§4 §4 多元函数微分学 多元函数微分学
的图形，该函数
8
(0,0) )
( ,
0
(0,0) )
(
2 2
2 2
x,y x,y y ,
x
) y x
( xy )
y , x ( f
1 (0,0)
xy
f f yx(0,0) 1
二元函数
而
1二重极限存在的例子
2
二重极限不存在的例子
3
偏导数的几何意义 含复习一元函数导数
4全微分的几何意义 含复习一元函数微分
5方向导数
6
七框图 7 多元函数的极值
主
主 目 录 目 录 （
（1—8
1—8）
）o
x
y
1
z = x
2+ y
2+ 1
y=kx
在平面上的 (0,0) 点处
1 )1 (
lim 2 2
00
x y
xy
.
) 0 0 ( )
(x,y 以任何方式 ,
例如：
( x,y )
沿
y
kx( 0 , 0 )
z
( 和的极限等于极限的和 )
1.
二重极限存在的例子
都有 z 1
有 z 1 有
故：在 xoy 平面上 点
. .
o
x
y
2
2 y
x z xy
kx y
y , x
P 沿直线
点 ( )
)不存在 故 f x, y
xy (
lim
2 2
0 0
lim x y xy
kx xy
z
a y= – x
1 k2
k
)时，有
( ,
.
.
那么，曲面在点 (0,0) 附近 的形状是怎样的呢 ?
曲面与 z 轴无交点 ;
曲面关于平面 y=x 对称；
曲面关于平面 y= –x 对称；
y= x )
0 , 0 ( ) ,
(x y
2.
二重极限不存在的例子
o
x
y
) 0 , 0 ( ) , (
2 ,
2
x y
y x
z xy
y=x z
a
. D
.
那么，曲面在点 (0,0) 附近 的形状是怎样的呢 ?
曲面与 z 轴无交点 ;
曲面关于平面 y=x 对称；
曲面关于平面 y= –x 对称；
y = 0 kx
y y
, x
P 沿直线
点 ( )
)不存在 故 f x, y
xy (
lim
2 2
0 0
lim x y xy
kx
xy 1 k2
k
)时，有
( ,
2.
二重极限不存在的例子
.
o
x
y
) 0 , 0 ( ) , (
2 ,
2
x y
y x
z xy
y=kx y=x
2 1 z
a
. D
.
那么，曲面在点 (0,0) 附近 的形状是怎样的呢 ?
曲面与 z 轴无交点 ;
曲面关于平面 y=x 对称；
曲面关于平面 y= –x 对称；
y = 0
.
kx y
y , x
P 沿直线
点 ( )
)不存在 故 f x, y
xy (
lim
2 2
0 0
lim x y xy
kx
xy 1 k2
k
)时，有
( ,
2.
二重极限不存在的例子
.
o
x
y
) 0 , 0 ( ) , (
2 ,
2
x y
y x
z xy
y=kx y=x
1 k2
k
2 1 z
a y= – x
2
1
. D
.
那么，曲面在点 (0,0) 附近 的形状是怎样的呢 ?
曲面与 z 轴无交点 ;
曲面关于平面 y=x 对称；
曲面关于平面 y= –x 对称；
.
y = 0
.
kx y
y , x
P 沿直线
点 ( )
)不存在 故 f x, y
xy (
lim
2 2
0 0
lim x y xy
kx
xy 1 k2
k
)时，有
( ,
2.
二重极限不存在的例子
.
o
x
y
) 0 , 0 ( ) , (
2 ,
2
x y
y x
z xy
y=kx y=x
1 k2
k
2 1 z
a y= – x
2
1
. D
.
那么，曲面在点 (0,0) 附近 的形状是怎样的呢 ?
曲面与 z 轴无交点 ;
y = 0
曲面关于平面 y=x 对称；
曲面关于平面 y= –x 对称；
.
但曲面无限逼近 z 轴
kx y
y , x
P 沿直线
点 ( )
)不存在 故 f x, y
xy (
lim
2 2
0 0
lim x y xy
kx
xy 1 k2
k
)时，有
( ,
2.
二重极限不存在的例子
.
x
z
y
0
) , (x y f
z
x M
z
x
y x f y
x x
f
x
) , ( )
,
lim ( 0 0 0 0
0
x M
z
由一元函数导数的几何意义：
z= f (x,y)
0
) , ( y y
y x f L ： z
L
得曲线
= tan
3.
偏导数的几何意义
.
y =y0
) (x , y
?
y M
同理，
z.
M
Tx
固定 y =y0
复习一元函数导数
M
) , (x y f
z
y M
z
y
y , x f y
y , x f
y
) (
) lim (
z= f (x,y)
L
) (x , y
x =x0
固定 x =x
0
Tx 3.
偏导数的几何意义
.
x
z
y
0
M
) , (x y f
z
y M
z
y
y , x f y
y , x f
y
) (
) lim (
y M
z
由一元函数导数的几何意义：
z= f (x,y)
x
x
y , x f
z ( )
L
得曲线
= tan
.
) (x , y
x =x0
固定 x =x
0
Tx
Ty 3.
偏导数的几何意义
.
x
z
y
0
z0
z
x
z
0 y
) , (x y f
z
P
M
N
x y
A B )
, ,
(x0 y0 z0 M
) ,
,
(x0 x y0 y z0 z
N
dz=AB : 切面立标的增量
z= f (x ,y)
) (
d
z z x y
z =AN ：曲面立标的增量
过点 M 的切平面：
) )(
, ( )
)(
,
(x0 y0 x x0 f x0 y0 y y0
fx y
即： dz
z
=AB+BN
z0
z
0 ) ( 0
z z
y y
x f x y
x
fx y
( 0, 0) ( 0, 0)
) (
.
dz
=AB
用切面立标的增量近似曲面立标的增量
很小时 当x,y
z
4.
全微分的几何意义
复习一元函数微分x
z
y 0
l
y
x
z
ρ z l
z
P ρ
limΔ
0
P´ P
z = f (x,y)
x
y
) (
)
lim (
f x x, y y f x , y ρ Q
P f P
f
ρ
) ( )
lim (
0
M
是曲面 在
点 P 处沿方向 l 的变化率
，
即半切线
l P
z
MN 方向导数
.
5.
方向导数
的斜率
N
将二元函数 z = f(x , y) 在点 (x , y) 的以下七个命题填入框图：
（ 1 ）有定义 （ 2 ）有极限 （ 3 ）连续 （ 4 ）偏导存在 （ 5 ）方向导数存在 （ 6 ）偏导连续 （ 7 ）可微
（ 6） （ 7 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
（ 5 ）
（ 1 ）
（ 2 ）
6. 七框图
问题：箭头是否可逆？ 不可逆的试举出反例。
A B
C D
z=f(x,y) f 在顶点 A 、 B 、 C 、 D 处有极
大值
x
z
0 y
7. 多元函数的极值（广义的定义）
A B
C D
z=f(x,y) f 在点 D 处有极大值
D 是尖点，
x
z
0 y
7. 多元函数的极值（广义的定义）
.
z=f(x,y)
x
z
0 y
A D
S
定义：若在点 (a,b) 的某邻域内恒有 f(x,y)
定义
f(a,b),称 f(a,b) 为
极大值极大值
S
是
// xoy 面的平面区域或平面曲线 ,
C
f 在 S 的每一点处有极大值吗？
用以下广义的定义逐点判别
7. 多元函数的极值（广义的定义）
.
二元函数
(0,0) )
( ,
0
(0,0) )
( ), (
) ,
( 2 2
2 2
x,y y x,y
x
y x
xy y
x f
1 )
0 , 0
(
xy
f
x y
z
1 )
0 , 0
(
yx
f
.
该函数在原点处连续，但有
？
o问题：曲面在点 (0,0) 附近 的形状是怎样的呢
对称, 曲面关于直线y x
.
8.
曲面关于 x 轴对称，
在 Dxy: x2 y2 1 上考虑
曲面过 x 轴 ，过 y 轴
曲面关于 y 轴对称
对称 关于直线y x
谢 谢 使 谢 用 谢 使 用
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.
y = f (x)
x
y
0
M
x0
) (x0 f
8
导数的几何意义
导数的几何意义 f
(x )表示曲线在点
x处切线的斜率
.x y
x
lim0
) (x0 f
=
tan
y = f (x)
复习一元函数导数
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x y
o
M
N
. f (x)
dy
x
) (x0 f
) (
dy x
y
x y
x
lim0
tan
很小时 当 x
) (
)
(x f x x
f
x x
f ( 0)
x0 x0 x
) (x0 f
) ( x
微分是函数的局部线性化 微分是函数的局部线性化
.
用切线增量近似曲线增量 用切线增量近似曲线增量
dy dy =
在图上是哪条线段？
在图上是哪条线段？
=tan x
复习一元函数微分
y
即：
.
y
x x
f x
f
( ) ( )
9 微分的几何意义
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