交 AC 於E點。
2. 在AE 上取一點F，使得 AF AD。 3. 從F點作 AE 的垂線，交 DE 於 G 點。
4. 連接 AG 。
A B
A
C
D E F
G
【求證過程】
在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中部分的三角 形全等或相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。
1. 首先證明三角形 ADG 與三角形 AFG 全等：
因為ADG AFG 90 , AD AF 且 AG AG，所以 ADG AFG
( RHS 全等), 可推得
. DGFG
2. 再證明三角形 ABC 與三角形AED、三角形 GEF 皆相似：
因為ACB ADE 90 且 BAC EAD，可推得ABC ~AED(AA 相似)，同
理，可推得ABC~GEF，所以
~ ~ .
ABC AED GEF
3. 利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形AED與三角形 GEF 相似可知：DE EF: AD FG: ，整理得
. DE FG EF AD DE DG EF AD
4. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形AED與三角形 GEF 相似可知：AE EG: DE EF: ，整理得
2 2
, DE EG EF AE
DE DE DG EF AF EF DE DE DG EF AD EF
將第 3 點等式 DE DG EFAD代入上式，得
2 2
2 2
2 .
DE DE DG DE FG EF DE DE DG EF
5. 再利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形 GEF 相似可知：AB EG: BC EF: ，整理得 ,
AB EF BC EG
又可知：AB EG: AC FG: ，整理得
. AB FG AC EG
6. 將第 5 點的兩個等式平方後相加整理，推出勾股定理的關係式：
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 ,
AB EF AB FG BC EG AC EG AB EF DG BC AC EG
AB EF DG BC AC DE DG
AB EF DG BC AC DE DE DG DG
將第 4 點的等式DE2 2DE DG EF2代入得
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
AB EF DG BC AC EF DG AB BC AC
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(6/7), 171.
2. 心得：
此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定 理，而此證明的相似三角形個數非常多，所以並不是只有此方法，可以利用 圖中其他三角形相似，一樣可以推出勾股定理，此證明與前面的相比，過程 複雜不少，花了許多等式才推出勾股定理，學生較難理解。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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