2.2 2.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算

2.2

2.2

行列式的性质与计算行列式的性质与计算

一一

. .

行列式的性质行列式的性质 二二

. .

行列式的计算行列式的计算

三三

. .

方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式

2.2

行列式的性质与计算

一 . 行列式的性质

性质 1 行列式按任一行展开，其值相等，即

的代数余子式。

称为 阶行列式，

所得的

列后 行第

的第 为划去

其中

ij ij

ij ij

j i ij

in in

i i

i i

a A

n

j i

A M

M A

A a

A a

A a

A

1

, )

1 (

, det _{1 1 2 2}



















2 3

4 7

2 0

0 0

1 3

1 2

1 0

0 4

  1 D

例

3 4

7

3 1

2

0 0

4

2 



 4 3

3 4 1

2 







) 15 (

4

2  





例 2 计算

nn n n

n

a a a

a a

a D

0

2 22

1 12

11









 解

1 , 1

1 , 2 22

1 , 1 12

11

0 _{ }







n n

n n

nn n

a a a

a a

a a

D  





2 , 2

2 , 2 22

2 , 1 12

11

1 , 1

0 _{ }







 

n n

n n

n n nn

a a a

a a

a a

a  





ann

a

a 

  11 22



同理

0

*

1

2

a

a

a D

n

n

 

n n

n

a a

a1 2

2 ) 1 (

) 1 (







推论 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零 . 性质 2 n 阶行列式某两行对应元全相等，则行列式 为零 . 即当 a_ik = a_jk ， i≠j, k=1,…, n 时， det A = 0.

证 （归纳法）结论对二阶行列式显然 .

) (

,

det A  a_k1A_k1  a_k2A_k2  a_knA_kn k  i, j

由于 M_ij(l=1,…,n) 是 n-1 阶行列式，且其中都有

两行元全相等，所以

. 0 det

), ,...,

1 (

0  

 k n A

A_kl 故

设结论对 n-1 阶行列式成立，对于 n 阶：按第 k(i, j) 行 展开

性质 3

nn n

n

in in

i i

i i

n

a a

a

c b

c b

c b

a a

a























2 1

2 2

1 1

1 12

11







nn n

n

in i

i

n

a a

a

b b

b

a a

a























2 1

2 1

1 12

11



nn n

n

in i

i

n

a a

a

c c

c

a a

a























2 1

2 1

1 12

11



证

in in

in i

i i

i^行展开(b ₁  c ₁)A₁  (b  c )A 故 按第

) (

)

(b_i1A_i1   b_inA_in  c_i1A_i1   c_inA_in

  

nn n

n

in i

i

n

nn n

n

in i

i

n

a a

a

c c

c

a a

a

a a

a

b b

b

a a

a













































2 1

2 1

1 12

11

2 1

2 1

1 12

11





例 3

6 3

5 2

4 1

6 5

4

3 2

1 9

7 5

6 5

4

3 2

1









6 5

4

6 5

4

3 2

1 3

2 1

6 5

4

3 2

1





0 0

0

 



观察 ：与矩阵加法的区别 ？

性质 4 （行列式的初等变换）若把行初等变换 施于 n 阶矩阵 A 上：

(1) 将 A 的某一行乘以数 k 得到 A1 ，则 detA₁ = k(detA) ；

(2) 将 A 的某一行的 k(≠0) 倍加到另一行得到 A2 , 则

detA₂ = detA ；

(3) 交换 A 的两行得到 A³, 则 detA³ = - detA

.

证 (1) 按乘以数 k 的那一行展开，即得结论成立。

（ 2）

nn n

in jn

i j

in i

n

a a

ka a

ka a

a a

a a

A



























1

1 1

1

1 11

det 2







nn n

in i

in i

n

nn n

jn j

in i

n

a a

ka ka

a a

a a

a a

a a

a a

a a





















































1 1 1

1 11

1 1 1

1 11



  det A  k 0  det A

（ 3）

nn n

in i

jn j

n

a a

a a

a a

a a

A



























1 1

1

1 11

det 3  i 行

j 行

nn n

in jn

i j

jn j

n

a a

a a

a a

a a

a a



























1 1 1

1

1 11







nn n

in jn

i j

in i

n

a a

a a

a a

a a

a a



























1 1 1

1

1 11











nn n

jn j

in i

n

a a

a a

a a

a a



























1 1

1

1 11





  det A

推论 若行列式某两行对应元成比例，则行 列式的值为零 .

).

(det )

det(

.

1 设A为n阶矩阵，则 kA  kⁿ A

 )

det(E_ij det(E_ijI)  _{ det I  1}

; 0 )

(

det E_i c  c  . 1 )

(

det E_ij c 

2. 初等矩阵的行列式^： 应 用^：

3. 初等矩阵与任一方阵 A 乘积的行列式：

 )

det(E_ij A ^{ det A } (det E_ij )(det A),

 ) ) (

det(E_i c A c(det A)  (det E_i (c))(det A),

 ) ) (

det(E_ij c A det A  (det E_ij(c))(det A).

) )(det (det

) det(

, EA E A

E 

对任一初等矩阵

) )(det

(det )

(det )

det(

, ,

,

1 2

1 2

1

A E

E A

E E

E E E

E

t t

t







 故故故故故故故 故

例 4



















1 1

1

3 2

2

3 2

1 A

1 2

0 1 0

3 2

0

3 2

1

2 1

0

3 2

0

3 2

1

1 1

1

3 2

2

3 2

1





















 A

2 1

1 1

3 2

2

6 4

2

2 A    

8 1

1 1

3 2

2

3 2

1 2 2 2 2

2 2

6 4

4

6 4

2

2A     

A A 2 2 

一般 ，

. A k

A k

A

k

_nn



ⁿ



性质 5 设 A 为 n 阶矩阵，则 . det )

det(A^T  A 证

即存在初等矩阵 E₁, E₂, ..., Et^，

R E E

E

A  1 2 _t

. 0 )

)(det (det

) (det

det 0

det R   A  E₁  E_t R  )

(最后一行的元全为零

初等行变换 R

A 

设

又 A 不可逆 A^T 不可逆 所以 det A^T = 0

当 A 不可逆时：

存在初等矩阵 _{E1, E2, ..., Es故}

Es

E E

A  1 2

) det(

)

det(A^T  E_s^T E₂^T E₁^T

) )(det

(det )

(det E_s^T  E₂^T E₁^T



) )(det

(det )

(det E_s  E₂ E₁



) det

det

(det E₁ E₂ E_s



A

 det 当 A 可逆时：

由性质 5 ，

n j

A a

A a

A a

A _{j j j j nj nj}, 1,..., det  _{1 1}  _{2 2}  

例 5. 奇数阶反对称阵的行列式必为零 . 证 设 A_nn (n 为奇数 ) 满足：

, A A^T  

 A

于是，det det A^T  det( A )  (1)ⁿ det A  det A,

阶行列式 计算4

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 2

2 2

2 2

2 2

d d d d

c c c c

b b b b

a a a a

D













_已知 ^{abcd  1}



例 6

解

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

d d d

c c c

b b b

a a a

D 

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 2 2

d d d

c c c

b b b

a a a



d d d

c c c

b b b

a a a

abcd

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 2 2



 

d d d

c c c

b b b

a a a

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

2 2 2 2

 3



.

 0

行列式性质小结：

二、三类初等变换 ：

1. 换行反号 , 2. 倍乘 , 3. 倍加 .

三、三种为零 ：

1. 有一行全为零 , 3. 有两行成比例 .

2. 有两行相同 ,

四、一种分解 . 五、

^D

^{T }

^D

^.

一、按行展开 ：

in in

i i

i

i

A a A a A

a

D

 1 1  2 2  

二 . 行列式的计算

例 7.

设 





















2 7

3

3 4

2

7 3

1

A ，求

detA.

解 .

23 2

0

17 10

0

7 3

1 det









A 196

0 0

17 10

0

7 3

1

19610









例 8. 计 算

2 9

0 3

11 3

2 4

3 4

1 2

4 1

4

1 

 D

解 .

2 9

0 3

5 5

0 0

3 4

1 2

8 17

0 7









 D

2 9

3

5 5

0

8 17

7 )

1

( ^{2 2} 









 ^

2 11

3

5 0

0

8 25

7  



 10

11 3

25 5  7  







返回

例 9. 计 算

x y

y

y x

y

y y

x D_n















 解 .

x y

y n

x

y x

y n

x

y y

y n

x D_n















) 1 (

) 1 (

) 1 (















x y

y x

y y

y n

x















1 1 1 ) ) 1 (

(  



y x

y x

y y

y n

x



 



















0 0

0 0

1 1 )) (

(  [x  (n 1) y](x  y)ⁿ

例 10. 证明范德蒙行列式 (n≥2)

), (

1 1

1 1

1 1

1 3 1

2 1

1

2 2

3 2

2 2

1

3 2

1

j n i

i j

n n n

n n

n n

n x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

V    













 

















证 . n = 2: 1 1 , 结论成立。

1 2

2 1

x x x

x  

设对于 n-1 阶结论成立，对于 n 阶：

) (

) (

) (

0

) (

) (

) (

0 0

1 1

1 1

1 2

1 3

2 3 1

2 2

2

1 1

3 3

1 2

2

1 1

3 1

2

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

V

n n

n n

n

n n

n n

























 

















) (

) (

) (

) (

) (

) (

1 2

1 3

2 3 1

2 2 2

1 1

3 3 1

2 2

1 1

3 1

2

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

n n

n n

n

n n

n

























 













2 2

3 2

2

3 2

1 1

3 1

2

1 1

1 ) (

) )(

(















n n n

n

n n

x x

x

x x

x x x

x x

x x

















n-1 阶范 德蒙行列式





    

















n i j

j i

n i j

j i

n

n x x x x x x x x x x

V

1 2

1 1

3 1

2 )( ) ( ) ( ) ( )

( 

例

11

4 3

2

4 3

2

4 3

2

4 3

2

d d

d d

c c

c c

b b

b b

a a

a a

D



3 2

3 2

3 2

3 2

1 1 1 1

d d

d

c c

c

b b

b

a a

a



abcd

1 1 1 1 1

1 1

3 3

3

2 2

2

c b

a

c b

a

c b

abcd a



 ^c  ^b  ^a  ^{c b}  ^{c a}  ^{b a} 

abcd      

 1 1 1

例 12. 计 算

n n n

n

a a

a

a a

a

a a

a D









1 1

1

2 1

2 1

2 1















解

. 加边法











n n n n

n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

D

1 0

1 0

1 0

1

2 1

2 1

2 1

2 1



















1 0

0 1

0 1

0 1

0 0

1 1

1 _{1 2}

























an

a a

1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

1 _{1 2}

1

















 n n

i

i a a a



a













 ⁿ

i

ai 1

1

( 考虑：至少有三种解法？ ) ( 再考虑例 9 ？ )

三 . 方阵乘积的行列

式 1. 可逆矩阵与行列式；

2. 矩阵乘积的行列式 .

定理 1. 方阵 A 可逆的充要条件为 det A≠0.

设 A ^{行初等变换}R_{（简化行阶梯形）}

即存在初等矩阵 ^E₁^{, ..., E}_t^{故故 A  E}_1^E_t^R .

0 det 

：已知 A 若 A 不可逆，

则 R 的最后一行的元全为零，所以^{det R  0.} . ,

0 )

)(det (det

) (det

det A  E₁  E_t R  矛盾 可逆，

 ：若A 则 R=I ，

. 0 )

)(det (det

) (det

det A  E₁  E_t I  解决：

证 .

定理 2. 设 A, B 为 n 阶方阵，则 ).

)(det (det

)

det(AB  A B

证 . 设A ^{行初等变换}R（简化行阶梯形）

即存在初等矩阵 ^E₁^{, ..., E}_t^{故故 A  E}_1^E_t^R )

det(

)

det(AB  E₁E_tRB

)).

)(det(

(det )

det E₁  E_t RB

（ 若 A 可逆，则 R=I,

)) )(det(

(det )

det )

det(AB 故 E₁  E_t IB  (det A)(det B).

若 A 不可逆，则 R 的最后一行全为零 , RB 的最后一行全为零 . 0

) det(AB 

. 0 )

(det 0

) )(det

(det A B  B 

推论 1 设 A_i (i=1, …, t) 为 n 阶矩阵，则 ).

(det )

det )

det(A₁A₂A_t 故 A₁  A_t

推论 2 设 A, B 为 n 阶矩阵，且 AB=I ( 或 BA=I), 则 B=A ^-1.

证 ^{det(AB)  (det A)(det B). det I  1.} .

0 det A 

所以 A 可逆

A ^-1 AB= A ^-1 I= A ^-1 B= A ^-1

应用： det(A ^-1)=

A det

1

例

13

.

, 0

1













A

I

A I

AA

^T

： 证明

且 设

A AA

A

I

   ^T 

： 证



^{A I}



A  ^T 



I T

A

A (  )



A I

I A

















.

 0





 I A

例 14

设 , ,

1 2

1 0

1 

 























 P^ BP

n



. B I



： 求

1

,



P P



B 

： 解

1 1

1  

  





 B I P P PIP P P

I

 



^



^{1   1}

 P I



P P I



P





 





P P

^1

I I

= n

！

思考题

阶行列式 设n

n n

D_n



















0 0

1

0 3

0 1

0 0

2 1

3 2

1



求第一行各元素的代数余子式之和 :

1 .

12

11 A A n

A   

解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

A n

A

A₁₁  ₁₂   ₁

 n

















0 0

1

0 3

0 1

0 0

2 1

1 1

1 1

 1 .

1

!

2 



 



 





 n

j j

n