等差級數

等差級數

1 等差級數

n 級數：將一個數列以「＋」號連接而成的式子 稱為級數。

如果 a₁、a₂、a₃、a₄、……、a_n是等差數 列，則 a₁+a₂+a₃+a₄+……+a_n稱為等差 級數。

【說明】50、55、60、65、70、75……、100 是等差數列，則

50+55+60+65+70+75+……+100 是等差級數。

n 等差級數的和：

如果 a₁、a₂、a₃、a₄、……、a_n是等差數 列，則

等差級數的和

S_n=a₁+ a₂ +a₃ + a₄+……+a_n S_n= a_n +a_n-1+a_n-2+a _n-3+……+a₁

Sn＝a1+ (a1+d)+(a1+2d) +…+[a1+(n－1)d]

+） Sn＝an+(an－d)+(an－2d)+…+[an－(n－1)d]

2Sn＝(a1＋an)+(a1＋an)+(a1＋an)+…+(a1＋an) 2Sn＝(a1＋an)×n

S_n＝(a₁＋a_n)×n 2 又 a_n＝a₁+(n－1)d

∴ S_n＝(a₁＋a_n)×n 2

＝[a₁＋a₁+(n－1)d]×n

2

＝[2a₁＋(n－1)d]×n

2

【說明】高斯求1 到 100 的和

S_n= 1 + 2+ 3+ 4+ 5+…+98+99+100 +) S_n=100+99+98+97+96+…+ 3+ 2+1

2S_n=(1+100)+ (1+100)+ …+(1+100) 2S_n=(1+100)×100

Sn=(1＋100)×100

2 =5050

【說明】等差級數 5＋8＋11＋14＋17＋20 的和：

Sn=(5＋20)×6

2 =25×3=75

【說明】一等差級數的首項為 5，公差為－3，刨 此等差級數前 12 項的和：

S₁₂＝[2×5+(12-1)×(-3)]×12

2

＝-138

範 例 講 解

Ex1.求下列各等差級數的和:

(1). 8+10+12+……+288=?

(2).(-99)+(-97)+(-95)+……+(-1)=?

(3). 1 2

1+2+2 2

1+3+3 2 1+4+4

2 1=?

(4).求等差級數 1 2

1

＋ + 2 + 1 2

1

－ +……到 第 18 項的和。

Hw1.已知下列數列分別隱含某種規律，試依其規 律在空格中填入適當的數。

(1).8+11+14+……+278=?

(2). 74+67+60+……+(-10)=?

(3).求等差級數 5+5 5 2+5

5

4+……到第 16 項

的和。

(4). 3 2 + 2 +(- 2 )+……，到第 23 項的 和是多少？

Ans: 20868;-2500; 21;18 2+135; Ans: 13013;416;128;-437 2 Ex2.

(1).一等差級數，首項為76，末項為4，公差 為-3，求此級數和?

(2).設一等差級數共有9項，已知首項為12，

公差為-4求級數和。

(3).一等差級數之第3項為-3，第7項為9，則 前15項之和是多少?

Hw2.

(1).一等差級數首項為 5，末項為 74，公差為 3，求其和?

(2).一等差級數共 24 項，已知其第四項為-1，

公差為-2，則此級數和為何?

(3).一等差級數之首項為 4，第 9 項為 60，則 前7 項之和為多少?

Ans: 1000;-36; 180 Ans: 948.4;-432;175

Ex3.

(1). f(x)=ax+7且f(-1)=4，求 f(1)+f(2)+...+f(20)=?

(2).求1-2+3-4+5-6+7+...+n(-1) ^n-1至前2n 項之和。

Hw3.

(1). a_n=2+5n，求 a₁+a₂+a₃+...+a₄₀的和。

(2).求 10+11-12+13+14-15+...如此繼續 下去，至100 項之和。

Ans: 770;-n Ans: 4180;1990

Ex4.

(1).求1至1000間之整數7之倍數有幾個?總 和為何?

(2). 500至800間可為23整除之整數共有幾 個?其和為何?

(3).介於400與1005間之自然數，既為3的倍 數且為5的倍數，其總和為何?

Hw4.

(1).求 1 至 500 之正整數中除以 5 餘 2 的所 有整數和。

(2). 69 至 1980 間所有偶數的和為何?

(3).介於 400 與 1005 間，3 的倍數或 5 的倍 數總和為多少?

Ans: 142,71071;13,372;27900 Ans: 24950,100;979900;99912

Ex5.一等差級數首項為 79，末項為 7 和為 1075，

求項數與公差。

Hw6.一等差級數首項為 37，末項為-19 和為 81，

求項數與公差。

Ans: 25，-3

Ans: 9，-7

Ex6.等差級數 35+30+25+……至第 n 項的和為

110,求 n。 Hw6.30+283

4 +271

2 +...至第n 項和為 375，求 n=?

Ans: n=4 或 n=11 Ans: 24 或 25

Ex7.等差級數第五項為 22，第 16 項為 77，總和 為1092 則此級數共有幾項?

Hw7.等差級數第五項為 9，第 15 項為 24，總和 為651，求此級數共幾項?

Ans: 21 Ans: 28

Ex8.等差級數其前 100 項和為-9600，公差-2，求 首項。

Hw8.等差級數其 50 項和為 2550，公差 2，求首 項。

Ans: 3 Ans: 2

Ex9.設等差級數的第 5 項是 9，第 15 項是 24，

總和651，求首項、公差及項數。

Hw9.設等差級數之第 8 項是 18，第 16 項是-6，

和210，求首項、公差及項數。

Ans: 3,3

2 ,28 Ans: 39,-3,20

Ex10.

(1).等差級數共51項，其中央項為10，求其總 和。

(2).等差級數共100項，中央項為10、11，求 其總和。

Hw11.

(1).等差級數共 35 項，其中央項為 15，求其 總和。

(2).等差級數共 50 項，中央項為 25、27，求 其總和。

Ans: 510;1050 Ans: 525;1300

Ex11.

(1).若等差級數共29項，第15項為-43求其總 和?

(2).若等差級數共100項，其首兩項和為16，

末兩項和為392，求級數的總和。

Hw11.

(1).七連續整數和為 105，求其第四數?

(2).若 a₃₅+a₄₃=133，求

a39=?a20+a21+a22+...+a57+a58=?

Ans: -1247;10200 Ans: 15;66.5，598.5

Ex12.於 2 與 59 間插入 n 個數，使其成等差數列 且各項的總和為610，求所插入的最大數是 多少?在 x 與 85 間插入 14 個數，使其成等

Hw12. -5 與 15 間插入 n 個數，使其成等差數列，

若插入n 個數的總和為 200，試求 2n+24=?

在8 與 x 間插入 9 個數，使其成等差數列，

差數列，且各項和是760，求 x=? 且各項和是308，求 x=?

Ans: 56;10 Ans: 104;53

綜 合 應 用

Ex13.等差級數中前 19 項的和為-418，前 20 項 的和為-470，求第廿項、首項、公差、第十 項。

Hw13.等差級數中前 21 項的和為 294，前 20 項 的和為273，求第 21 項、首項、公差、第 11 項。

Ans: -52,5,-3,-22

Ans: 21,7,7 10 ,14

Ex14.等差數列，首項為-32，第 17 項為-20 問 (1).第幾項開始為正數?

(2).自第一項加到第若干項時，其和始為正 數?

Hw14.等差數列首項為-40，第 17 項為-28，問:

(1).第幾項始為正數?

(2).又前幾項之和始為正數?

Ans: 44,87 Ans: 55,108

Ex15.設 f(n)=200-3n，n 是正整數，問:

(1). n等於多少時，f(1)+f(2)+...+f(n)的和最 大?

(2).其和最大為多少?

Hw15.等差數列首項為 70，公差為-3，當 n 為多 少時，前n 項的和會最大?此時和為多少?

Ans: 66,6567 Ans: 24,852

Ex16.獎品 100 份分給優秀學生若干名，已知最後 一名得10 份，每前一名依次增加 5 份，問 得獎的優秀學生共有若干名?

Hw16.小沛擬定減重計畫:自現在起,第一個月減 重 0.5 公斤,第二個月減重 0.6 公斤,第三個 月減重 0.7 公斤,……(每月減輕的體重成等 差數列)。若預計一年後體重減為 70 公斤, 則小沛目前體重為多少?

Ans: 5 Ans: 82.6

Ex17.某百貨公司開張吉日，獲利 2000 元，以後 每日增加1000 元，問第幾日可獲利 170000 元?

Hw17.右方各圖是由火柴 棒排成的正方形所 組成,圖一有 1 個正 方形,圖二有 2 個正

方形,……,圖 n 有 n 個正方形。若圖一至圖 n 共用去 286 根火柴棒,問圖 n 用了幾根火 柴棒?

Ans: 17 Ans: 40

Ex18.甲、乙二人同時同地出發，甲每日行 10 公 里，乙首日行8 公里，其後乙每日增加 0.5 公里，若x 日後乙可追及甲，求 x 之值?

Hw18.有黑、綠兩隻烏龜，同時同地在某鄉間小 路上向南爬行，黑烏龜每日固定爬行 110 公尺，綠烏龜第一天爬行 100 公尺，之後 每天增加 5 公尺，請問兩隻烏龜出發多少 日後，綠烏龜可以趕上黑烏龜？

Ans: 9 Ans: 5

Ex19.某物體自高空自由落下，第一秒落下 4.9 公 尺，以後落下的距離每秒增加 9.8 公尺，即 第二秒落下 14.7 公尺，第三秒落下 24.5 公 尺，……，若此物體 50 秒後落到地面，求：

(1).此物體第 50 秒落下的距離。

(2).物體落下前離地面的高度。

Hw19.全民戲院共有 25 排座位,自第二排起,每一 排比前一排多 2 個座位。已知最後一排有 80 個座位,問全民戲院共有多少個座位?

Ans: 485.1;12250 Ans: 1400

Ex20.設一多邊形，其各內角度數成等差數列，若 公差為4，最大內角為 172，求此多邊形之 邊數?

Ex20.設 n 邊形，n 個內角度數成等差數列，最大 角比最小角多60 度，又其內角和為最小角 之8 倍，求其邊數?

Ans: 12 Ans: 6

Ex21.等差級數 S=a₁+a₂+……+a₉₉中的a₅₀=10，

則 S=?

Hw21.有一等差級數

(a-10)+(5a-10)+(9a-10)+……+(41a-10) 的和為-803，則 a=?

Ans: 990 Ans: －3

Ex22.有一個等差數列 a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ , a₆ , a₇,若 a₁+a₂=23，a₆+a₇=5，則 a₃+a₄+a₅ 的值為下 列何者?

Hw22.有一等差數列 a₁, a₂, a₃, …… , a₁₀，若 a₁+a₂=5，a₉+a₁₀=53，則

a3+a4+a5+a6+a7+a8=?

Ans: 21 Ans: 87