圍 2-1 集合與計數法則班級一年____班姓座號名

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：100.03.23 範

圍 2-1 集合與計數法則班級一年____班姓座號名

一、填充、證明題(每題 10 分)

1.集合 A = {1﹐2﹐3}﹐B = {2﹐3﹐4﹐5}﹐則集合(A − B) ∪ (B − A) =____________﹒

解答 {1﹐4﹐5}

解析 A − B = A − (A ∩ B) = {1﹐2﹐3} − {2﹐3} = {1}﹐

B − A = B − (A ∩ B) = {2﹐3﹐4﹐5} − {2﹐3} = {4﹐5}﹐

故(A − B) ∪ (B − A) = {1﹐4﹐5}﹒

2.若高一同學共 1000 人﹐其中喜愛數學的有 500 人﹐喜愛音樂的有 700 人﹐則兩者都喜愛的最多有(1)____________人﹐最少有(2)____________人﹒

解答 (1)500;(2)200

解析設集合 A 為喜愛數學的人﹐集合 B 為喜愛音樂的人﹐則 n(A) = 500﹐n(B) = 700﹐

(1)當 A ⊂ B 時﹐n(A ∩ B) = 500 為最多﹒

(2)當 n(A ∪ B) = 1000 時﹐

n A( ∪B)=n A( )+n B( )−n A( ∩)

⇒

n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 500 + 700 − 1000 = 200 為最少﹒

3.設 A = {1﹐3﹐x² − x − 3}﹐B = {2﹐x + 1﹐2x² + x − 2﹐− 2x + 1}﹐若 A ∩ B = { − 1﹐3}﹐則 x = __________﹒

解答 − 1

解析 ∵ x² − x − 3 = − 1 ⇒ x = − 1﹐2﹐

x = − 1 ⇒ B = {2﹐0﹐− 1﹐3}；

x = 2 ⇒ B = {2﹐3﹐8﹐− 3}（不合）﹐∴ x = − 1﹒

4.設 A = {x | x ∈ ` ﹐x ∈ ` 且 x ≤ 10⁴}﹐B = {x | x = 20k﹐k ∈ ` }﹐則 n (A − B)值為____________﹒

解答 90

解析 A = {x | x ∈ ` ﹐x ∈ ` 且 x ≤ 10⁴} = {1²﹐2²﹐3²﹐…﹐(10²)²} ⇒ n(A) = 100﹐

A ∩ B = {2²．5²．1²﹐2²．5²．2²﹐2²．5²．3²﹐…﹐2²．5²．10²} ⇒ n (A ∩ B) = 10﹐

∴ n (A − B) = n(A) − n (A ∩ B) = 100 − 10 = 90﹒

5.某班人數 60 人﹐在第一次月考英文﹑數學﹑國文三科中﹐國文及格者 42 人﹐英文及格者 41 人﹐

數學及格者 39 人﹐國﹑英不及格者 11 人﹐國﹑數不及格者 13 人﹐英﹑數不及格者 14 人﹐至少一科不及格者 29 人﹐則：

(1)三科均不及格的人數為____________人﹒ (2)至少有二科不及格的人數為____________人﹒

解答 (1) 9;(2) 20

(2)

解析設 A B C

⎧⎪

⎨⎪

⎩

：國文不及格者之集合

：英文不及格者之集合

：數學不及格者之集合

﹐則 n(A) = 18﹐n(B) = 19﹐n(C) = 21﹐n(A ∩ B) = 11﹐

n(B ∩ C) = 14﹐n(C ∩ A) = 13﹐n(A ∪ B ∪ C) = 29﹐

(1) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)﹐

29 = 18 + 19 + 21 − 11 − 14 − 13 + n(A ∩ B ∩ C)﹐得 n(A ∩ B ∩ C) = 9﹐

即三科均不及格的人數為 9 人﹒

(2) 所求 = n[(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A)]

= n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(C ∩ A) − n[(A ∩ B)∩(B ∩ C)]

− n[(B ∩ C)∩(C ∩ A)]−n[(C ∩ A)∩(A ∩ B)]+n[(A ∩ B)∩(B ∩ C)∩(C ∩ A)]

= 11 + 14 + 13 − 9 − 9 − 9 + 9 = 20﹒

6.小於 1000 的自然數中﹐

(1)不是 3 且不是 5 的倍數者有____________個﹒

(2)是 3 或 5 或 7 的倍數者有____________個﹒

= =[999

3 ] + [999

5 ] + [999

7 ] − [999

15 ] − [999

35 ] − [999

₇

=( [999

3 ] + [999

5 ] − [999

15 ] )− [999

35 ] − [999

21 ] + [999

105] = 400﹒

7.301 至 600 之間的正整數﹐則：

(1)有____________個 2 或 3 或 5 的倍數﹒ (2)有____________個 4 或 6 或 15 的倍數﹒

解答 (1)220;(2)110

解析 (1)設 301 到 600 中的正整數﹐為 2﹐3﹐5 的倍數各形成一個集合 A﹐B﹐C﹐則 | A | = [600

2 ] − [300

2 ] = 150﹐| B | = [600

3 ] − [300

3 ] = 100﹐| C | = [600

5 ] − [300

5 ] = 60﹐

| A ∩ C | = [600

10 ] − [300

10 ] = 30﹐| A ∩ B | = [600

6 ] − [300

6 ] = 50﹐

| B ∩ C | = [600

15 ] − [300

15 ] = 20﹐ | A ∩ B ∩ C | = [600

30 ] − [300

30 ] = 10﹐

由排容原理可得| A ∪ B ∪ C | = 150 + 100 + 60 − 50 − 20 − 30 + 10 = 220﹒

(3)

8.設 A = {x 解答解析

9.若 A = {x (1) n(A) =_

解答解析

10.職棒四年場﹐兄弟象解答解析

11.某次數學 對 B 者有 B 或 C 者有 (1)只答對

(2)設 301 | A | = [

| A ∩ B

| C ∩ A 由排容原

∈ ` ｜1 ≤ x 144

∵ 360 = 2 故需在 1 到

( ) 54 n A =

= n(

| x = 3k + 1﹐

__________

(1)67;(2)13

∵ 1 ≤ x ≤ {1, 4, 7 A=

∵ 1 ≤ x {2, 7, B= 當 x∈ A ∩ 年季後冠軍爭

象二勝一敗 10

利用樹形圖

從象 2 獅學競試有 100 有 36 人﹐只答

有 59 人﹐而 對 A 者有____

到 600 的正 600

4 ] − [300 4

| = [600 12 ] −

| = [600 60 ] − 原理可知 | A x ≤ 540 且 x 與

2³× 3²× 5﹐

到 540 的正

40 − n A (

2

∪

(A) = 540 − (

﹐k ∈ ] ﹐1 ___﹒ (2) n 200﹐x = 3k 7,...,187,

≤ 200﹐x = 12,...,187

∩ B 時﹐15r 爭霸戰﹐是由

領先統一獅

圖：

1 開始﹐往 0 個學生參加 答對 C 者有 而只答對 A﹐

_________人

正整數為 4﹐

0] = 75﹐| B

[300 12 ] = 25 [300

60 ] = 5﹐

A ∪ B ∪ C | 與 360 互質 1 ≤ x ≤ 540 且正整數中去掉

3 5

)

A ∪ A

(270 + 180 +

≤ x ≤ 200}﹐

n(A ∩ B) =__

k + 1﹐k = 0 190,193,19 5n + 2﹐n = 7,192,197}

+ 7﹐r ∈ ] ⇒ 由季內賽前兩獅﹐則往後的

後比賽的情加﹐試題僅

16 人﹐答對 B﹐C 三題 人﹒ (2)三題

6﹐15 的倍數 B | = [600

6 ] −

﹐| B ∩ C | =

| A ∩ B ∩ C

= 75 + 50 + 質}﹐n(A) = __

且(x﹐360) = 掉 2 或 3 或 5

108 − 90 − B = {x | x = ___________

﹐1﹐2﹐…

96,199}， 0﹐1﹐2﹐…

， n(B) = 4

⇒ r = 0﹐

兩名﹐作七戰的比賽有____

情形共有 10 種 A﹐B﹐C 三 對 B﹐C 兩題 題之一者有 6

題都答錯者有

數各形成一

− [300 6 ] = 50

= [600 30 ] − [3 C | = [600

60 ] 20 − 25 − 10 __________

= 1﹐

的倍數

54 − 36 + 18 5n + 2﹐n ∈ _﹒

﹐66﹐

n(A) = 67﹐

…﹐39﹐

40﹐

1﹐2﹐…﹐

戰四勝的比賽 _________種

種﹒

三題﹐測驗結題者有 13 人

6 人﹐則：

有_________

個集合 A﹐B 0﹐| C | = [6

1 300

30 ] = 10﹐

− [300 60 ] = 5 0 − 5 + 5 = 1 __﹒

8) = 144﹒

∈ ] ﹐1 ≤ x ≤

12 ⇒ n(A 賽﹐爭年度總種結果以決定

結果如下：答

﹐答對 A 或

____人﹒

B﹐C﹐則 600

15 ] − [300 15

5﹐

110﹒

≤ 200}﹐則

A ∩ B) = 13 總冠軍﹐現定冠軍﹒

答對 A 者有 5 或 C 者有 75

] = 20﹐

：

﹒ 已賽畢三

51 人﹐答人﹐答對

(4)

解答解析

12.設 A = {x 解答解析

13.若 A = {x 數對(a﹐b 解答解析

14.若 A = {x 解答解析

(1)33;(2)8

| B ∪ = C | 5

51 16 (44 x

+ +

⎧⎨ − −

⎩

(1) 44 − 5 (2) n(A ∪

x∈ \ | | x − 1 4

x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒

∵ A ⊂ B 故 k 的最小

x | x²− x − 2 b) = _______

(−2﹐−3) x ∈ A ⇒

∵ A ∪ B

⇒ (x − 3

x﹐y﹐z}﹐B 5

∵ A = B 且 c若 x = 2 ∴ y z

⎧⎨

⎩ d若 x = 3 ∴ y z

⎧⎨

⎩ 由c﹐d知

59

且

| B | 36 =

(13 ) 75

) (23 x

y y

+ − =

− + −

− 6 = 33（人 B ∪ C) = 92

1 | ≤ 2}﹐B =

| x − 1 | ≤ 2

⇒ | x + 1 | ≤ B ⇒ k −1 小值 = 4﹒

> 0}﹐B = { ______﹒

x²− x − 2 >

B = \ ﹐A ∩ 3)(x + 1) ≤ 0

B = {x + 1﹐

且 x ≠ x + 1 時﹐A = {2

2 3 y z

=

= ﹐ y z

⎧ =

⎨ =⎩ 時﹐A = {3

2 4 y z

=

= ﹐ y z

⎧ =

⎨ =⎩ 知﹐共有 5 組

6 ⇒ 59 = 36

5

) 16 66 y + = 人）﹒

2﹐∴ 100 −

= {x ∈ \ | | x

2 ⇒ − 2 k ⇒ − k 1 ≥ 3 且− k −

{x | x²+ ax +

> 0 ⇒ (x −

B = (2﹐3]

⇒ x²− 2

2﹐3}﹐且 A

⇒ x = 2 2﹐y﹐z}﹐B

3

2﹐ 3

3 y z

⎧ =

⎨ =⎩

﹐y﹐z}﹐B 4

2﹐有 2 組組解﹒

6 16 7 + +

⇒ 5

6 x y

⎧ =

⎨ =⎩

− 92 = 8（人

+ 1 | ≤ k}﹐若

≤ x − 1 ≤ 2 k ≤ x + 1 ≤ k

− 1 ≤ −1 ⇒

b ≤ 0}﹐A ∪

− 2)(x + 1) >

⇒ B = [−

2x − 3 ≤ 0 ⇒

A = B﹐則(x

2 或 x = 3﹐

B = {3﹐2﹐3

﹐有 3 組解 B = {4﹐2﹐3

解﹒

5 6﹐

人）﹒

若 A ⊂ B﹐則

⇒ −1 ≤ x

⇒ − k −

⇒ k ≥ 4 且 k

∪ B = \ ﹐A

> 0 ⇒ x >

−1﹐3]

⇒ a = − 2﹐

x﹐y﹐z)之解

3} = {2﹐3}

解﹒

3}﹐

則 k 的最小值

x ≤ 3﹐

1 ≤ x ≤ k − 1 k ≥ 0 ⇒ k

∩ B = {x | 2

> 2 或 x < −1

﹐b = − 3﹒

解共有______

﹐

值 = ______

1﹐

k ≥ 4﹐

2 < x ≤ 3}﹐則

﹐

_______組

_______﹒

則

﹒

(5)

15.設 A = {(x﹐y) | 2x + y = 1}﹐B = {(y + 1﹐x − 2) | ax + by = 1}﹐若 A = B﹐則(a﹐b) = ____________﹒

解答 (1﹐2)

解析 A = {(

α

,

β

) | 2

α

+

β

= 1}

設 1

2 y x

α β

⎧ + =

⎨ − =

⎩ ⇒ 1

2 y

x α β

⎧ = −

⎨ = +

⎩

⇒ a(β + 2) + b(α − 1) = 1 ⇒ bα + aβ = 1 − 2a + b ⇔ 2α+

β

= 1 相同

⇒ 2b =

1a =1 2 1

a b

− + ⇒ 2a = b﹐1 − 2a + b = a﹐

∴ a = 1﹐b = 2 ⇒ (a﹐b) = (1﹐2)﹒

16.每次用 20 根相同火柴棒圍成一個三角形﹐共可圍成____________個不全等的三角形﹒

解答 8

解析設三角形的三邊長 x﹐y﹐z 且 x ≥ y ≥ z﹐x﹐y﹐z∈ ` ﹐則

20 x y z y z x x y z

+ + =

⎧⎪ + >

⎨⎪ ≥ ≥

⎩

……c

……d

……e

﹐

由c得 20 = x + y + z > x + x = 2x ⇒ 10 > x﹐

由c﹐e得 20 = x + y + z ≤ x + x + x = 3x ⇒ 20

3 ≤ x﹐

∵ x ∈ ` ⇒ 7 ≤ x < 10 ⇒ x = 7﹐8﹐9﹐

當 x = 7 時﹐y + z = 13 ⇒ (y﹐z) = (7﹐6) ﹐

當 x = 8 時﹐y + z = 12 ⇒ (y﹐z) = (8﹐4)﹐(7﹐5)﹐(6﹐6) ﹐

當 x = 9 時﹐y + z = 11 ⇒ (y﹐z) = (9﹐2)﹐(8﹐3)﹐(7﹐4)﹐(6﹐5) ﹐

∴ 不全等的三角形共有 1 + 3 + 4 = 8 種﹒

17.新新鞋店為與同業進行促銷戰﹐推出「第二雙不用錢…買一送一」的活動；該鞋店共有八款鞋可供選擇﹐其價格如下：

款式甲乙丙丁戊己庚辛

價格 670 670 700 700 700 800 800 800

規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一雙「丁」款鞋﹐可送甲﹑乙兩款鞋之一）﹐

若有一位新新鞋店的顧客買一送一﹐則該顧客所帶走的兩款鞋﹐其搭配方法共有____________種﹒

解答 21

解析買 800 元款送 700 元款有 3 3 9× = 種﹐

買 800 元款送 670 元款有 3 2 6× = 種﹐

買 700 元款送 670 元款有 3 2 6× = 種﹐

由加法原理得 9 6 6 21+ + = （種）﹒

圍 2-1 集合與計數法則 班級 一年____班 姓 座號 名

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