圍 2.2 多項式運算 班級 一年____班 姓 座號 名

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：102.10.31 範

圍 2.2 多項式運算 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題：(每題10分)

1.設 f (x)  (  x³  x  2)⁹ (1) f (x)的常數項為____________﹒ (2) f (x)的各項係數和為____________﹒

解答 (1) 512;(2) 512

2.多項式 f (x)滿足 8 f (x)  5x⁶ f (x³)  2 f (x²)  18  0﹐則 f (x)的常數項為____________﹒

解答  3

解析 f (x)的常數項為 f (0)

由 8 f (x)  5x⁶ f (x³)  2 f (x²)  18  0﹐令 x  0

∴ 8 f (0)  0  2 f (0)  18  0 ∴ f (0)   3

3.已知 f (x)  ax⁹  bx⁷  cx³  6﹐若 f (x)除以 x  5 時﹐餘式為 2﹐則 f (x)除以 x  5 時﹐其餘式為_________﹒

解答 14

解析 ∵ f x 除以( ) x 的餘式為 2﹐∴ ( 5) 25 f   a( 5) ⁹ b( 5)⁷ c( 5)³  6 2

       a 5⁹ b 5⁷ c 5³ 8 a       ﹐∴ ( )5⁹ b 5⁷ c 5³ 8 f x 除以x 的餘式為5

9 7 3

(5) 5 5 5 6 8 6 14

f             ﹒ a b c

4.求多項式x⁴2x³8x²3x18除以x²  的 (1)商 = ____________ (2)餘式  ____________﹒ x 2 解答 (1)x²3x ;(2)0 9

解析

1 3 9

1 1 2 1 2 8 3 18 1 1 2

3 6 3 3 3 6

9 9 18 9 9 18 0

 

     

 

  

  

 

 

商為x²3x ﹐餘式 0 9

5.(1)若 8⁶  66  8⁴  20  8³  30  8²  a  8  88  0﹐則 a ____________﹒

(2)計算 1 5 ⁴ 1 5 ³ 1 5 ² 1 5

4( ) 2( ) 3( ) ( ) 1

4 4 4 4

        之值為____________﹒

解答 (1)5;(2)9 5 4 4 ;

解析 (1)令 f x( )x⁶66x⁴20 x³ 30x²ax88 則 (8) 0 40 8f    aa  ﹒ 5

1 0 66 20 30 88 8

8 64 16 32 16 (128 8 )

1 8 2 4 2 (16 ) 40 8

a

a

a a

    

      

     

(2)令g x( )4x⁴2x³3x²  ﹐ x 1

1 5

x 4 (4x1)² 5 4x²2x  ﹐ 1 0

1 2

1 4

4 2 3 1 1

2 0 2

1 0 1

4 4 0 4 1 2

1 0 1

   



2 2

( ) (4 2 1)( 1) 2 g x  x  x x    ﹐ x

所求 1 5 1 5 9 5

( ) 0 2

4 4 4 4

g  

      ﹒

6.若多項式 ( )f x 除以x²3x 的商為 22 x ﹐餘式 36 x ﹐求 ( )2 f x 除以x²  的 x 1 (1)商 ____________﹒ (2)餘式  ____________﹒

解答 (1) 2x ;(2) 112  x12

解析 f x( )(x²3x2)(2x 6) 3x 2 2x³11x10 2 2

1 1 1 2 0 11 10 2 2 2

2 13 10

2 2 2

11 12



    

 

  

  

 

商為 2x ﹐餘式 112  x12

7.設多項式 ( )f x 除以2x²2x 的商為 42 x ﹐餘式2 x ﹐求 ( )1 f x 除以x²  的 x 1 (1)商 ____________﹒ (2)餘式  ____________﹒

解答 (1) 8x ;(2)4 x 1 解析

2

2

2

( ) 4 2 1

2 2 2

( ) 8 4 1

1

f x x x

x x

f x x x

x x

  

 

  

 





 2



8.設 f (x)為一多項式﹐a﹐b  R﹐a  0﹐以 x 

a

b

以 x  b 除 f (

a

x

解答

a

a Q ( x )

解析 ∵ f (x)  (x 

a

b

a x

a x

a b

a

x

a

a Q ( x )

 r

故以 x  b 除 f (

a

x

a

a

Q ( x )

為____________﹒

解答 x  11

解析 已知 f (11)  22﹐f ( 22 )  11﹐設 f (x)  (x  11)(x  22)Q (x)  [a (x  11)  22]

又 f ( 22)   33a  22  11  a  1﹐故餘式為 a (x  11)  22  (x  11)  22  x  11 10.設多項式 f (x)除以 x  1﹐x²  2x  3 之餘式依次為 2﹐4x  6﹐則 f (x)除以(x  1)(x²  2x  3)的餘式

為____________﹒

解答  4x²  12x  6

解析 f (x)  (x  1)(x²  2x  3) h(x)  a(x²  2x  3)  4x  6

f (1)  2a + 10  2  a   4 ∴ 餘式為  4x²  12x  6

11.設 n 次多項式 f (x)分別除以(x  1)﹐(x  1)﹐(x  3)的餘式依次是7﹐5﹐9﹒試求 f (x)除以 (x  1)(x  1)(x  3)之餘式為____________﹒

解答  x² 6x

解析 設 ( )f x (x1)(x1)(x3) ( )q x a x( 1)(x 1) b x(   ﹐ 1) 7

∵ (1) 2f  b  7 5 b ﹐又 (3) 86 f  a4b  7 9 a  ﹐ 1

∴所求餘式為 (x 1)(x 1) 6(x    1) 7 x² 6x﹒

12.設 deg f (x)  3﹐若多項式 f (x)除以 x  1 的餘式為 7﹐除以 x²  x  1 的餘式為 2x  1﹐試求 f (x)除 以 x³  1 的餘式________________________﹒

解答 2x²  4x  1

解析 設 f x( )(x³1)．Q x( )a x( ²  x 1) 2x1﹐ (1) (3) 2 1 7

f a    a ﹐ 2 ( ) ( 3 1)

f x  x  的餘式為2(x²  x 1) 2x 1 2x²4x ﹒ 1

13.設 x²  x  2 除 x⁴  x³  x²  ax  3 的餘式為 2x  b﹐a﹐b  R﹐則數對(a﹐b)  ____________﹒

解答 (3﹐5)

解析 ∵ x²  x  2 除 x⁴  x³  x²  ax  3 的餘式為 2x  b

∴ x²  x  2 | (x⁴  x³  x²  ax  3)  (2x  b)  x⁴  x³  x²  (a  2)x  (3  b)

∴ a  3  0 且 5  b  0 ∴ a  3﹐b  5

14.f (x)  2x³  5x²  8x  a﹐g (x)  x²  4x  b﹐已知 f (x)是 g (x)的倍式﹐則 (1)a ____________﹒ (2)b ____________﹒

解答 (1)6;(2)2

解析 f (x)  2x³  5x²  8x  a 是 g (x)  x²  4x  b 的倍式﹐即 g (x)整除 f (x)﹐用綜合除法

餘式為 0﹐故 4  2b  0﹐a  3b  0 得 b  2﹐a  6

15.設 f (x)  x⁵  3x⁴  2x³ + 2x 1a (x  2)⁵ + b (x  2)⁴ + c(x  2)³  d(x  2)²  e(x  2) f﹐

(1)求序組(

a

b

c

(2)求 f ( 1.99)之近似值至小數點以下第三位（第四位四捨五入）得____________﹒

解答 (1)

(1, 7,14, 4, 38, 29)  

原式  (x  2)⁵  7(x  2)⁴ + 14(x  2)³  4(x  2)²  38(x  2)  29 f ( 1.99)  (0.01)⁵  7(0.01)⁴  14 (0.01)³ + 4(0.01)²  38(0.01)  29  29  0.38  0.0004  …≒28.620

16.設 x⁴  (x  k)(x  1)(x  2)(x  2)  a(x  1)(x  2)  b(x  1)  c﹐則 a  b  c  k ____________﹒

解答 2

解析 令 x  1  1  c；x   2  16   3b  1 ∴ b   5

x  2  16  4a  5  1 ∴ a  5；x  0  0  4k  10  5  1 ∴ k  1 則 a  b  c  k  2

17.設 f (x)  (x²  x  1) q(x)  2x  5﹐且 f (x)之各項係數和為 2﹐則 q(x)除以 x  1 之餘式為____________﹒

解答 5

解析 f (x)  (x²  x  1) q(x)  2x  5

f (x)之各項係數和為 2  f (1)  2  q(1)  2  5  2  q(1)  5 故 q(x)除以 x  1 之餘式為 q(1)  5

18.用 x  1 除(x  2)²⁰⁰³  2003 所得的餘式為____________﹒

解答 2002

解析 令 f (x)  (x  2)²⁰⁰³  2003 由餘式定理  餘式 r  f (1)  (1  2)²⁰⁰³  2003  2002 19.若多項式 f (x)  8x³  ax²  bx  5 被 2x²  x  1 除的餘式為 4x  1﹐則

(1) a  b ____________﹒

(2) f (x)被 2x  1 除的餘式為____________﹒

(3)改寫 f (x)  a (2x  1)³  b (2x  1)²  c (2x  1)  d﹐則序對(a﹐b﹐c﹐d) ____________﹒

(4) f (0.48)的近似值為____________﹒（以四捨五入法取至小數點後第三位）

解答 (1)  8;(2) 3;(3)(1﹐2﹐ 1﹐3);(4) 3.043 解析 (1)

由 r (x)  4x  1 

 









 4 8

0 4 b

a

 









 4 4 b

a

(2) f (x)  8x³  4x²  4x  5﹐餘式 r  f (

2

1

(3)

由上綜合除法之計算﹐序對(a﹐b﹐c﹐d)  (1﹐2﹐ 1﹐3) (4)由(3)  f (x)  3  (2x  1)  2(2x  1)²  (2x  1)³

則 f (0.48)  3  ( 0.04)  2  (0.0016) …≒3.043

20.三次多項式 f (x)﹐若 f ( 1)  f (1)  f (2)  0﹐且滿足 f (5)   72﹐求 f (x) ____________﹒

解答  (x  1)(x  1)(x  2)

解析 設 f (x)  a(x  1)(x  1)(x  2)﹐f (5)  a  4  6  3   72﹐a   1

∴ f (x)   (x  1)(x  1)(x  2)

21.設 ( )f x 為三次多項式﹐滿足 (0)f  f(1) f(2) ﹐ (3)0 f  6﹐求 (1) ( )f x  ____________﹒ (2) ( )f x 除以x 的餘式為____________﹒ 1 解答 (1) (x x1)(x ;(2)  6 2)

解析 (1)∵ (0)f  f(1) f(2)  ( )0 f x 含有 x ﹐x ﹐1 x 之因式 2 ∴設 ( )f x ax x( 1)(x 2)

又∵ (3)f   6 a    ∴3 2 1 6 a ∴ ( )1 f x x x( 1)(x 2) (2) ( )f x 除以x 的餘式為 ( 1)1 f         1 ( 2)( 3) 6