隱藏的和諧比看得見的和諧來得好…隱藏在天平上的和諧

23 隱藏的和諧比看得見的和諧來得好…隱藏在天平上的和諧

每個學校，團體或教會都立有校規，教條或戒律。只要人人遵守這些條款，學校或團體 就會和氣與和諧。但是，可曾想過，如果沒有這些白紙黑字的規矩，那麼和諧還會存在 嗎？如果會，那又何必立這些規矩或條款呢？所以這些看得見的和諧僅是表面的﹑膚淺 的，事實上應該說這些看得見的和諧根本就是不和諧的意思。所以我們要追求的，並不 是這種看得見的和諧，而是隱身在後的那種隱藏的和諧。想想看，我們彎曲的背脊中，

一定有某種隱藏的和諧存在，否則天天彎曲扭轉它，為何它不容易受傷或折斷呢？所以 兩千多年前的希臘哲學家赫拉克利特就說過「隱藏的和諧比看得見的和諧來得好。」

《數學傳播季刊》是適合高中以上程度讀的數學刊物，也是國內出版的少數中文數學刊 物之一。季刊的稿件是由國內數學專家審查，有幾次我也審查過它們的文章。最近一次 是審查一篇利用天平解決一道龍騰《數學新天地》問題集裡的題目。「當天平平衡時，

天平兩邊的重量相等」，這是大家都清楚的一個原理。但是，你可曾知道，這麼簡單的 原理背後卻隱藏著深刻的數學和諧。挖掘隱藏的和諧是學數學的一大樂趣，也是科學研 究的重要目標。這裡要介紹的這位奇人，不僅深諳天平裡的和諧，也將這和諧應用在一 道與減法有關的數字分群問題上。

23.1 梅齊里亞克的砝碼問題

「槓桿原理」和「力矩」的觀念是阿基米德發現的，天平是反應這些觀念的實際工具，

這裡我們要介紹一道與這些觀念相關的砝碼問題：

一位商人有一個 40 磅的砝碼，由於跌落在地而碎成四塊。後來，秤得每塊碎片的重量 都是整數磅，而且可以用這四塊來秤從 1 至 40 磅之間的任意整數磅重物（某些砝碼可 以與秤物放在天平同一邊的秤盤裡）。問這四塊砝碼碎片各重多少？這就是有名的巴 舍‧德‧梅齊里亞克的砝碼問題。

如下圖所示，令四塊砝碼碎片各重1,3,9,27磅，秤物重 m 磅。利用「天平平衡代表左﹑

右秤盤等重」原理得知

m    9 3 27

m   3 27 9   21

▲ 天平兩邊秤盤放置砝碼與秤物的示意圖

上圖中並沒有用到 1 磅重的砝碼，所以將它放置在天平的左﹑右秤盤外。為了真實的反 應左﹑右秤盤裡的砝碼及秤盤外的砝碼，我們可以將秤物重 m 重新寫成

0 1 1 3 ( 1) 9 1 27 m        

的形式，其中係數 0 的砝碼代表未被使用的砝碼，係數 1 的砝碼代表放在右秤盤砝碼，

係數 1 的砝碼代表放在左秤盤砝碼。

〈梅齊里亞克的砝碼問題〉

使用磅數為1,3,9,27磅的四個砝碼可以秤得從 1 至 40 磅之間的任意整數磅秤物。

因為 1 磅重的砝碼可以放在左秤盤裡﹑右秤盤裡或秤盤外三種情形，同理，3,9,27磅重 的砝碼也都各有三種不同的放法。所以四塊砝碼一共有

3 3 3 3 81    

① 四塊砝碼可以秤最重的秤物是幾磅。

② 磅數 m 的秤物會不會有兩種不同的秤法呢？

③ 因為秤物放置在左秤盤，而且秤物的重量是正整數磅，所以左秤盤的砝碼總重必須 小於右秤盤的砝碼總重。上述 81 種砝碼放法中有幾種符合這原則。

將1,3,9,27磅這四個砝碼都放在右秤盤時，秤物的重量（磅）為

1 3 9 27 40.

m     

顯然的，這是四塊砝碼可以秤得最重的秤物重量，如此解決了①的問題。

接著討論②：如果 m 可以有兩種不同的秤法，那麼代表

1 2 3 1 2 3

0 1 1 3 2 3 3 3 0 1 1 3 2 3 3 3

ma               a a a b b b b

有兩種不同的解a 與_i b，其中_i a 與_i b 都是_i 1,0,1的數。但是將 m 除以 3，從a 得餘數為_i a ，₀ 從b 得餘數為_i b 。所以₀ a₀ b₀。將兩式各減去a₀ b₀，再除以 3 得

1 2 1 2

1 1 2 3 3 3 1 1 2 3 3 3 .

a           a a b b b

同法（除以 3，求餘數）可得a₁b₁。依此類堆a₂ b a₂, ₃ b₃。這告訴我們：任何磅數 m 的秤法不可能有兩種（至多一種）。

最後探討③：當所有四個砝碼都不放在左﹑右秤盤上時，不需要秤物（或秤物m0） 天平會平衡，除了這種放法之外，任何一種放法不是左秤盤比較重，就是右秤盤比較重。

所以 81 種砝碼放法中，左秤盤的砝碼總重大於右秤盤的砝碼總重的放法有 81 1 40

2

 

種，也就是說，有 40 種不同的砝碼放法可以量得秤物重量（要求秤物為正整數磅，且 秤物放在左秤盤）。

綜合①、②、③知道： 81 種砝碼擺放方式中，有 40 種可以秤得左秤盤上的秤物重量，

每種擺法秤得的重量都不同，而且重量介於 1 至 40 磅之間。這就是說，使用磅數為 1,3,9,27 磅的四個砝碼可以秤得從 1 至 40 磅之間的任意整數磅秤物，而且秤法都只有唯 一的一種。

有關巴舍‧德‧梅齊里亞克的砝碼問題，有底下四件事情需要補充：

(1) 如何秤m25磅的秤物，也就是解

1 2 3

0 1 2 3

25a    1 a 3 a   3 a 3

的意思，但要求a a a a 只能是₀, ,_{1 2}, ₃ 1,0或 1 的數。將兩邊除以 3 得餘數分別為 1 與a ，₀ 即a₀ 1。此時，等式可化簡為

1 2

1 2 3

8  a 1 a   3 a 3 . 同法可得a₁ 1,a₂ 0,a₃ 1，即

0 1 2 3

25 1 3       1 3 0 3 1 3 , 其對應的示意圖為

(2) 除了像(1)這樣的方法求得係數外，也可以利用 3 進位來求m25的表示式。因為 25 的 3 進位表示法為

0 1 2

1 3    2 3 2 3 . 將表示法中的係數 2 用 1 3  取代，得到

0 1 2

0 1 2 2 3

0 1 2 3

25 1 3 ( 1 3) 3 ( 1 3) 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 0 3 1 3 ,

         

         

       

這就是m25的表示式。

(3) 梅齊里亞克的砝碼問題可以推廣為：使用磅數為

1 2 3

1,3 ,3 ,3 , ,3ⁿ 磅的n1個砝碼可以秤得從 1 至

3 1 1 2

n 

磅之間的任意整數磅秤物。

(4) 如果只能使用1,3,9 磅的砝碼，那麼可以秤得從 1 至 13 磅之間的任意整數磅秤物。

23.2 一道數字的分群問題

當砝碼可以放置在天平的兩邊秤盤時，可以秤的秤物重量 m 就豐富許多了。但是，這裡 面是否還隱藏著一些你沒想到的數學呢？就從底下的這道題目開始吧！

題目：將

1,2,3,4, ,13

這十三個數字分成三群，使每群中的任兩個數字差都不在該群內。

這是龍騰數學新天地第十二期《問題集》中的一道問題。分法有許多種，本人原本是希 望讀者採取土法煉鋼的方法，沒想到有一位高中老師將本問題與梅齊里亞克的砝碼問題 連結，得到這問題的另一種有系統且完整的妙解。就讓我們來欣賞這位奇人突如其來的 妙想。

〔高中老師的妙想〕

梅齊里亞克的砝碼問題告訴我們，用13 ,3⁰ 3 ,9¹ 3² 的砝碼就可以秤出1,2,3, ,13 這十三個數字。例如

0 1 2

0 1 2

2 1 3 1 3 0 3 ; 12 0 3 1 3 1 3 .

      

      這兩個例子所代表的天平示意圖為：

從示意圖發現，m2與 12 所對應的右秤盤最輕的砝碼都是 3。我們就用右秤盤最輕的 砝碼來分類，一共會有三類，分別是右秤盤最輕的砝碼為1,3,9 三類。現在將 1 至 13 依 其示意圖右秤盤最輕的砝碼分類如下：

將①､②､③､…､

12

m 及m2為例，從上述示意圖知道，它們都是屬於第二群（右秤盤最輕砝碼為 3 的那群），它們的差10 12 2  屬於第一群，可以想成兩個示意圖右秤盤都有砝碼 3，所 以會消掉。因此它們的差10 12 2  不可能繼續停留在原來的第二群。

練習 1 將

1,2,3,4, ,40

這四十個數字分成四群，使每群中的任兩個數字差都不在該群內。

練習 2 聖旨：『奉天呈運，皇帝詔約，犯人在刑場外排成一列，從左至右依序喊號 1,2,3, .

只要號碼是 3 的倍數或被 3 除，餘數為 1 者，馬上推進刑場斬立決。剩下的犯

人靠攏後，再依序重新喊號1,2,3, ，並依此規則繼續進行下去，直到剩一犯 人止。』

如果開始有 100 位犯人，那麼第一次喊幾號的犯人才有機會說“謝主隆恩”

呢？

隱藏的和諧比看得見的和諧來得好…隱藏在天平上的和諧的練 習題解答

練習 1

練習 2

第一次喊 1 3 9 27 81 41      號的犯人最後會被留下來。