勾股定理證明-G083
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH , 以 BC 為邊，向外作一正方形 BCED , 以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。
2. CF 與 HK 交於 M 點， BK 與 CE 交於 N 點。
3. 分別延長 GF 與 DE , 使其相交於 L 點(於證明過程第 2 點說明點 K 在 LE 上)。
4. 連接 LC 。
L
A B
C
D E
F
G
H K
N M
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，利 用正方形 ABKH 的面積會等於五邊形 ABDLG 的面積減去三個三角形的面積，經過全等 圖形的增補與移除關係後，得到正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積，來推出勾股定理 的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH AB, AG AC, GAH 90 HAC CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).
得到HGA BCA90，又FGA90，所以
點 H 在 GF 上，即 G H F共線。
2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到點 K 的位置在 LE 上：
因為 KB AB, BDBC, DBK 90 NBC CBA，所以 DKB CAB
(SAS 全等).
得到BDK BCA90，又EDB90，所以
點 K 在 LE 上，即 L K E共線。
3. 證明三角形LHK 與三角形 CAB 全等：
因為 HK AB，又由平行關係可得到 LHK CAB與 LKH CBA，所以 LHK CAB
(ASA 全等).
4. 證明三角形 ELC 、三角形 FCL 、三角形 LHK 、三角形 DKB 、三角形 GAH 皆與三角 形 CAB 全等：
由作圖條件得知四邊形 CELF 為長方形，可得到 ELC FCL，又 CEBC， ELCF CA, CEL BCA90，所以 ELC CAB(SAS 全等)，因此
. ELC FCL CAB
綜合結果得到
. CAB ELC FCL LHK DKB GAH
5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH ABDLG GAH LHK DKB
ABDLG CAB ELC FCL
BCED ACFG
正方形 面積＝五邊形 面積－( 面積＋ 面積＋ 面積)
＝五邊形 面積－( 面積＋ 面積＋ 面積) ＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB BC AC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍
The Journal of Education, V. XXVI, 1887, p. 21.
J. M. Richardson (1855). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 12.
1. 心得：此題證明的作圖與 G085 相同。先將正方形ABKH 轉換為五邊形 ABDLG 與 三角形 GAH ，三角形 GAH 以及三角形 DKB 的關係，再透過全等三角形的增 補，進而推得勾股定理的關係式。
2. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ● ●
