高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：101.04.10 範
圍 2-2 直線方程式 班級 二年____班 姓 座號 名
一、填充題 (每題 10 分 )
1.設A(4﹐1﹐3)﹐B(6﹐4﹐3)﹐C(2﹐0﹐3)為空間中三點﹐平面 E：x y 2z 4 0﹐
(1)向量 AB
與x 軸﹐y 軸﹐z 軸正向的夾角分別為﹐﹐﹐則cos ____________﹒
(2)△ABC 的重心坐標為________________﹒
(3)設 P AB 且 AP ： PB 2：5﹐則 P 點坐標為________________﹒
(4)△ABC 的面積為____________﹒
(5)過A﹐B﹐C 三點的平面方程式為___________________﹒
(6)設平面ABC 與平面 E 的夾角為﹐則sinθ ____________﹒
(7)△ABC 在平面 E 上的正射影的面積為____________﹒
(8)點D(2﹐ 2﹐3)在平面 E 上的正射影為_________________﹒
(9)點D(2﹐ 2﹐3)對於平面 E 的對稱點坐標為_________________﹒
解答 (1) 2
13 ;(2)(4﹐5
3﹐3);(3)(32 7 ﹐13
7 ﹐3);(4)2;(5)z 3 0;
(6) 3
3 ;(7)2 6 3 ;(8)(7
3﹐ 5
﹐3 7
3);(9)(8 3﹐ 4
﹐3 5 3) 解析 (1) AB (2﹐3﹐0)﹐ 2
cos
|AB|
213 ﹒
(2)重心 G (4 6 2 3
﹐1 4 0 3
﹐3 3 3 3
) (4﹐5
3﹐3)﹒
(3)P AB 且 AP ： PB 2：5﹐P 內分點﹐
P (4 5 6 2 2 5
﹐1 5 4 2 2 5
﹐3 5 3 2 2 5
) (32 7 ﹐13
7 ﹐3)﹒
(4) AB (2﹐3﹐0)﹐ AC ( 2﹐ 1﹐0)﹐
△ABC 的面積1 2
2 2 2
|AB | |AC| (AB AC)
． 1
2 13 5 49 2﹒
(5)設EABC之法向量n ( , , )a b c
﹐AB (2, 3, 0)
﹐AC ( 2, 1, 0) ﹐ 則 2 3 0
2 0
a b a b
: :a b c0 : 0 :t﹐取n (0, 0, 1)﹐又過A(4, 1, 3)﹐ : 3 0 EABC z ﹒ (6)平面 E 與 EABC之法向量分別為n1 (1﹐1﹐ 2)及n2 (0﹐0﹐1)﹐
則cosθ 1 2
1 2
| || | n n n n
． 6．2 1 26 ﹐sinθ 1 cos 2 1 64 2 6 3
3 ﹒
(7)所求 (△ABC 的面積) | cosθ | 2 2 6 4
6 2 6 3 ﹒
(8)設點 D(2﹐ 2﹐3)在平面 E 上之正射影為 P﹐ DP
： 2
2 3 2
x t
y t
z t
﹐t ﹐
設P(2 t﹐ 2 t﹐3 2t)﹐∵P E﹐
∴(2 t) ( 2 t) 2(3 2t) 4 0 t 1
3﹐得P(7 3﹐ 5
﹐3 7 3)﹒
(9)設點 D 關於平面 E 之對稱點為 Q(x﹐y﹐z)﹐∵DQ 之中點為 P﹐
∴
2 7
2 3
2 5
2 3
3 7 2 3 x
y
z
8 3 4 3 5 3 x
y
z
﹐即對稱點Q 之坐標為(8 3﹐ 4
﹐3 5 3)﹒
2.(1)求直線 2 1 0 x y z
的參數式為_____________________﹒
(2)求直線 2 1 0 x y z
與原點(0﹐0﹐0)的距離為____________﹒
(3)求包含直線 2 1
0 x y z
與過原點(0﹐0﹐0)的平面方程式為__________________﹒
解答 (1)
1 2
0
x t
y t z
﹐t ;(2) 5
5 ;(3)z 0
解析 (1)由 L： 2 1 0 x y z
﹐令y t L：
1 2
0
x t
y t z
﹐t ﹒
(2)設 P L﹐則 P(1 2t﹐t﹐0)﹐ OP (1 2 ) t 2 t2 02 5t2 4t 1 2 2 1 5( )
5 5
t ﹐
當t 2
5時﹐OP 有最小值 1
5 ﹐即d(O﹐L) 5 5 ﹒ (3)包含 L： 1
2
2 1 0 0
E x y
E z
：
： 之平面E﹐且過 O(0﹐0﹐0)﹐
設E：z k(x 2y 1) 0……﹐
O(0﹐0﹐0)代入 E 0 k 0 k 0 代入﹐得 E：z 0﹒
3.給定一點A(1﹐2﹐3)﹐平面 E：x y z 0﹐
(1)過 A 點垂直平面 E 的直線參數式為______________________________﹒
(2) A 點在 E 上的正射影坐標為____________﹒
(3) A 點對 E 的對稱點坐標為____________﹒
解答 (1) 1
2 3 x t
y t
z t
﹐t ;(2)( 1﹐0﹐1);(3)( 3﹐ 2﹐ 1)
解析 (1)垂直 E：x y z 0 之直線方向向量即為 E 的法向量(1﹐1﹐1)﹐
此直線過A (1﹐2﹐3)﹐∴直線參數式為 1
2 3 x t
y t
z t
﹐t ﹒
(2)將(1)的參數式代入 E﹐(1 t) (2 t) (3 t) 0 t 2﹐
∴直線與E 的交點為 B( 1﹐0﹐1)﹐即為 A 在 E 上的正射影﹒
(3)設 A 對 E 的對稱點 A﹐則 AA 中點 B﹐A( 2 1﹐0 2﹐2 3) ( 3﹐ 2﹐ 1)﹒
4.直線 1 2
x 2 3 y
4 1 z
在平面x y az b 上﹐求數對(a﹐b) ____________﹒
解答 (1﹐3) 解析 直線 1
2
x 2 3 y
4 1 z
在平面x y az b 上﹐
(1)(2﹐ 3﹐1) (1﹐1﹐a) 2 3 a 0 a 1﹒
(2)點(1﹐ 2﹐4)在平面上 1 2 4a b 1 2 4 b b 3﹒
5.過點A(1﹐0﹐2)且垂直於直線 1 2
x 2 2
y 3 1 z
之平面E 的方程式為____________﹒
解答 2x 2y z 4 解析 平面 E 垂直直線 1
2
x 2 2
y 3 1
z E 的一法向量為(2﹐2﹐1)﹐又 A(1﹐0﹐2)在 E 上﹐
∴E 之方程式為 2(x 1) 2(y 0) 1(z 2) 0﹐化簡得 2x 2y z 4﹒
6.試求包含A(4﹐3﹐1)及直線 1 2 1
2 1 2
x y z 之平面方程式為____________﹒
解答 2x 6y z 9 0
解析 設所求平面之法向量n ( , , )a b c ﹐取直線L 上一點 P(1﹐2﹐1)﹐∴ PA (3﹐1﹐0)﹐
L 方向向量 d (2﹐1﹐2) PA n
且 d n 3 0
2 2 0
a b a b c
: :a b c2 : ( 6) :1 ﹐ 取n (2, 6, 1) ﹐又過A(4, 3, 1) 2(x 4) 6(y ﹐ 3) (z 1) 0
∴包含A 點及直線 L 之平面方程式為 2x 6y z 9 0﹒
7.設點A(1﹐4﹐3)在平面 E：3x 2y 2z 12 0 之投影點為 B﹐直線 L： 4 1 1
2 8
x y z
a
在平面E
上﹐點P( 4﹐1﹐1)在 L 上﹐過 B 點作 L 垂線與 L 交於 C 點﹐求：
(1)B 點坐標 ____________﹒ (2) a ____________﹒ (3) AC CP ____________﹒
解答 (1)( 2﹐2﹐5);(2)5;(3)0
解析 (1)設 B(1 3t﹐4 2t﹐3 2t)﹐B 在 E 上﹐
∴3(1 3t) 2(4 2t) 2(3 2t) 12 0 t 1﹐∴B( 2﹐2﹐5)﹒
(2)L 在 E 上﹐∴(2﹐a﹐8)．(3﹐2﹐ 2) 0 a 5﹒
(3) ABBC﹐CPBC﹐根據三垂線定理ACCP﹐∴AC CP 0﹒
8.設L： 3 4 x
1 5 y
3 1 z
與M： 1 2 x
3 y k
1 z k
兩直線相交於一點﹐若平面E 包含 L 及 M﹐則：
(1)平面 E 方程式為_______________________﹒ (2) k ____________﹒
解答 (1)x y z 1;(2)1
解析 (1)L 之方向向量d1 (4﹐5﹐1)﹐M 之方向向量d2 (2﹐3﹐1)﹐
d1
d2
(2﹐ 2﹐2)﹐
設E：x y z a﹐又 L 上一點(3﹐1﹐ 3)在 E 上﹐
∴a 3 1 3 1﹐故平面 E 為 x y z 1﹒
(2)又M 在 E 上﹐∴ M 上一點 (1, ,k 在 E 上 1k) ﹒ k ( k) 1 k 1 9.直線L 通過 A( 1﹐4﹐2)﹐B( 5﹐ 2﹐0)兩點﹐L 對稱比例式 1
2 x
y a b
z c d
﹐則(a﹐b﹐c﹐d)
____________﹒
解答 (4﹐3﹐2﹐1) 解析 L： 1
2 x
y a b
z c d
過點( 1﹐a﹐c)﹐方向向量 d (2﹐b﹐d)﹐
( 1﹐a﹐c) A( 1﹐4﹐2) a 4﹐c 2﹐
d // AB ( 4﹐ 6﹐ 2) ( 2)(2﹐3﹐1)
(2﹐b﹐d) (2﹐3﹐1) b 3﹐d 1﹐則(a﹐b﹐c﹐d) (4﹐3﹐2﹐1)﹒
10.設直線L： 2 3
2 2 2 x y z x y z
﹐試求包含直線L 及點 P( 1﹐2﹐3)之平面方程式為____________﹒
解答 2x 7y 7z 5 0
解析 設此平面方程式為 2x y z 3 k(x 2y 2z 2) 0﹐又過 P( 1﹐2﹐3)﹐
則( 2 2 3 3) k( 1 4 6 2) 0 k 4﹐
∴平面方程式為2x y z 3 4(x 2y 2z 2) 0﹐即 2x 7y 7z 5 0﹒
11.直線L： 1 2 x
2y 2 4 z
﹐說明下列各直線與直線L 的關係為：
(A)重合 (B)平行 (C)相交於一點 (D)互為歪斜線﹒
(1)直線 L1： 2 x
1 1 y
1
z ：____________﹒ (2)直線 L2： 3 1 x
4
1 y
6 2 z
：____________﹒
(3)直線 L3：
1
2 3
2 x y
z
：____________﹒
解答 (1)(C);(2)(A);(3)(D)
解析 (1)L：
1 2 0 2
2 4
x t
y t
z t
﹐L1：
0 2 1 0
x s
y s
z s
1 2 2
2 1
2 4 t s
t s
t s
﹐t s, ﹐
由﹐ t 1 2
﹐s 0 代入合﹐∴L 及 L1交於一點(0﹐1﹐0)﹒
(2)d2 ( 1﹐ 1﹐2) // d (2﹐2﹐ 4)﹐且 L2上一點P( 3﹐ 4﹐6) L﹐∴L 及 L2重合﹒
(3)(i)d3 (2﹐3﹐0) // d (2﹐2﹐ 4)﹐∴L3// L﹒
(ii) L：
1 2 2
2 4
x t
y t
z t
﹐L3：
0 2 1 3 2
x s
y s
z
1 2 2 2 1 3
2 4 2 t s
t s
t
﹐
由﹐ t 1 2
﹐s 0 代入不合﹐∴L 及 L3不相交﹐
由(i)﹐(ii)可知 L 及 L3互為歪斜﹒
12.若兩直線L1： 1 3
x 4 4
y z 6 和 L2： 1 2
x 4 3
y z k（其中 k ）都在平面 E 上﹐則 k ______﹒
解答 8
解析 L1﹐L2都在平面E 上﹐但 L1
//
L2﹐∴L1﹐L2必相交於一點﹐則
1 3 1 2 4 4 4 3 6
t s
t s
t k s
﹐t s, ﹐由 t 6﹐s 8﹐代入得 k 8﹒
13.若P(1﹐0﹐ 1)﹐Q(2﹐1﹐ 1)﹐則直線 PQ 與 x 2y 3z 0 之交點坐標為____________﹒
解答 (1 3﹐4
3﹐ 1)
解析 PQ
： 1
0 1 x t
y t
z
﹐交點A(1 t﹐t﹐ 1)代入 E：x 2y 3z 0 t 4 3﹐
∴交點A(1 3﹐4
3﹐ 1)﹒
14.若直線L：x2 y1z1
與平面E：3x y 2z 2 垂直且交點 H﹐則：
(1)數對(b﹐c) ____________﹒ (2) H 的坐標是____________﹒
解答 (1)( 2﹐4);(2)( 1
﹐2 1 2﹐2)
解析 ∵L E﹐∴方向向量 d (6﹐b﹐c) // 法向量 n (3﹐ 1﹐2)﹐
(1)則6 3
1 b
2
c ﹐得b 2﹐c 4﹐故數對(b﹐c) ( 2﹐4)﹒
(2)∵H L：
2 6 1 2 1 4
x t
y t
z t
﹐t ﹐∴設 H( 2 6t﹐1 2t﹐1 4t)﹐
∵H E﹐H 代入 E ( 6 18t) (1 2t) (2 8t) 2 t 1
4﹐則H( 1
﹐2 1 2﹐2)﹒
15.試求包含兩平行直線L1： 1
3 1 2
x y z
﹐L2： 2 3
3 1 2
x y z
之平面方程式為____________﹒
解答 x 13y 5z 13 0
解析 取 L1上一點P(0﹐ 1﹐0)﹐L2上一點Q(2﹐0﹐ 3) PQ (2﹐1﹐ 3)﹐
兩平行直線之方向向量d1 d2
(3﹐ 1﹐2)﹐ d1PQ (1﹐13﹐5)﹐
∴包含L1﹐L2之平面方程式為x 13y 5z 13 0﹒
16.在空間中﹐A(2﹐1﹐ 4)﹐B( 4﹐1﹐5)﹐平面 E：x y z 5﹐動點 P 在平面 E 上﹐求 PA PB 的 最小值為____________﹒
解答 141
解析 設 A 點對於平面 E：x y z 5 之對稱點為 A﹐則 AA
E AA
// (1﹐1﹐1)﹐
∴直線AA之方程式為 2 1 x
1 1 y
4 1 z
﹐設A(2 t﹐1 t﹐ 4 t)﹐
則AA 的中點 M(4 2
t
﹐2 2
t
﹐ 8 2
t
)在平面 E 上4 2
t
2 2
t
8 2
t
5 t 4﹐
故A坐標為(6﹐5﹐0)﹐則 PA PB 最小值 A B 100 16 25 141 ﹒
17.△ABC 的三頂點坐標為 A(2﹐ 3﹐5)﹐B(3﹐0﹐10)﹐C(x﹐y﹐0)﹐則當 x﹐y 之值為____________
時﹐△ABC 之周長最小﹒
解答 x =7
3﹐y = 2
解析 點 C 在 xy 平面上﹐且 A﹐B 在 xy 平面的同側﹐
點A(2﹐ 3﹐5)與 A(2﹐ 3﹐ 5)對稱於 xy 平面﹐
A B
： 2
3 3 5 15
x t
y t
z t
﹐t ﹐
欲使AC BC A C BC 最小﹐則點 C 必須為 A B
與xy 平面的交點﹐
z 0 t 1
3﹐得x 7
3﹐y 2﹒
18.若x﹐y﹐z 均為非負數且滿足 30
3 50
x y z x y z
﹐則5x 4y 2z 的最大值為____________﹒
解答 130
解析 L： 30
3 50
x y z x y z
L：
10 20 2
x t
y t
z t
﹐t ﹐又 0 0 0 x y z
10 10 0 t t t
0 t 10﹐
5x 4y 2z 5(10 t) 4(20 2t) 2(t) t 130﹐當 t 0 時﹐有最大值為 130﹒
19.過點(1﹐ 1﹐5)且平行於直線 3 2 0
2 4 0
x y z x y z
之直線方程式為____________﹒
解答 1 3 x
1 2 y
5 7 z
解析 直線 L： 3 2 0
2 4 0
x y z x y z
1
2
(3, 1, 1) (1, 2, 1) n
n
﹐
方向向量d n1
n2
( 1 1
2 1
﹐1 3
1 1﹐3 1 1 2
) ( 3﹐ 2﹐7)﹐所求 1 3 x
1 2 y
5 7 z
﹒
20.設A(1﹐1﹐1)﹐B(2﹐3﹐4)﹐C(3﹐2﹐1)﹐若 P 在 AB 上﹐ PC
．AP
之最小值m﹐最大值 M﹐則數 對(m﹐M) ____________﹒
解答 ( 10﹐2 7)
解析 AB ： 1 1 2 1 3 x t
y t
z t
﹐0 t 1﹐P AB ﹐設 P(1 t﹐1 2t﹐1 3t)﹐0 t 1﹐
PC
．AP (2 t﹐1 2t﹐ 3t)．(t﹐2t﹐3t) 14t2 4t 14(t 1 7)2 2
7﹐0 t 1﹐
1 2
7 7
1 10
t M
t m
當 時﹐有
當 時﹐有
﹐∴數對(m﹐M) ( 10﹐2 7)﹒
21.空間中相交二直線L1： 12 5 4 41
4 4 13
x y z x y z
﹐L2：x 1 4t﹐y 1 2t﹐z 3 4t﹐ t ﹐則 L1﹐ L2所決定之平面方程式為____________﹒
解答 7x 2y 6z 23 0
解析 1 1
2 2
(12, 5, 4) (4, 1, 4) (16, 32, 8) (4, 2, 4)
L d
L d
之方向向量 之方向向量
d1 d2
( 32 8
2 4 ﹐ 8 16
4 4 ﹐16 32
4 2 ) (112﹐ 32﹐ 96)﹐
取平面E 之法向量n (7﹐ 2﹐ 6)且平面 E 過點(1﹐1﹐ 3)
E：7(x 1) 2(y 1) 6(z 3) 0﹐得 E：7x 2y 6z 23 0﹒
22.如圖﹐正立方體ABCD EFGH 中﹐若平面CDEF 所在的平面方程式為x2y2z ﹐且5 (3, 1, 3)
A ﹐則：(1)正立方體的稜長AB __________﹒ (2) H 點坐標為________________﹒
解答 (1) 2 2 ;(2) 5 5 1 ( , , )
3 3 3
解析 (1)令稜長 AB a AH 2a﹐ d(A﹐平面 CDEF) 1
2AH
| 3 2( 1) 2 3 5 | 1 2 2
1 4 4 a
﹐
∴6 1
2 2 2
32 a a ﹒
(2)H 點即為 A 對於平面 CDEF ：x2y2z 之對稱點﹐ 5 (1, 2, 2)
d n
﹐∴ : 3 1 3
1 2 2
x y z
AH
﹐
設H k( 3, 2 k1, 2k ﹐ t ﹐則 AH 中點3) 6
( , 1, 3)
2
k k k 在平面上﹐
代入 6 4
( ) 2( 1) 2( 3) 5
2 3
k k k k
﹐∴ 5 5 1
( , , ) 3 3 3
H ﹒
23. 1 2 4 0 2 2 2 0
: , :
2 1 0 3 2 1 0
x y z x y z
L L
y z x y
﹐則：
(1) L1﹐L2的交點A 之坐標為____________﹒
(2)過 A 與 L1﹐L2均垂直的直線L 之比例式為____________﹒
解答 (1)(1﹐1﹐1);(2) 1 22 x
= 1 19 y
= 1 26 z
解析 (1) 1 2 4 0 : 2 1 0
x y z L y z
﹐ 2 2 2 0
: 3 2 1 0 x y z
L x y
﹐
由得 x = 1﹐y = 1﹐z = 1﹐代入 3 2 1 = 0（合）﹐交點 A 為(1﹐1﹐1)﹒
(2)d1 = (2﹐1﹐1) (0﹐2﹐1) = (3﹐2﹐4)﹐d2 (1﹐1﹐2) (3﹐2﹐0) = (4﹐6﹐1)
dL (3﹐2﹐4) (4﹐6﹐1) = (22﹐19﹐26) = (22﹐19﹐26)﹐
過 A(1﹐1﹐1)﹐ ∴L： 1 1 1 22 19 26 x y z ﹒
24.二定點A(1﹐1﹐2)﹐B(2﹐1﹐5)及一直線 L： 1
3 2
2
x y ﹐點 P 在 Lz
上移動﹐則△PAB 面積之最小值為____________﹒
解答 6
解析 設 P(3 + t﹐1 + 2t﹐2 + t) L﹐ t ﹐作 AB (3﹐0﹐3)﹐ AP (2 + t﹐2t﹐t)
a△PAB 1 2 2 2
| | | | ( ) 2 AB AP AB AP
． =1 2 2
18 (6 4 4) ( 6) 2 t t
=1 2
108 72 36
2 t t = 2 1 2 2
3 3 2 1 3 3( )
3 3
t t t ﹐
∴當 1
t 時﹐a△PAB 有最小值為3 2
3 6
3 ﹐此時P( 1 2 1
3 , 1 , 2
3 3 3
) = 8 1 5 ( , , )
3 3 3 ﹒ 25.A(1﹐0﹐1)﹐B(2﹐2﹐4)﹐則AB 在 L： 1 2 5
2 3 6
x y z 上之正射影長為____________﹒
解答 26 7
解析 d (2﹐3﹐6)﹐則AB 在 L 上的正射影長A B' 'AB
在d
上的正射影長﹐
又AB (1﹐2﹐3) 所求 2 6 18 26
| | | |
4 9 36 7
| | AB d d
． ﹒
26.在坐標空間中﹐平面x 2y z 0 上有一以點 P(1﹐1﹐1)為圓心的圓 Γ﹐而 Q(9﹐9﹐27)為圓 Γ 上 一點﹒若過Q 與圓 Γ 相切的直線之一方向向量為(a﹐b﹐1)﹐則(1) a ____________﹒ (2) b ____________﹒
解答 (1)5;(2)3
解析 PQ (10﹐8﹐26)﹐平面法向量 n(1﹐2﹐1)﹐
設切線L 之方向向量d (a﹐b﹐1)﹐
∵PQ d ﹐∴PQ d 0
． 10a 8b 26 0﹐
∵ n d
﹐∴ n d 0
． a 2b 1 0 5 4 13
2 1
a b a b
﹐解得a 5﹐b 3﹒
27.H：x y z 為坐標空間中一平面﹐L 為平面 H 上的一直線﹒已知點 P(2﹐1﹐1)為 L 上距離原點2 O 最近的點﹐則(2﹐______﹐______)為 L 的方向向量﹒
解答 1﹐3
解析 H：x y z 的法向量為2 n (1, 1, 1) ﹐ 設L 之方向向量為d (2, , )a b
, (2, 1, 1) d n
d OP OP
2 0
4 0
a b a b
a ﹐1 b ﹐故 L 之方向向量為(2﹐–1﹐–3)﹒ 3
28.在空間坐標中﹐設xy 平面為一鏡面﹐有一光線通過點 (1, 2,1)P ﹐射向鏡面上的點O(0, 0, 0)﹐經鏡面 反射後通過點R ﹐若OR2PO﹐則R 點的坐標為____________﹒
解答 ( 2, 4, 2)
解析 P 對 xy 平面的對稱點 (1, 2, 1)P ﹐OR 2P O 2( 1, 2,1) ( 2, 4, 2) ﹐知R( 2, 4, 2) ﹒ 29.設L 為平面x2y z 與平面1 x y 2z 的交線﹐則直線 L 上與點 (1, 2, 1) 距離最近之點的坐標1
為__________﹒
解答 (2, 1, 1)
解析 2 1 2 1 x y z L x y z
：
﹐
得y z ﹐令 y z t ﹐設交線Ｌ參數式為(1t t t, , )﹐ 又 (1 t 1)2 (t 2)2 (t 1)2 3t2 6t 5 3(t1)2 ﹐ 2
當t 時﹐上式有最小值 2 ﹐故直線1 Ｌ上與點(1, 2, 1) 距離最近之點為 (2, 1, 1) ﹒
30. 1 1 3
: 2 2 1
x y z
L
﹐2 1 3
:1 2 2
x y z
L
交於點P( , , )﹐若其交角平分線為
x t
y mt z nt
﹐t ﹐
則: :m n____________﹒
解答 1: ( 4) : 3 或3: 0 : ( 1)
解析 L 之1 d1 (2, 2, 1) ﹐其方向之單位向量
1
2 2 1 ( , , )
3 3 3 u
﹐
L 之2 d2 (1, 2, 2) ﹐其方向之單位向量
2
1 2 2 ( , , )
3 3 3
u
﹐
1 2
(1, 0, 1) u u 3
﹐∴: :m n3: 0 : ( 1) ﹐ 另一角的分角線：
1 2
1 4 ( , , 1)
3 3 u u
﹐∴: :m n1: ( 4) : 3 ﹒
