金門地區第 61 屆中小學科學博覽會作品說明書
科別 : 物理與天文學科
組別 : 高級中等學校組
作品名稱 : 彈珠滾動與軌道斜率的關係
關鍵字 : 雲霄飛車 , 圓形軌道 , 摩擦力
摘要 :
以軌道模型來模擬雲霄飛車的運動狀態並分析，討論不同軌道俯角下的運動狀 況。實驗結果可知軌道俯角越大摩擦力在直線部分軌道造成的摩擦力越小，因 此由本研究結果我們推測弧形軌道越長 , 通過圓形軌道部分所需的動能越高 , 釋放高度也就越高 , 就代表彈珠需要更多能量來通過軌道。
一 , 研究動機
在遊樂園看到雲霄飛車從高處往下俯衝的時候總是在想俯衝的軌道可不可以 放緩一點或是軌道改短一點才不會這麼可怕 , 但想想又覺得不太可能 , 因為這 樣的話就沒有足夠的速度衝上另一個斜坡或是翻滾了 , 因此我們決定以此為動 機做一個研究
二 , 研究目的
找出不同角度下能使彈珠能夠全程沿著軌道到達終點的最低高度並分析原因
三 , 研究設備與器材 圓形軌道教材
直線部分軌道長 59 公分 彈珠重量 20 公克
量角器 碼表
四 , 研究過程與方法
在左方軌道上方放置彈珠由上往下滾動, 彈珠會沿著軌道翻滾一圈到達終 點 , 正常情況下從最高點放下彈珠不會離開軌道 , 全程沿著軌道運動 , 但如 果速度不夠快就會造成彈珠上不去圓形軌道或到圓形軌道上時跌落(如圖)
這兩種情況都代表彈珠向下俯衝的動能不足
我們用俯角 45 度,55 度,67.5 度及 90 度四種角度來做測試
俯角 45 度 俯角 55 度
俯角 67.5 度 俯角 90 度
實驗結果:
軌道俯角 第一次測量 第二次測量 第三次測量 平均高度(公分)
45 度 42 37 39 39
55 度 44 41 42 43.3
67.5 度 45 43 45 44.3
90 度 46 44 45 45
從圖表可知軌道俯角越高 , 通過圓形軌道所需的高度越高
39
42.3
44.3
45
38 39 40 41 42 43 44 45 46
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
垂直地面高度(公分
軌道俯角(度度量)
討論:
我們推測會造成俯角越高通過圓形軌道所需的高度越高的原因是摩擦力 , 摩擦力有分靜摩擦力和動摩擦力 , 彈珠滾動為靜摩擦力 , 滑動為動摩擦力 , 滾動造成的摩擦力小於滑動造成的摩擦力 , 因為我們是將彈珠由靜止狀態從軌 道上釋放 , 所以彈珠由靜止到滾動狀態會有一段動摩擦力產生 , 又因為滾動造 成的摩擦力小於滑動造成的摩擦力 , 因此可推論軌道俯角越高通過圓形軌道所 需的高度越高的原因為彈珠在軌道上滑動所造成阻力的大小
因為彈珠幾乎全程在滑動所以取彈珠由最高點開始滑動到第一個最低點的 時間做計算 , 以碼表計時觀察得知彈珠在各俯角的軌道上滑動的時間
軌道俯角 第一次測量 第二次測量 第三次測量 平均時間(秒) 45 度 0.47 0.41 0.47 0.45 55 度 0.41 0.37 0.38 0.38 67.5 度 0.34 0.35 0.33 0.34 因為彈珠在俯角 90 度的軌道上沒有接觸到直線部分軌道 , 所以取最高點開始 到第一個最低點的時間
俯角 90 度
軌道俯角 第一次測量 第二次測量 第三次測量 平均時間(秒) 90 度 0.32 0.31 0.33 0.32 動摩擦力做功值
利用位移公式 X=v*t+(1/2)*a*t^2
因為是由靜止釋放所以 v*t=0 為軌道俯角
為動摩擦力
為軌道切線加速度 由公式可知:
x=(1/2)mg*sin( )*t^2
由測量得知在軌道俯角為 45 度時彈珠在軌道上滑動的時間 t 為 0.45 秒 , 代入公 式
0.55=(1/2)*(g*sin(45)-f)*0.2025 ,
將 g=9.8m/s^2 , m=0.02 代入
f=1.5m/s^2 又 F=ma
f=1.5*0.02=0.03N 而做功的公式為 W=Fx
所以 W=0.03*(0.39/sin(45))=0.01654 焦耳 在軌道俯角為 45 度時
彈珠在直線軌道上所受的摩擦力做功為 0.01654 焦耳 將其他俯角的測量數據做相同計算可知
軌道俯角 直線軌道摩擦力做功
45 度 0.01654 焦耳
55 度 0.004334 焦耳
67.5 度 0.00443 焦耳
由於俯角為 90 度的直線部分軌道沒有觸碰到彈珠 因此不能計算摩擦力
由上可知軌道俯角越大摩擦力在直線部分軌道造成的摩擦力越小 , 理論上來說 軌道俯角越高通過圓形軌道所需的高度越低, 但軌道俯角越大通過圓形軌道所 需的高度卻越高 , 我們推測這是因為在通過圓形軌道部分最低點前有一段弧形 軌道 , 而軌道俯角越大代表弧形軌道長度越長 , 又因為弧形軌道圓弧面具有向 心力，亦做功 , 因此我們推測弧形軌道越長 , 通過圓形軌道部分所需的動能越 高 , 釋放高度也就越高
弧形軌道較長
弧形軌道較短 為了驗證我們的推測 , 我們要先測出軌道的動摩擦係數
我們先測出彈珠在直線水平軌道上慢慢增加俯角直到開始滑動的角度
俯角為 15 度
以此角度做基準來測量彈珠在此俯角的直線軌道由靜止釋放滑動 30 公分所需時 間
測量次數 時間(秒)
1 1.26
2 1.28
3 1.25
4 1.28
5 1.33
平均 1.28
由公式算出彈珠在此俯角的直線軌道上滑動的加速度 a 利用位移公式
X=v*t+(1/2)*a*t^2
因為是由靜止釋放所以 v*t=0 , 由上可知 t 取平均為 1.28 , 角度為 15 度 0.3=(1/2)*(g*sin(15)-a)*1.6384
g=9.8 , sin(15)=0.2588 代入
a=2.17m/s^2 接下來由公式
μ=(g*sin( )-a)/g*cos( )
可知彈珠和軌道的動摩擦係數μ為 0.0387 由公式推導
N-(m*g*cos(a))=m*v^2/R (向心力) R 為半徑
d 為變化量 a 為弳度 s 為位移
摩擦力：f=μ*N
f=μ*N=μ*(m*g*cos(a)+m*v^2/R)
d*W=f*ds=μ(m*g*cos(a)+m*v^2/R)*R*da
=μ*m*(g*R*cos(a)+v^2)*da
雖然可以分小段進行做功計算疊加來逼近整段摩擦力做功 , 但這樣還是不夠準 確 , 因此我們用微積分導出的結果來計算
物體在軌道上的圓心角由 0 到 a摩擦力做功為
μ*m*(g*R*sin(a)+(a)*v^2)
v
為進到弧形軌道時的速率通過計算得到由靜止經過俯角為 90 度的直線部分軌道 45 公分的速度 V 為
(V’)^2-2*g*h=V^2 , h=0.45 , g=9.8 , 因為 V’為初速度 , 因為是由靜止釋放所以 V’=0
V=2.97m/s
俯角為 90 度的直線部分軌道弧形部分軌道弧度為 90 度 其餘俯角公式為
(V’)^2-2*(g*sin( )-f)*(h/sin( ))=V^2
所以角度為 180 到 270 度 , a=270-180=π/2
代入
μ*m*(g*R*sin(a)+(a)*v^2)
摩擦力做功為 f=0.0118 焦耳
仿照上式可計算出其他軌道俯角的圓弧軌道摩擦力所做的功 弧形軌道摩擦力做功
軌道俯角 弧形軌道摩擦力做功
45 度 0.004321 焦耳
55 度 0.006554 焦耳
67.5 度 0.008286 焦耳
90 度 0.011776 焦耳
可以發現是角度越大圓弧軌道摩擦力所做的功越大 可以證實我們的推測是正確的
結論:
可知軌道俯角越大摩擦力在直線部分軌道造成的摩擦力越小 , 理論上來說 軌 道俯角越高通過圓形軌道所需的高度越低, 但軌道俯角越大通過圓形軌道所需 的高度卻越高 , 我們推測這是因為在通過圓形軌道部分最低點前有一段弧形軌 道 , 而軌道俯角越大代表弧形軌道長度越長 , 又因為弧形軌道圓弧面具有向心 力，亦做功 , 因此我們推測弧形軌道越長 , 通過圓形軌道部分所需的動能越 高 , 釋放高度也就越高 , 就代表彈珠需要更多能量來通過軌道
參考資料:
https://www.3rxing.org/question/efd9f00d29128534024.html
http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=6757
