圍 1-4 雙曲線班級二年____班姓座號名

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：100.03.27 範

圍 1-4 雙曲線班級二年____班姓座號名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.已知平面上兩點﹐^A

(

⁻^{5, 0}

)

^﹐^B

( )

^{3, 0} ^﹐若動點P x y 滿足﹐則

( )

^,

(1)PA+PB=10﹐ P 點軌跡為____________﹒(2) PA−PB = ﹐ P 點軌跡為____________﹒ 8 解答 (1)橢圓;(2)兩射線

解析 (1) 2a=10﹐ 2c=AB= ﹐∵ 28 a>2c﹐∴圖形為橢圓﹒

(2) 2a= ﹐ 28 c= ﹐∵ 28 a=2c﹐∴圖形為以為A B, 端點的相反兩射線﹒

2.已知一雙曲線的兩焦點為

( )

^{2, 4 及}

(

⁻^{6, 4}

)

且共軛軸長為 4﹐則此雙曲線 (1)共軛雙曲線方程式為____________﹒(2)兩漸近線方程式為____________﹒

解答 (1)

(

²

) (

² ⁴

)

²

12 4 1 x+ y−

− + = ;(2)^x^{+ +}² ³

(

^y⁻⁴

)

^{= 或}⁰ ^x^{+ −}² ³

(

^y⁻⁴

)

⁼⁰

解析 (1)中心

(

⁻^{2, 4}

)

^{﹐左右型﹐}

2c= ⇒8 c= ﹐ 24 b= ⇒4 b= ﹐又2 c²=a²+b²⇒ a²=16− =4 12﹐ 已知雙曲線方程式為

(

²

) (

² ⁴

)

²

12 4 1 x+ y−

− = ﹐

則共軛雙曲線方程式為

(

²

) (

² ⁴

)

²

12 4 1 x+ y−

− + = ﹒

(2)

2 2

2 4

2 0 12

x+ y−

  −  =

   

  ⇒ 2 4 2 4

2 2 0

2 3 2 3

x+ y− x+ y−

 −  + =

  

   ﹐

∴漸近線方程式為 ²

(

⁴

)

⁰

3

x+ + y− = 或 ²

(

⁴

)

⁰

3

x+ − y− =

⇒ ^x^{+ +}² ³

(

^y⁻⁴

)

^{= 或}⁰ ^x^{+ −}² ³

(

^y⁻⁴

)

^{= ﹒}⁰

3.請將下列各題填入適當的代號﹕

(A)橢圓 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)線段 (E)二射線 (F)一射線 (G)無圖形 (H)雙曲線的一部分

(1)方程式

2

2 1 1

4 4

x +y−  = +x

  的圖形為____________﹒

(2)方程式

(

^x⁻³

) (

²⁺ ^y⁻⁴

)

² ⁺ ^x²⁺^y² = 的圖形為____________﹒ ⁵ (3)方程式

(

^x⁻²

) (

²⁺ ^y⁻²

)

² ⁻ ^x²⁺^y² ⁼^{2 2}的圖形為____________﹒

(4)P x y ﹐

( )

, 2 cos 2 2sin cos x

y

θ θ θ

 =

 = ﹐ 0≤ ≤ ﹐ P 的軌跡圖形為____________﹒ θ π

(2)

(5)^{P x y ﹐}

( )

^, ^2sin

cos x

y

θ θ

 =

 = −

 ﹐θ為實數﹐ P 的軌跡圖形為____________﹒

解答 (1)B;(2)D;(3)F;(4)A;(5)A

解析 (1)∵

2 2

1

1 4

4 1

x

x y

  + + −  =

  且 1

0,4

 

 

 不在直線 1 4 0

x+ = 上﹐∴為拋物線﹐選(B)﹒

(2)題意﹐P x y ﹐

( )

, F₁

( )

3, 4 ﹐F₂

( )

0, 0 ﹐PF₁+PF₂= ﹐5 F F₁ ₂ = 表一線段﹐∴(D)﹒ 5

(3)題意﹐P x y ﹐

( )

, F₁

( )

2, 2 ﹐F₂

( )

0, 0 ﹐PF₁−PF₂=2 2﹐F F₁ ₂ =2 2表一射線﹐∴(F)﹒

(4)P x y

( ) (

^, = 2 cos 2 ,sin 2θ θ

)

﹐ 0 2≤ θ≤2π 表橢圓﹐選(A)﹒

(5)表橢圓﹐∴選(A)﹒

4.已知F ﹑₁ F 是雙曲線2

2 2

9 4 1

x − y = 的焦點﹐ AB 是經過右焦點F 的一弦﹐而且 A ﹑ B 都在此雙曲線₁ 的右支上﹐若△ABF 的周長為 30﹐則弦長 AB = ____________﹒ ₂

解答 9

解析如圖且依定義可知﹐AF₂−AF₁=BF₂−BF₁=2a= ﹐ 6

△ABF 周長為₂ AF₂+BF₂+AB=30⇒

(

⁶⁺^AF¹

) (

⁺ ⁶⁺^BF¹

)

⁺^AB⁼³⁰

⇒ 2AB=18﹐∴AB= ﹒ 9

5.平面上雙曲線

(

¹

) (

² ²

)

²

25 144 1 x− y+

− = 與橢圓

( ) (

²

)

²

2

1 2

1 2 1

x y

k k

− +

+ =

+ 共焦點﹐則 k= ____________﹒

解答 14

解析 ∵雙曲線和橢圓共焦點﹐且為左右型﹐且c共用

∴^c²⁼^{25 144}⁺ ⁼

(

^k²^{+ −}¹

) ( )

²^k

⇒k²−2k−168= ⇒0

(

^k⁻¹⁴

)(

^k⁺¹²

)

⁼⁰⇒ k=14或k= − ﹐ 12 又k²+ > ﹐ 21 0 k> ⇒0 k> ﹐∴0 k=14﹒

6.中心在直線x+ = 上的雙曲線﹐則 y 0

(1)若有一頂點為

( )

^{1,3 ﹐}^{靠近此頂點的焦點為}

( )

^{1, 4 ﹐}則其斜率為正的漸近線方程式為____________﹒

(2)若為等軸雙曲線且有一漸近線為x−3y= ﹐則其另一漸近線為____________﹒ 8 解答 (1) 4x−3y− = ;(2) 37 0 x+ = y 4

解析 (1)由圖可知﹐

中心在x= ﹐1 x+ = 上y 0 ⇒ 中心

(

^{1, 1}^{− ﹐}

)

又a= ﹐4 c= ⇒5 b= ﹐且為上下型雙曲線 ⇒3

(

¹

) (

² ¹

)

²

16 9 1 y+ x−

− =

(3)

⇒ 漸近線﹕ ¹ ⁴

(

¹

)

y+ = ±3 x−

⇒ 斜率為正的漸近線為 ¹ ⁴

(

¹

)

y+ =3 x− ⇒ 3y+ −3 4x+ =4 0⇒ 4x−3y− = ﹒ 7 0 (2)解 3 8

0 x y x y

− =

 + =

 ⇒ x= ﹐2 y= − ﹐中心2

(

^{2, 2}^{− ﹐}

)

等軸雙曲線兩漸近線互相垂直﹐

∴設另一漸近線為 3x+ = ﹐過y k

(

^{2, 2}⁻

)

⇒ 3x+ = ﹒ y 4

7.等軸雙曲線Γ 有一條漸近線為x− = ﹐中心坐標為y 0

( )

^{1,1 且}^Γ ^通過點

( )

^{3, 0 ﹐則雙曲線}^Γ ^的方程

式為__________﹒

解答

(

¹

) (

² ¹

)

²

3 3 1 x− y−

− =

解析設另一漸近線為x+ + = ﹐y k 0

( )

^{1,1 代入得}k = − ﹐∴2 x+ − = ﹐ y 2 0 設所求雙曲線為

(

^x⁻^y

)(

^x^{+ −}^y ²

)

^{= ﹐}^t

( )

^{3, 0 代入得}t= ﹐ 3

方程式為

(

^x⁻^y

)(

^x^{+ −}^y ²

)

⁼³^⇒ ^x²⁻²^x⁻^y²⁺²^y⁼³

⇒

(

^x⁻¹

) (

²⁻ ^y⁻¹

)

²^{= + − =}^{3 1 1 3} ^⇒

(

¹

) (

² ¹

)

²

3 3 1 x− y−

− = ﹒

8.雙曲線^Γ ^:

(

^x⁺⁴

) (

²⁺ ^y⁻¹

)

² ⁻

(

^x⁻²

) (

²⁺ ^y⁺³

)

² ^{= ﹐則}⁶

(1)此雙曲線的中心點坐標為____________﹒(2)貫軸長為____________﹒

解答 (1)

(

^{− − ;(2)6}^{1, 1}

)

解析 F1

(

−4,1

)

﹐F2

(

2, 3− ﹐ 2

)

a= ﹐ 6

(1)中心為F F₁ ₂中點

(

− − ﹒ (2) 2^{1, 1}

)

a= ﹒ 6

9.雙曲線方程式4x²−9y²−16x+18y+43= ﹐則此雙曲線的漸近線方程式為____________﹒ 0 解答 2x+3y− = 或 27 0 x−3y− = 1 0

解析原式⇒⁴

(

^x⁻²

)

²⁻⁹

(

^y⁻¹

)

² ^{= − ﹐漸近線}³⁶ ⁴

(

^x⁻²

)

²⁻⁹

(

^y⁻¹

)

² ⁼⁰

⇒²

(

^x⁻²

) (

⁺³ ^y^{− = 或}¹

)

⁰ ²

(

^x⁻²

) (

⁻³ ^y^{− =}¹

)

⁰ ⇒ 2x+3y− = 或 27 0 x−3y− = ﹒ 1 0

10.雙曲線方程式為⁹

(

^x⁻³

)

²⁻¹⁶

(

^y⁻²

)

² ⁼¹⁴⁴﹐則此雙曲線的焦點坐標為____________﹒

解答

( )

^{8, 2 ﹑}

(

⁻^{2, 2}

)

解析

(

³

) (

² ²

)

²

16 9 1 x− y−

− = ﹐a= ﹐4 b= ⇒3 c= a²+b² = ﹐焦點5

(

3 5, 2±

)

⇒

( )

8, 2 ﹑

(

−2, 2

)

﹒

(4)

11.若一雙曲線的中心為

( )

2,3 ﹐貫軸垂直 x 軸﹐貫軸長為 6﹐共軛軸長為 8﹐則此雙曲線方程式為 ____________﹒

解答

(

²

) (

² ³

)

²

16 9 1 x− y−

− + =

解析貫軸垂直 x 軸⇒ 上下型﹐中心

( )

^{2,3 ﹐ 2}a= ⇒6 a= ﹐ 23 b= ⇒8 b= ﹐ 4

∴雙曲線﹕

(

²

) (

² ³

)

²

16 9 1 x− y−

− + = ﹒

12.若雙曲線

2 2

1: 2 1

9 x y

Γ a − = 上一點 P 到此雙曲線兩漸近線的距離乘積為36

13﹐今有一橢圓Γ₂與雙曲線Γ₁共焦點且短軸長為 4﹐則橢圓Γ₂方程式的標準式為____________﹒

解答

2 2

17 4 1 x + y =

解析

2 2

36 13 a b a b =

+ ⇒ ₂² 9 36 9 13 a

a

× =

+ ﹐∴a²= ﹐ 4

∵橢圓與雙曲線共焦點﹐∴方向相同⇒ 左右型﹐

雙曲線中

2 2

2 2 2

4 9 13 13 a b

c a b

 + = + =



= + =

 ﹐橢圓中

2 2 2

2 4 2

4 13 17

b b

a b c

= ⇒ =



= + = + =



∴橢圓方程式為

2 2

17 4 1

x + y = ﹒

13.下圖是一個雙曲線﹐且 A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個點中有一為其焦點﹐試判斷其焦點為____________﹒

解答 C

解析利用c² =a²+b²⇒ OF= ﹐故選點 C ﹒ c

14.以y=2x﹐y= − 為漸近線﹐且焦點是2x

( )

4, 0 的雙曲線方程式標準式為____________﹒

解答

2 2

5 5 16 64 1

x − y =

解析 y=2x﹐y= − 為漸近線﹐且焦點是2x

( )

^{4, 0} ⇒左右型﹐中心

( )

^{0, 0 ﹐}c= ﹐ 4 b 2

a = ⇒ b=2a=2k﹐

又c²=a²+b²⇒16=k²+4k²=5k²﹐

∴ ² ² 16

a =k = 5 ﹐ ² 4 ² 4 16 64 5 5 b = k = × = ﹐

(5)

方程式為

2 2

16 64 1 5 5

x − y = ⇒ 5 ² 5 ² 16 64 1

x − y = ﹒

15.等軸雙曲線Γ 的一條漸近線為x−2y= ﹐中心的坐標0

( )

^{2,1 且}^Γ ^過點

( )

3, 2 ﹐則此雙曲線Γ 的方程式為__________﹒

解答

(

^x⁻²^y

)(

²^x^{+ −}^y ⁵

)

^{= −}³

解析等軸雙曲線的兩漸近線垂直﹐設另一條漸近線﹕ 2x+ + = ﹐過中心y k 0

( )

^2,1

⇒ 4 1+ + =k 0

⇒

k= − ⇒ 另一條漸近線﹕ 25 x+ − = ﹐ y 5 0 設^Γ ^:

(

^x⁻²^y

)(

²^x^{+ −}^y ⁵

)

^{= ﹐又}^t ^Γ ^過

( )

^{3, 2} ⇒

( )

^{− × = ﹐}¹ ³ ^t

∴所求^Γ ^:

(

^x⁻²^y

)(

²^x^{+ −}^y ⁵

)

^{= − ﹒}³

16.設 k 為實數﹐若方程式

2 2

2 1

3 2 2

x y

k k + k =

+ + − 的圖形是雙曲線﹐則 k 的範圍為____________﹒

解答 k > 或 22 − < < − ﹒ k 1

解析雙曲線﹐

(

^k²⁺³^k⁺^{2 2}

) (

⁻^k

)

^<⁰ ^⇒

(

^k⁺²

)(

^k⁺¹

)(

^k⁻²

)

^{> ﹐∴}⁰ k> 或 22 − < < − ﹒ k 1 17.已知雙曲線的兩焦點分別為F₁

( )

8, 2 ﹐F₂

(

−2, 2

)

﹐其一漸近線的斜率為3

4﹐則此雙曲線的共軛雙曲線方程式為____________﹒

解答

(

³

) (

² ²

)

²

16 9 1 x− y−

− = −

解析由題意知﹐中心

( )

3, 2 ﹐左右型﹐由漸近線斜率3 4

b

= ⇒ 設a a=4k﹐b=3k

⇒

( ) ( )

⁴^k ²⁺ ³^k ²⁼⁵²^⇒^k = ⇒ 原雙曲線方程式為¹

(

³

) (

² ²

)

²

16 9 1 x− y−

− = ﹐

故共軛方程式為

(

³

) (

² ²

)

²

16 9 1 x− y−

− = − ﹒

18.

(

^x⁺²^y

)(

^x⁻²^y⁺⁴

)

= 的圖形為一雙曲線﹐其標準式為____________﹒ ¹ 解答

( ) (

² ¹

)

²

2 1

1 4

x y−

+ − =

解析原式⇒ x²−4y²+4x+8y=1⇒

(

^x⁺²

)

²⁻⁴

(

^y⁻¹

)

²^{= + − = ﹐}^{1 4} ^{4 1}

∴

( ) (

² ¹

)

²

2 1

1 4

x y−

+ − = 為所求﹒

19.^{P x y 為雙曲線}

( )

^, ^Γ^{: 4}^y²⁻⁵^x²⁼¹⁸⁰上的一點﹐ F 表下焦點﹐則

(1) P 與兩漸近線距離的乘積為____________﹒ (2)若P=

(

x, 9− ﹐則 FP 長為____________﹒

)

(6)

解答 (1)20;(2)12 5

解析 −5x²+4y²=180⇒ ² ² 1 36 45

x y

− + = ⇒a²=45﹐b²=36﹐

(1)所求為

2 2

45 36 45 36 20 a b

a b

= × =

+ + ﹒

(2)c²=a²+b²=81⇒c= ﹐∴9 ^F

(

^{0, 9}^{− ﹐}

)

又−5x²+4y²=180﹐y= − 代入 9

⇒ −5x²=180 324− = −144⇒ ² 144

x = 5 ⇒ 12 x= ± 5﹐

∴ 12 , 9 5 P± − 

 ﹐

12 2 12

5 5

FP=   =

  ﹒

20.雙曲線的方程式為9x²−4y²+ = ﹐則共軛雙曲線的共軛軸長為____________﹒ 9 0 解答 3

解析共軛雙曲線﹕−9x²+4y²+ = ⇒9 0 −9x²+4y²= − ⇒9 ² ² 1 1 9

4 x − y = ﹐

∴ ² 9

b =4 ⇒ 3

b= ﹐∴共軛軸長為 22 b= ﹒ 3

21.試求中心在原點﹐貫軸在 y 軸上且通過點

( )

^{2,3 和}

(

^{4, 3 2}⁻

)

的雙曲線標準式為____________﹒

解答

2 2

6 8 1 y −x =

解析 ∵貫軸在 y 軸﹐∴上下型⇒ x²₂ y₂² 1 b a

− + = ﹐

∵過

( )

^{2,3 ﹑}

(

^{4, 3 2}⁻

)

^﹐∴ ² ²

2 2

4 9 1 16 18

1 b a

b a

− + =



− + =



⇒b²= ﹐8 a²= ﹐所求方程式為6 ² ² 1 6 8 y −x = ﹒

22.設一雙曲線方程式其中心在原點﹐一焦點在

( )

5, 0 ﹐一漸近線為 3

y=4x﹐則方程式為____________﹒

解答

2 2

16 9 1 x − y =

解析由題意知﹐左右型且由漸近線斜率3 4

b

= ⇒a 可設b=3k﹐a=4k

⇒c²=a²+b²⇒⁵²⁼

( ) ( )

⁴^k ²⁺ ³^k ²^⇒^k²^{= ⇒}¹ ^a^{= ﹐}⁴ ^b^{= ﹐∴所求為}³ ² ² ¹

16 9 x − y = ﹒

23.雙曲線

2 2

1 16 1

x − y = 的正焦弦長為____________﹒

(7)

解答 32

解析 a² = ⇒1 a= ﹐1 b² =16⇒ b= ﹐∴正焦弦長為4 2 ² 2 16 1 32 b

a

= × = ﹒

24.設雙曲線

2 2

: 1

4 16 x y

Γ − = ﹐ P 為其上動點﹐F ﹑₁ F 為其兩焦點﹐求 2

(1)若PF₁= ﹐則5 PF₂ =____________﹒(2)若PF₁= ﹐則雙曲線上滿足此條件的9 P點共有_____個﹒

解答 (1)1 或 9;(2)4 解析

2 2

: 1

4 16 x y

Γ − = ⇒ a= ﹐2 b= ﹐ 4

(1)由雙曲線定義 PF₁−PF₂ =2a=4 ⇒ 5−PF₂ =4⇒ PF₂ = 或 9﹒ 1

(2)PF₁= ﹐雙曲線兩支上各有兩點符合此條件（∵9 PF₁= > + = +9 a c 2 2 5）﹐

故滿足此條件的 P 點共有 4 個﹒

25.設雙曲線Γ 方程式為4x²−9y²+16x+18y+43= ﹐而0 F ﹑₁ F 是 Γ 的焦點﹐試回答下列問題﹕ ₂ (1)兩焦點F 與₁ F 的坐標為____________﹒ ₂

(2)若^{P x y 是}

( )

^, ^Γ ^{上的任一點﹐則} PF1−PF2 = ____________﹒

(3)兩漸近線的方程式為____________﹒

解答 (1)

(

⁻^2,1^± ¹³

)

;(2)4;(3) 2x+3y= − 或 21 x−3y= − 7

解析 ⁴

(

^x²⁺⁴^x

) (

⁻⁹ ^y²⁻²^y

)

^{= −}⁴³^⇒ ⁴

⁽

^x⁺²

⁾

²⁻⁹

⁽

^y⁻¹

⁾

² ^{= − +}^{43 16 9}⁻

⇒⁴

(

^x⁺²

)

²⁻⁹

(

^y⁻¹

)

²^{= −}³⁶^⇒

(

²

) (

² ¹

)

²

9 4 1 x+ y−

− + = ﹐

∵中心

(

−2,1

)

﹐a= ﹐2 b= ﹐上下型﹐∴3 c= 13﹒ (1)焦點

(

⁻^2,1^± ¹³

)

^﹒

(2) PF₁−PF₂ =2a= ﹒ 4

(3) 2

3 m a

= ± = ±b

漸 ﹐又中心

(

⁻^2,1

)

^{﹐∴漸近線方程式為} 1 ²( 2) y− = ±3 x+ 即 2x+3y= − 或 21 x−3y= − ﹒ 7

26.

2 2

: 1

25 16

x y

k k

Γ + =

− − ﹐則

(1)若Γ 表雙曲線﹐則 k 的範圍為____________﹒

(2)若Γ 表過點

(

1, 2 2 的雙曲線﹐則其斜率為正的漸近線方程式為____________﹒

)

解答 (1)16< <k 25;(2) 2x− = y 0

(8)

解析 (1) 雙曲線分母異號，

(

^k⁻²⁵

)(

^k⁻¹⁶

)

^<⁰⇒ 16< <k 25﹒ (2)

(

1, 2 2 代入雙曲線

)

⇒ 1 8

25 16 1

k +k =

− −

⇒ k−16 8+ k−200=k²−41k+400 ⇒ k²−50k+616= 0

⇒

(

^k⁻²²

)(

^k⁻²⁸

)

^{= ﹐}⁰

又16< <k 25﹐∴取k=22﹐∴

2 2

: 1

3 6 x y Γ − + =

⇒ 漸近線﹕ 3

0 ( 0) y− = ± 6 x−

取正

⇒

³

y= 6x﹐即 2x− = ﹒ y 0 27.設 P 為雙曲線

2 2

9 16 1

x − y = 上的一點且位在第一象限﹒若 F1﹑F2為此雙曲線的兩個焦點﹐且

1: 2 1: 3

PF PF = ﹐則△F1PF2的周長等於____________﹒

解答 22 解析由

2 2

: 1

9 16 x y

Γ − = 知a= ﹐3 b= ﹐4 c= a²+b² = ﹐ 5 依題意﹐設PF₁= ﹐k PF₂ =3k﹐k> ﹐ 0

並由雙曲線的定義 PF₁−PF₂ =2a﹐

得k−3k = 即6 k= ﹐又3 F F_{1 2} =2c=10﹐所以周長 3 9 10 22= + + = ﹒

28.已知雙曲線貫軸長為 6﹐共軛軸長為 4﹐貫軸方程式為x−2y+ = ﹐若其中一條漸近線的斜率3 0 為 m 且m> ﹐則 m = ____________﹒ 0

解答 7 4

解析如圖，漸近線斜率

( )

1 2 7 tan tan 2 3 6 7 tan 1 tan tan 1 1 2 4 4

2 3 6

m α β α β

α β + +

= + = = = =

− − × ﹒

29.請選擇符合各題敘述的圖形名稱﹐以(A)～(H)代號填入﹒

(A)拋物線 (B)橢圓 (C)雙曲線的一支 (D)雙曲線 (E)一線段 (F)兩射線 (G)一直線 (H)沒有圖形

(1)______在平面上﹐「到定直線 :L x− = 的距離」是「到定點4 0 ^F

( )

^{1, 0} 之距離」的 2 倍之動點 P 所 形成的圖形﹒

(2)______在平面上﹐「到定直線 :L x+ = 的距離」是比「到定點7 0 ^F

( )

^{4, 0} 的距離」多 1 之動點 P 所形成的圖形﹒

(3)______在平面上﹐與兩圓C1:

(

x−3

)

²+y²= 及4 C2:

(

x+2

)

²+y²= 均外切的動圓圓心 P 所形成 1 的圖形﹒

(4)______在平面上﹐滿足

(

^x⁻³

) (

²⁺ ^y⁻²

)

² ⁻

(

^x⁺³

) (

²⁺ ^y⁻²

)

² ^{= 的}⁸ P x y 所形成的圖形﹒

( )

^,

(9)

(5)______在平面上﹐A

( )

2, 0 ﹐B

( )

0, 2 所有滿足PA+PB= 8的動點 P 所形成的圖形﹒

解答 (1)B;(2)A;(3)C;(4)H;(5)E 解析 (1) 4 ² ²

2 ( 1) ( 0) 1

x− x y

= − + −

⇒ ^x⁻⁴²⁼⁴^_

(

^x⁻¹

)

²⁺^y²^_{ ⇒}

(

^x²⁻⁸^x⁺¹⁶

) (

⁼⁴ ^x²⁻²^x^{+ +}¹ ^y²

)

⇒3x²+4y²=12表橢圓﹐∴選(B)﹒

(2)| 7 | ² ²

( 4) ( 0) 1 1

x+ = x− + y− +

⇒ ± +(x 7)= (x−4)²+y² +1

⇒

(

^x⁺⁶

) (

²⁼ ^x⁻⁴

)

²⁺^y²^⇒ ^y²⁼²⁰⁽^x^{+ 或}¹⁾

(

x 8

)

²

(

x 4

)

² y² y² 24(x 2)

− +  = − + ⇒ = +

 

皆

表拋物線﹐∴選(A)﹒

(3)設O₁

( )

3, 0 ﹐O₂

(

−2, 0

)

﹐動圓半徑 r ﹐則PO₁= + ﹐r 2 PO₂= + ﹐ r 1 ∴PO₁−PO₂= =1 2a表雙曲線的一支﹐∴選(C)﹒

(4)令F

( )

3, 2 ﹐F₂

(

−3, 2

)

﹐2c=F F₁ ₂ = < =6 8 2a沒有圖形﹐∴選(H)﹒

(5) 2c=AB= 4+ =4 8=2a表一線段 AB ﹐∴選(E)﹒

30.在圖中﹐圓 O 的圓心為原點﹑半徑為 4﹐ F 的坐標為

( )

^{6, 0 ﹐}Q 在圓 O 上﹐ P 點 為 FQ 的中垂線與直線 OQ



的交點﹐當 Q 在圓 O 上移動時﹐求動點 P 的軌跡方程 式為______________﹒

解答

(

³

)

² ²

4 5 1 x− y

− =

解析 PQ=PF﹐PO=PQ+OQ=PQ+ =4 PF+4⇒ PO−PF = ﹐ 4 即以^O

( )

^{0, 0} ^﹐^F

( )

^{6, 0} 為兩焦點的雙曲線且 2a= 4

⇒ 中心

( )

3, 0 且為左右型﹐又 2c=OF= ⇒6 c= 且3 a= ﹐∴2 b= 5﹐

∴軌跡方程式為

(

³

)

² ²

4 5 1 x− y

− = ﹒

31.已知圓^C^:

(

^x⁻²

) (

²⁺ ^y⁺¹

)

² ^{= 及兩點}⁹ ^A

( )

^2,3 ^﹐^B

(

^{0, 1}^{− ﹐則}

)

(1)過點 A 且與圓 C 相切的圓之圓心形成的圖形方程式為____________﹒

(2)過點 B 且與圓 C 相切的圓之圓心形成的圖形方程式為____________﹒

(10)

解答 (1)

(

²

) (

² ¹

)

²

7 9 1

4 4

x− y−

− + = ;(2)

(

¹

) (

² ¹

)

²

9 5 1

4 4

x− y+

+ =

解析 (1) PO= + r 3

)

3 PA r PO PA

− =

 P O′ = − r 3

)

3 P A r

P O P A

− ′ =

′ − ′ = −

由⇒ PO−PA = ……雙曲線﹐ 3

∴中心

( )

2,1 ﹐ 3

a= ﹐2 2

2

c= AO = ⇒ ² 9 7 4 4 4

b = − = 且上下型﹐

故雙曲線：

(

²

) (

² ¹

)

²

7 9 1

4 4

x− y−

− + = ﹒

(2)

PO= − 3 r

)

3 PB r PO PB + =

+ = 橢

∴中心

(

1, 1− ﹐

)

3

a= ﹐2 1

2

c=BO = ⇒ ² 9 5 4 1 4

b = − = 且左右型﹐

∴橢圓：

(

¹

) (

² ¹

)

²

9 5 1

4 4

x− y+

+ = ﹒

(11)

32.已知橢圓與雙曲線

(

1

)

² 2

4 1 x+ y

− = 共焦點﹐且橢圓的正焦弦長度等於 1﹐則橢圓的方程式為_____﹒

解答

(

¹

)

² ²

25 5 1

4 4

x+ y + =

解析雙曲線：中心

(

⁻^{1, 0}

)

^﹐^c²= + = ﹐左右型﹐ ^{4 1 5} 橢圓：中心

(

⁻^{1, 0}

)

^﹐^c² ^{= ﹐左右型﹐又}⁵

2 2

2

5 2 1 a b

b a

 = +



 = ⇒ ²

(

² ⁵

)

1 a

a

− = ⇒ 2a²− −a 10= ﹐ 0

∴ 5

a= ﹐2 ² 5 2 4

b = = ﹐故橢圓：a

(

¹

)

² ²

25 5 1

4 4

x+ y

+ = ﹒

33.設F ﹑₁ F 為雙曲線2

2 2

9 30 1

x − y = 的兩個焦點﹐且 P 為雙曲線上一點﹐若∠F PF₁ ₂=120° ﹐則△PF F₁ ₂

的最短邊長度為____________﹒

解答 4

解析 a² = ⇒9 a= ⇒ 23 a= ﹐6 c²=a²+b²= +9 30=39⇒c= 39﹐

設

PF1=  ﹐則PF²= − 6﹐

∴

( )

2 6 2 (2 39)2 1 cos120

2 6 2

+ − −

° = = −

−

 

⇒²^²⁻¹²^⁻¹²⁰^{= −}

(

^²⁻⁶^{ ⇒}

)

³²⁻¹⁸⁻¹²⁰⁼⁰ ⇒

2−6 −40= ⇒ −0 ( 10)( +4)=0

    ﹐∴=10﹐故所求為10 6 4− = ﹒

34.有一雙曲線 A 的貫軸方程式是y+ = ﹐且點4 0

(

^{4, 4}− 是一個焦點；若直線 2

)

x− + = 是 A 的一y 8 0 條漸近線﹐則 A 的方程式為____________﹒

解答

(

⁶

) (

² ⁴

)

²

20 80 1 x+ y+

− =

解析貫軸y+ = 與漸近線 24 0 x− + = 的交點為中心y 8 0

(

^{− −}^{6 ,} ⁴

)

⇒c=10﹐ b 2

m_漸= =a ﹐∴設 a k= ﹐b=2k﹐

又c²=a²+b²⇒100=k²+4k²⇒k²=20﹐∴a²=20﹐b²=80﹐ 故雙曲線方程式為

(

⁶

) (

² ⁴

)

²

20 80 1 x+ y+

− = ﹒

35.設圓^C^:

(

^x⁻¹

)

²⁺^y²⁼¹⁶^﹐^A

(

⁻^{1, 0}

)

^﹐^B

( )

^{7, 0} ^﹐則

(1)通過 A 且與圓 C 相切的所有圓的圓心軌跡方程式為____________﹒

(12)

(2)通過 B 且與圓 C 相切的所有圓的圓心軌跡方程式為____________﹒

解答 (1)

2 2

4 3 1

x + y = ;(2)

(

⁴

)

² ²

4 5 1

x− y

− = 解析 (1)PA= ﹐r PO= − ﹐ 4 r

4 2

PA+PO= = a⇒a= ﹐ 2

以^A

(

⁻^{1, 0}

)

^﹐^O

( )

^{1, 0} ^為兩焦點⇒ 中心

( )

^{0, 0 ﹐}

又 2c=AO= ⇒2 c= ﹐ 1 a²=b²+c²⇒ 4=b²+ ⇒1 b²= 且為左右型﹐ 3 ∴軌跡方程式為

2 2

4 3 1 x + y = ﹒

(2)PB= ﹐r PO= + ﹐ 4 r PO−PB = =4 2a ⇒a= ﹐ 2

以^B

( )

^{7, 0} ^﹐^O

( )

^{1, 0} ^為兩焦點⇒ 中心

( )

4, 0 ﹐ 又 2c=BO= ⇒6 c= ﹐ 3 又c²=a²+b²⇒9= +4 b² ⇒b²= 且為左右型﹐ 5

∴軌跡方程式為

(

⁴

)

² ²

4 5 1

x− y

− = ﹒

36.設F1

(

−5, 0

)

﹐F2

( )

5, 0 為

2 2

: 1

16 9 x y

Γ − = 的兩焦點﹐若 AB 為過F 的任一焦弦﹐則△₂ ABF 面積的最1

小值為_________﹒

解答 45 2

解析 △ABF₁=△AF F₁ ₂+△BF F₁ ₂ 1 ₁ ₂ ₁ 1 ₁ ₂ ₂ 2F F h 2F F h

= × + ×

1 2

(

1 2

)

1 2

1 1

2F F h h 2F F

= + ≥ × 正焦弦長

1 2 9 45 2 10 4 2

= × × × = ﹒

37.以橢圓

2 2

9 16 1

x + y = 的焦點為頂點﹐長軸頂點為焦點的雙曲線為Γ ﹐則Γ 的共軛雙曲線方程式為

(13)

_________﹒

解答

2 2

9 7 1 x − y =

解析橢圓長軸頂點

(

^{0, 4}^{± ﹐焦點}

) (

^0,^± ⁷

)

^{⇒ 雙曲線}^Γ ^焦點

⁽

^{0, 4}^{± ﹐頂點}

⁾ (

^0,^± ⁷

)

⇒ : ² ² 1 9 7 x y

− + =

Γ ⇒Γ 的共軛雙曲線為

2 2

9 7 1

x − y = ﹒

38.已知兩圓C x₁: ²+y²=16﹐C2:

(

x−10

)

²+y² = ﹐若動圓 C 與4 C ﹑1 C 均相切﹐則此動圓 C 的圓2

心軌跡方程式為____________﹒

解答

(

⁵

)

² ²

1 24 1 x− y

− = ﹐

(

⁵

)

² ²

9 16 1 x− y

− = 解析 均外切 均內切

1

2

4 2 PO r PO r

 = +



 = + ¹

2

4 2 PO r PO r

 = −



 = −

∵ PO₁−PO₂ = <2 O O₁ ₂﹐

∴ P 點軌跡為雙曲線以O ﹐₁ O 為焦點 ₂

⇒ 中心

( )

5, 0 ﹐a= ﹐1 c²=a²+b²⇒b²=25 1− =24﹐ 故方程式為

(

⁵

)

² ²

1 24 1 x− y

− = ﹒

C 內切﹐₁: C₂:外切 C 外切﹐₁: C₂:內切

1

2

4 2 PO r PO r

 = −



 = + ¹

2

4 2 PO r PO r

 = +



 = −

∵ PO₁−PO₂ = <6 O O₁ ₂﹐∴ P 點軌跡為雙曲線﹐以O ﹐₁ O 為焦點 ₂

⇒ 中心

( )

5, 0 ﹐a= ﹐3 b²=25 9 16− = ﹐ 故方程式為

(

⁵

)

² ²

9 16 1 x− y

− = ﹒

39.設 k 為實數﹐若方程式 ²

(

¹

)

²

10 5 1 x y

k k

+ + =

− − 為雙曲線﹐則此雙曲線的焦點坐標為____________﹒

（有兩解）

解答

(

^{5, 1}^{− 或}

) (

⁻ ^{5, 1}⁻

)

(14)

解析 (1)中心

(

0, 1− 且為左右型﹐又

)

c²=

(

10−k

) (

+ k−5

)

=5 ⇒c= 5﹐

∴焦點

(

^{5, 1}^{− 或}

) (

⁻ ^{5, 1}^{− ﹒}

)

(2)上下型﹐^c² ⁼

(

⁵⁻^k

) (

⁺ ^k⁻¹⁰

)

^{= − （不合）﹒}⁵

40.雙曲線x²−2x−4y²−8y+ = 上一點1 0 1 1 5,

2

 + 

 

 到兩漸近線的距離乘積為____________﹒

解答 4 5

解析 x²−2x−4y²−8y+ =1 0 ⇒

( ) (

² ¹

)

²

1 1

4

y x−

+ − =

⇒a= ﹐1 b= ﹐2 c= 5﹐∴所求為

2 2

4 5 a b a b =

+ ﹒

41.與橢圓

(

¹

) (

² ²

)

²

9 4 1 x− y+

+ = 共焦點且共軛軸長為 4 的雙曲線方程式為____________﹒

解答

(

¹

) (

² ²

)

²

1 4 1 x− y+

− =

解析橢圓﹕中心

(

^{1, 2}^{− ﹐}

)

^c²= − = ﹐左右型﹐ ⁹ ⁴ ⁵ 雙曲線﹕中心

(

^{1, 2}^{− ﹐}

)

^c²^{= ﹐左右型﹐}⁵

又 2b= ⇒4 b= ﹐∴2 a²=c²−b² = ﹐ 1

∴雙曲線方程式為

(

¹

) (

² ²

)

²

1 4 1 x− y+

− = ﹒

42.一雙曲線的中心為

( )

2,3 ﹐貫軸平行 y 軸﹐共軛軸長為 4﹐一漸近線之斜率為 1﹐則此雙曲線方程 式為____________﹒

解答

(

³

) (

² ²

)

²

4 4 1 y− x−

− =

解析漸近線的斜率為 1⇒ a b= 又 2b= ⇒4 b= ﹐2 a= ﹐且為上下型﹐中心2

( )

^{2,3 ﹐}

∴雙曲線方程式為

(

³

) (

² ²

)

²

4 4 1 y− x−

− = ﹒

43.如圖﹐兩山之間有一座吊橋﹐橋面 BD 用鋼索 FAE 懸吊﹐鋼索 FAE 所形成的曲線為雙曲線的一 部分﹐其中 A 為雙曲線的一頂點﹐ O 為雙曲線的中心﹐ O 在 BD 上﹐ OA⊥BD﹐OA= 公尺﹐而2 橋長BD=36公尺﹐OB OD= ﹐DF =BE= 公尺﹐且從O 起每隔 1 公尺有一根與橋面垂直的拉索4

i i

A B （i= ﹐2﹐3﹐……）；則1 A B₃ ₃= ____________公尺﹒

(15)

解答 13 3 解析設方程式

2 2

2 1

4 x y

−b + = ﹐代入

(

^{18, 4 ﹐∴}

)

¹⁸₂² ⁴² ¹

4

− b + = ⇒b² =108﹐

∴方程式為

2 2

108 4 1

x y

− + = 代入

( )

^{3, k} ⇒ 9 ² 108 4 1

− +k = ﹐k> ⇒0 ₃ ₃ 13 k =A B = 3 ﹒

44.^{P x y 與直線}

( )

^, ^y= 的距離為 d ﹐若¹ ^A

( )

^{0, 4} ^且AP=2d﹐則x²+ 的最小值為____________﹒ y² 解答 4

解析 1 1 0 1

d y− y

= = −

+ ﹐^AP⁼ ^x²⁺

(

^y⁻⁴

)

² ⁼²^d ⁼² ^y⁻¹

平方⇒

( )

²

( )

²

2 4 4 1

x + y− = y− ⇒x²+y²−8y+16=4y²−8y+ ⇒4 x²−3y²+12= ﹐ 0

∴x²=3y²−12≥0⇒3y²−12≥ ﹐0 y≥ 或2 y≤ − ﹐ 2

2 2 3 2 12 2 4 2 12

x +y = y − +y = y − ﹐

∴當y= ± 時﹐有最小值為 4﹒ 2 45.設^Γ ^:

(

^x⁻⁴

)

²⁺^y² ⁻ ^x²⁺

(

^y⁺⁴

)

² ^{= ﹐則}⁴

(1)共軛軸的長為____________﹒(2)頂點坐標為____________﹒

解答 (1)4;(2)

(

²⁺ ^{2, 2}^{− +} ²

)

^﹐

(

²⁻ ^{2, 2}^{− −} ²

)

解析 (1)焦點F₁

( )

^{4, 0 ﹐}F2

(

^{0, 4}^{− ﹐}

)

∴2c=F F₁ ₂= 16 16+ =4 2 ⇒c=2 2﹐又 2a= ⇒4 a= ﹐ 2 ∵c²=a²+b²⇒8= +4 b²⇒b²= ⇒ 24 b= ﹒ 4

(2)

∵中心

(

^{2, 2}^{− ﹐且}

)

F F



2 1=(4 0, 0− +4)=4(1,1)_，二頂點

_{(2, 2)} ₂ ^(1,1) 2

− ± ×

∴頂點

(

²⁺ ^{2, 2}^{− +} ²

)

^﹐

(

²⁻ ^{2, 2}^{− −} ²

)

^﹒

(16)

46.^{P x y 在}

( )

^, ²₂ ₂² ¹

4 2

x − y = 上﹐則x+2y²的最小值為____________﹒

解答 − 4 解析

2 2

16 4 1 x − y = ×8

⇒ ² 2 ² 8 2

x − y = ⇒ 2 ² ² 8 0 2

y =x − ≥ ⇒ x≥ 或4 x≤ − ﹐ 4

代入 ² ² ² ⁸ ¹

(

¹

)

² ¹⁷

2 2 2

x+ y = +x x − = x+ −

且

（x≥ 或4 x≤ − ）﹐ 4

∴x= − 代入得4 x+2y²的最小值為¹

( )

³ ² ¹⁷ ⁴

2× − − 2 = − ﹒ 47.設

2 2

: 1

27 12 x y

Γ + = ﹐F ﹑₁ F 為其兩焦點﹒若2 Γ 上有一點 P 滿足PF₁⊥PF₂﹐且 P 在與此橢圓共焦

點的一雙曲線上﹐則雙曲線方程式為____________﹒

解答

2 2

3 12 1 x − y =

解析 ∵a²=b²+c²⇒ 27 12= +c²⇒c²=15 ⇒c= 15﹐又a²=27⇒a=3 3﹐

∵PF₁+PF₂=2a=6 3﹐設PF₂= ﹐則t PF₁=6 3− ﹐ t

又∠F PF₁ ₂= ° ﹐∴90 PF₁²+PF₂² =F F₁ ₂²⇒

(

^{6 3}⁻^t

)

²^{+ =}^t²

(

^{2 15}

)

²^⇒^t²⁻^{6 3}^t⁺²⁴⁼⁰

⇒

(

^t⁻^{4 3}

)(

^t⁻^{2 3}

)

⁼⁰ ^⇒^t⁼^{4 3}^{或 2 3 ﹐}

又 P 在雙曲線上﹐

∵PF₂=2 3﹐PF₁=4 3﹐∴PF₁−PF₂=2 3=2a⇒ a= 3﹐a² = ﹐ 3

又a²+b² =c²⇒

( )

³ ²⁺^b²⁼

( )

¹⁵ ²^⇒^b²⁼¹²^{﹐∴雙曲線方程式為}^x₃² ⁻₁₂^y² ^{= ﹒}¹

圍 1-4 雙曲線 班級 二年____班 姓 座號 名

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.03.27 範