阿波羅尼奧斯問題1
12 精準的數學工藝……尺規作圖問題
直尺功能：僅能畫通過兩個已知點的直線；
圓規功能：僅能畫以一已知點為圓心，已知線段為半徑的圓。
在這樣嚴格要求之下，且在有限步驟內，所能作出的點、直線、線段長、角或圓才叫做 可以尺規作圖。
在繼續探討尺規作圖之前，先回憶一下國中所學過的三大重要的尺規作圖方法：
Ⅰ：給定任一線段，作此線段的「中垂線」。
Ⅱ：給定任一線段，求此線段的「中點」（在(1)的中垂線與此線段的交點即是）。
Ⅲ：給定任意一個夾角，畫此夾角的「角平分線」。
1 阿波羅尼奧斯問題是阿波羅尼奧斯在他的著作《論接觸》中的一則尺規作圖問題。題 目是說：「平面上給定三個互不相交的圓（含圓心），利用直尺與圓規求作一圓，使得此 圓與給定的三圓都外切。」據說阿波羅尼奧斯在書中解決了這個問題，可惜的是，《論 接觸》這本書早已失傳了。
12.1 尺規作圖的意義與定義
『尺規作圖』，顧名思義，就是利用直尺與圓規，
在有限步驟內作圖。尺規作圖包括作出數線上的點
（或線段長）、平面上的點（或座標）、直線、夾角、
圓或其它圖形。
像這樣，找點、畫線、求角、作圓的尺規作圖問題，
首先需對可以使用的工具「直尺」與「圓規」作精 準的規範與要求：即直尺上僅刻有單位長度的刻 度，而且直尺與圓規的功能僅為
有了國中三大尺規作圖方法，我們可以瞭解：給定一個三角形之後，此三角形的五心（垂 心、重心、外心、內心、旁心）是可以尺規作圖的。除了國中三大尺規作圖方法之外，
下圖中的四種作圖方法也是我們耳熟能詳的：
Ⅳ：給定直線 L 及 L 上一點 P 求作過 P 點且與 L 垂直的直線
Ⅴ：給定直線 L 及 L 外一點 P 求作過 P 點且與 L 垂直的直線
Ⅵ：給定直線 L 及 L 外一點 P 求作過 P 點且與 L 平行的直線
Ⅶ：給定長度為 a 與 b 的線段 求作長度為 ab 的線段
將第Ⅶ作圖法稱為開根號作圖法：
開根號作圖法：若長度為 ,a b 的線段是給定（或可作圖）的，則長度為 a b 的線段也是 可以尺規作圖的。另有一個經常用到的比例式作圖法。
比例式作圖法：若長度為 , ,a b c 的線段是已知（或可作圖）的，且 x 滿足比例式 x b,
a c
則長度為 x 的線段也是可以尺規作圖的。我們將 x 的尺規作圖方法用下圖來說明：
12.2 尺規作圖的初淺推論
有了前一節的尺規作圖方法之後（特別是開根號與比例式作圖法），有更多的線段長是 可以尺規作圖的。
定理 12.1 若長度為 ,a b 的線段是給定（或可作圖）的，則長度為 , , , b,
a b a b ab a
a 的線段也是可以尺規作圖的。
【證明】ab a, b可以尺規作圖是容易的。 ab 可以尺規作圖是由比例式作圖法的比例式
1 ab b
a 得到（ , ,1a b 是可作圖的）。同樣，b
a 可以尺規作圖是由比例式
1 b a b
a
得到。而 a 可以尺規作圖是由開根號作圖法的 1 a a 得到。
定理 12.2 若數線上座標為 , ,a b c 的點是給定（或可作圖）的，則一元二次方程式
2 0
ax bx c 的根是可以尺規作圖的。
【證明】一元二次方程式的根為
2 4
2 .
b b ac a
由定理 12.1 知道：b b, 24ac a,2 都是可以尺規作圖的。因此，再由定理 12.1 知道：
2 4
2
b b ac a
是可以尺規作圖的。
誠如前言，尺規作圖是在數線上求點或者是在平面上找座標、畫角、作線、求圓等。但是 有時候，數線上求點、平面上找座標、或者平面上畫角度有可能是同一回事。例如下圖
告訴我們：
在數線上求作1
2所在位置的點。
在平面上畫 60的角度。
在平面上找座標為 1 3 2, 2
的點。
這三則尺規作圖問題是等價的。又因為「在數線上求作1
2所在位置的點」相當於「求一 單位線段的中點」。因此根據國中三大尺規作圖方法：上述三則問題都可以尺規作圖。
例題 1 正五邊形可以尺規作圖。
【證明】在單位圓上，五個點
2 2 4 4 6 6 8 8
(1,0), cos ,sin , cos ,sin , cos ,sin , cos ,sin
5 5 5 5 5 5 5 5
剛好構成正五邊形。因此，只要證明點座標 2 2 cos ,sin
5 5
可以尺規作圖，那麼正五邊形就可以尺規作圖。由此知道：關鍵在 2 cos 5
是否可以尺規
作圖。但是由三角學知道
2 1 5 2 2
2cos 2cos 1 0 ),
5 2 ( x 5 滿足方程式x x 所以 2
cos 5
可以尺規作圖。即正五邊形可以尺規作圖。
在這一節裡，我們建立了一些初淺的可尺規作圖的理論。但是有時候，理論知道可以尺 規作圖是一回事，如何寫下漂亮的尺規作圖過程又是另一回事。底下就是一則很好的例子。
例題 2 平面上給定一個三角形 ABC （ BCa， A點至 BC 的距離 h ）。試問：圖中所 畫的正方形是否可以尺規作圖。
【證明】如下左圖，添 A至 BC 垂直線，並設正方形的邊長為 l。由三角形相似性質得到：
1 2
1 1 2 2
x x . l
h x y x y
由此等式推得
1 2
1 2 1 2
1 1 x x 1.
l a l
h x x y y a l a h
因此
ah . l a h
因此，此正方形是可以尺規作圖的。
從上述 l 的公式知道：此正方形是可以尺規作圖的。但是如何畫此正方形呢？比較遜的 方法是：先在數線上作出 l 的長度。再作一平行於 BC 且相距為 l 的直線。那麼此直線與
,
AB AC 相交的點即為正方形的兩個頂點。
在這裡，我們提出一個比較賞心悅目的作圖方法：
步驟一：以 BC 為邊，畫一正方形（如圖虛線部分）。
步驟二： AP 與 BC 的交點為欲作正方形之頂點。
12.3 尺規作圖的例子
例題 3 如下圖：以原點 (0,0)O 為圓心的單位圓內，給定一定點 ( , )A a b ，並畫通過 A 點 與 x 軸垂直的直線。
(1) 證明：與此直線相切於 A 點，又與單位圓內切的圓O 是可以尺規作圖的。 1 (2) 寫下尺規作圖的過程。
【證明】
(1) 設此圓的半徑為r ，那麼 (ar b, )為此圓的圓心，且滿足
2 2 2 2 2
2 2
( ) 1 ( ) (1 )
1 .
2(1 )
a r b r a r b r a b
r a
因為 ( , )A a b 為給定的點，所以半徑r 是可以尺規作圖的。
(2) 比較不上道的尺規作圖方法為：將(1)的證明中所得到的r ，利用尺規作圖作出，再 畫所要的圓。在這裡我們提供一則比較賞心悅目的作圖方法。首先觀察， ,A B 與 (1,0) 三點好像會共線。首先證明這個觀察。令直線 BA 與 x 軸相交於 C 點。顯然O O B 三, 1, 點共線，又三角形BO A 為等腰三角形（因為 ,1 A B 為以O 為圓心的圓上）1 。因為O A 平1 行於 OC，所以三角形 BOC 亦為等腰三角形。因此BO 1 OC，即C(1,0) ，得證。
有了 , ,(1,0)A B 三點共線之後，求內切圓的尺規作圖問題就漂亮多了：
步驟一：畫通過 (1,0) 與 A點的直線，令其交單位圓於 B 點。
步驟二：作線段 AB 的中垂線，令其與直線 OB 相交於O 。 1
步驟三：以O 為圓心，1 O A 為半徑，所畫的圓就是我們要的圓。 1
例題 4 如下圖：以原點 O 為圓心的單位圓內，給定一定點 A，並畫通過O 點與 A點的 直線交圓於 B 點。如果OA OP 1，則稱 P 點為 A點的反演點。試問： P 點是否可以尺 規作圖。
【證明】略。
12.4 古希臘時代三大尺規作圖難題 古希臘幾何的三大尺規作圖難題：
化圓為方問題：求作一正方形，使其面積與半徑為 1 的圓相等。
倍立方問題：求作一個正立方體，使其體積與邊長為 1 的正方體的 2 倍。
三等分角問題：將一給定的角三等分。
這三大尺規作圖問題已知道是不可以尺規作圖的，其中三等分角問題，有些角是可以三 等分的，但是大部分的角都沒辦法三等分（例如 60就沒辦法三等分，也就是說， 20是 沒辦法尺規作圖的）。
在 1796 年，高斯證明正十七邊形是可以尺規作圖的。這是繼正三角形，正五邊形之後 下一個可以尺規作圖的質數邊正多邊形。相傳阿基米得可以做正七邊形，事實上，正七 邊形是沒辦法尺規作圖的。最後值得一提的是，馬歇羅尼於 1797 年證明只用圓規可以 作所有尺規作圖的題目。這就是有名的『莫爾-馬歇羅尼定理』。
習題 1 給定19的角。試著以尺規作圖作出角度為1的角。
習題 2 給定一圓及圓上一點 P 。問：通過 P 且與此圓相切的直線是否可尺規作圖？
習題 3 試著以尺規作圖作出長度為
2 3 的線段長。
習題 4 設 , ,A B C 為平面上不共線的三已知點。作一直線使得A B C 至直線的距離都相, , 等。一共可作出有多少條這樣的線？
習題 5 如圖所示，給定直線 L 及同側的 ,A B 兩個點。求作過 ,A B 兩點，且與直線 L 相切 的圓。
習題 6 給定兩相離的圓及它們的圓心。求作此兩圓的內、外公切線。
習題 7 給定直線 L，L 上一定點 B 及 L 外一點 A。求作與直線 L 相切於 B 點，又通過 A點 的圓。
習題 8 阿尺正在做數學老師出的一則尺規作圖問題：作通過點 P 且垂直直線 L 的直線。
阿尺正拿著圓規，隨便在直線 L 上找一個點O 當圓心，以任意的半徑畫出一圓
（如圖所示）。就在這時候，阿尺的鄰居找他玩遊戲，阿尺馬上丟下作業，玩遊 戲去了。一直玩到很晚，當阿尺回家重新寫作業時，不知圓規跑到哪裡去了。
如今，阿尺僅剩下直尺可用。試問：阿尺有辦法完成他的尺規作圖問題，趕在 隔天早上交給老師嗎？
習題 9 拿破崙是個不錯的幾何學家，他提出過這樣一個問題：「紙上有一個圓及該圓的 圓心，只用圓規（沒有直尺），如何把這圓的圓周四等分。」你能解決拿破崙這 問題嗎？
動手玩數學
在平面上給定三條兩兩平行的直線L L L （1, 2, 3 L 與1 L 相距為 a ，2 L 與2 L 相距為 b ，3 L 與 1
L 相距為 a3 b）。是否可以分別在直線L L L 上各取一點 , ,1, 2, 3 A B C 使得 ABC 是一個正三 角形。
挑戰題
如圖所示，點 P 在射線L L 的銳夾角區域內。試以尺規作圖，作一通過 P 點，且與射線1, 2
1, 2
L L 相切的圓。
參考文獻
[1] Robin Hartshorne, Geometry: Euclidean and Beyond, UTM, Springer.
[2] A. S. Posamentier and C. T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publications.
精準的數學工藝……尺規作圖問題的習題解答
習題 5 作圖步驟如下：
(1) 作直線 AB ，與直線 L 交於 P 點。
(2) 求作長度 PA PB 。
(3) 在直線 L 上取一點 D 使得 PD PA PB （這樣的 D 點有兩點）。
(4) 過 D 點作垂直於 L 的垂線，作 AB 的中垂線。兩線相交於 O 點。
(5) 以 O 為圓心， OD 為半徑，此圓為所求。（會做出兩個圓，除非 AB 與 L 平行）
習題 6
作圖步驟如下：設圓心為 ,A B 兩圓的半徑分別為r r ： 1, 2 (1) 以 B 為圓心，畫一半徑為r3 r2 r1的圓1。
(2) 因為r AB 是可以作圖的，所以3, r4 AB2r32 也是可以作圖的。以 A為圓心，畫一 半徑為r 的圓4 2，令 1, 2兩圓相交於 C 點（其實相交於兩個點，取其中的一個點 叫 C ）。（由畢氏定理知道：三角形 ABC 是直角三角形。）
(3) 射線 BC 交以 B 為圓心的圓於 D 點。
(4) 過 D 點作平行於 AC 的直線，此直線為兩圓的外公切線之一，另一外公切線同理可 得到。
(5) 內公切線的作法與外公切線的作法雷同，讀者練習模仿即可。
習題 7 作圖步驟如下：
(1) 作 AB 的中垂線，過 B 點作 L 的垂線，令兩線相交於 O 點。
(2) 以 O 為圓心， OB 為半徑畫一圓，此圓為所求。
習題 8
如下圖，設圓與直線的交點為 A與 B 。連接直線 PA 與 PB，令這兩條直線與圓相交於 H 與 D 兩點。再連接直線 HB 與 AD ，令其交點為Q 。接下來證明：直線 PQ 與原來的水平 線垂直。因為 AB 是直徑，所以 AHB ADB，即對三角形 APQ 而言，QH 垂直 AP ，
PD 垂直 AQ 。因此 B 是三角形 APQ 的垂心，所以 AB 與 PQ 必垂直。
習題 9 假設此圓的半徑為 r 。將作法分成五部分：
(1) 在圓周上任取一點 A ，並以 A 為圓心， AOr為半徑畫一弧（如下圖左圖所示）交 圓周於 X 點；再以 X 點為圓心， AOr為半徑畫一弧（如下圖左圖所示）交圓周於
Y 點；再以Y 點為圓心， AOr為半徑畫一弧（如下圖左圖所示）交圓周於 C 點。
顯然， , ,A O C 三點共線（因為只有圓規，所以這條直徑的線是無法畫出來的）。 (2) 考慮三角形 AXY ：因為AX XY r, XAY 30，所以AY 3r。同理，
3 CX r 。
(3) 分別以A C 為圓心，, AY 3rCX為半徑畫一弧（如下圖左圖所示），設兩弧相交
於 Z 點。
(4) 因為 Z 點在線段 AC 的中垂線上，所以三角形 AOZ 是直角三角形。利用畢氏定理得到
2 2 2
2 . AO OZ AZ OZ r
(5) 考慮下圖的右圖：以 A 為圓心，OZ 2r為半徑畫一圓交此圓於 ,B D 兩點；再以 B 為圓心，OZ 2r為半徑畫一弧交此圓於 C 點。容易推得 , , ,A B C D 剛好將此圓周四 等分。
動手玩數學參考解答
如下圖：設三角形 ABC 是邊長為 d 的正三角形。由角度關係知道
sin a, cos 30 b.
d d
因此
2 2
2 2
2
2 2
cos 30 cos 30 cos sin 30 sin 3cos
2 2
3 ( 2 )
1 sin
4 4
2 .
3
b b
d d
a b d d a b
d a ab b d
由 d 的公式知道：正三角形是可以尺規作圖的。
挑戰題參考解答 作圖步驟如下：
(1) 作 A 的分角線 L 。
(2) 過 P 點作直線 L 的垂線，此垂線交 L 於 H 點，交L 於 B 點。 2 (3) 在線段 HB 上取一點 P使得 HPHP。
(4) 求作長度 BP BP 。
(5) 在線段 AB 上取一點 D 使得 BD BP BP 。 (6) 過 D 點作與L 垂直的垂線，交直線 L 於O 點。 2 (7) 以 O 為圓心，為 OD 半徑，此圓即為所求。
