勾股定理證明-G028
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 在正方形 AHKB 的內部，從兩個頂點 ,A K 作平行線平行 CB ，從兩個頂點H B 作平, 行線平行 CA ，交於 , , ,O P Q R 四交點，
3. 在 BR 上取一點T ，使得 BT OR，連接 AT 。 4. 在 HP 上取一點 S ，使得 HS QP，連接 KS 。
5. 在AC AG 上分別取二點, N L ，使得 AN, ALOR，作正方形 ANML 。 6. 連接 FN , FM , FL 與 EB 。
A B
C
D E
G
H K
L M
N
P Q F
O
S
R
T
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，先證明正方形 CBDE 與正方形 CAGF 所切割出的區塊，能拼合成正方形 AHKB 的區域，再由面積相等的關係，最後 推出畢氏定理的關係式。
1. 由 AB AH HKKB與平行關係得到對應角相等，可證明三角形 CAB 、三角形 PAH 、三角形 QHK 、三角形 RKB 與三角形 OBA皆全等：
因為四邊形 ACBO 為長方形，所以
. CAB OBA
因為 AH AB，且PAH 90 BAO CAB與APH ACB90，所以 CAB PAH
(AAS 全等).
同理，由 AB AH HK KB與平行關係得到對應角相等，可證明 . CAB PAH QHK RKB OBA
2. 證明正方形 OPQR 與正方形 ANML 全等：
由證明 1.可知四邊形 OPQR 四邊長皆為 CA CB ，且由平行關係可得四頂角皆為直 角，所以四邊形 OPQR 為正方形，又 AN OR，因此可得
ANML OPQR 正方形 正方形 ﹒
3. 證明三角形 DEB 、三角形 CBE 、三角形 QSK 與三角形 OTA 皆全等：
由證明結果 CAB QHK OBA可知 QK OACB，又 HS QP，可得到
( ) ( )
QS HQHS CA CA CB b b a a BC CE KQ， 又因為SQK ECB90，得 CBE 和 QSK 均為等腰直角三角形，所以
CBE QSK
(SAS 全等).
同理可證依照對稱性及全等關係可得
DEB CBE QSK OTA
(SAS 全等).
4. 證明三角形 CAB 、三角形 CFN 與三角形 GFL 皆全等：
因為 NA OR CA CB ，得到
( )
CN CA NA CA CA CB CB 又 CF AC﹐FCN ACB90，所以
CFN CAB
(SAS 全等).
同理可證
CAB CFN GFL
(SAS 全等).
5. 證明三角形TBA 、三角形 SHK 、三角形 MNF 與三角形 MLF 皆全等：
因為 TBA ＝ SHK ＝ CAB ﹐MNF90 CNF 90 CBA CAB，同理 MLF CAB
，所以 TBA SHK MNF MLF，又 ABKH FN FL與
BT SH MN ML，所以
TBA SHK MNF MLF
(SAS 全等).
6. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
( ) (
)
( ) (
)
QSK OTA APH
RKB TBA SHK
DEB CBE FCN GFL
MNF M
AHKB
OPQR
ANML
CBDE CAGF
LF
正方形 面積＝ 面積＋ 面積 ＋ 面積
＋ 面積＋正方形 面積＋ 面積＋ 面積
＝ 面積＋ 面積 ＋ 面積＋ 面積
＋正方形 面積＋ 面積＋ 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積
得到
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍
Walter Lietzmann (1930). Der pythagoreische Lehrsatz.Leipzig & Berlin : Teubner,15.
2. 心得：此圖形分割的結構很特別，作了許多的輔助線，且並不完全用到其它證明常 用的平行線，而是利用了對角線的切割方法，非常適合讓學生來體驗拼圖操 作的證明樂趣，拼圖過程中也多用到旋轉的方法，必須將元件之間的長度、
角度的關係熟悉了才能拼湊更順暢。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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