圍 3-1 圓方程式 班級 二年____班 姓 座號 名

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.12.23 範

圍 3-1 圓方程式 班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 若^A

( )

^{2,5 ﹐B}

(

^{3, 1}− 為一圓直徑的二端點﹐則此圓的方程式為____________﹒

)

解答 x²+y²−5x−4y+ = 1 0

解析

(

^x−2

)(

^{x− +3}

) (

^y−5

)(

^{y+ = ⇒1}

)

^{0 x2+y2−5x−4y+ = ﹒ 1 0}

2.已知方程式ax²+bxy+3y²+3x−9y+ = 的圖形是一個圓﹐其中 f 是整數﹐並取其最大值﹐則 f 0 (1)數對

( )

^{a b,} = ____________﹔(2) f = ____________﹒

解答 (1)

( )

3, 0 ;(2)7

解析 (1)方程式的圖形是一圓﹐ x 項的係數與² y 項的係數相等﹐ ² 且 xy 項之係數為 0﹐∴數對

( ) ( )

^{a b, = 3, 0 ﹒}

(2)3x²+3y²+3x−9y+ =f 0⇒

2 2

1 3 15

3 3

2 2 2

x y f

⎛ + ⎞ + ⎛ − ⎞ = −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ﹐

圖形表一圓⇒15

2 − > ﹐f 0 15

f < 2 ﹐ f 是整數﹐取 f 之最大值為 7﹒

3.過

( )

5,1 ﹐

( )

3,1 兩點且圓心在x+2y− = 線上的圓方程式可表為2 0 x²+y²+dx ey+ + = ﹐則數對f 0

(

^{d e f, ,}

)

^{= ____﹒}

解答

(

^{−8, 2,12}

)

解析 圓心在x+2y− = 線上2 0

⇒

設圓心C

(2 2 , ) −

t t ，

圓過^A

( )

^{5,1 ,B}

( )

^{3,1 ⇒CA=CB}_，

^{(2 2 − −}

^t

⁵⁾

²

^{+ − (}

^t

¹⁾

²

^{= (2 2 − −}

^t

³⁾

²

^{+ − (}

^t

¹⁾

²

1

t= − ⇒圓心

(

4, 1− ﹐半徑

)

^r=CA=

(

^{5 4−}

) (

^{2+ +1 1}

)

^{2 = 5﹐}

圓方程式為

(

^x−4

) (

^{2+ y+1}

)

^{2=5⇒x2+y2−8x+2y+12=0 ∴}

(

^{d e f, ,}

) (

^{= −8, 2,12}

)

^﹒

4.平面上二定點^A

( )

^{1, 2 ﹐B}

(

^{− − ﹐若動點2, 4}

)

^{P x y 滿足}

( )

^{, PA=2PB}﹐求所有 P 點所成圖形之方程式 為____________﹒

解答 x²+y²+6x+12y+25= 0

解析 ^PA2=4PB2⇒

(

^x−1

) (

^{2+ y−2}

)

^2=4⎡_⎣

(

^x+2

) (

^{2+ y+4}

)

^2⎤_⎦

⇒3x²+3y²+18x+36y+75=0 ⇒x²+y²+6x+12y+25= ﹒ 0 5.求過三點^A

( )

^{0, 0 ﹐B}

( )

^{4, 0 ﹐C}

( )

^{2, 4} 的圓方程式____________﹒

解答 x²+y²−4x−3y= 0

解析 設圓方程式為x²+y²+dx ey+ + = ﹐ f 0 過^A

( )

^{0, 0 ⇒ = ﹐ f 0}

^B

( )

^{4, 0 ⇒16+4d}+ = ⇒ = − ﹐ ^{f 0 d 4}

( )

^{⇒ + +} + = ⇒ = − ﹐

6.已知圓過

解答 解析

M

又

當

當

∴

7.圓心在直 解答 解析

8.設一圓過 解答 解析

9.求符合下 (1)圓心在 (2)過點A

∴所求為 過點^A

( )

^{3, 2 ﹐}

( )

2 1

x + y− 設 M 為 A M

( )

1,3

﹐又 又

CM = 5⇒

當

^{t= ⇒1 C}

(

²

當

t= − ⇒1 C

∴方程式為

直線 :L x−3y

(

^x−2

) (

²⁺

設圓心

(

^r,

c ( )

^{r r,}

^代

∴圓方程 d (

^{−r r,}

) ^代

∴圓方程

由cd得

過^A

( )

^{1,3 ﹐半}

(

^x−1

) (

²⁺

圓心在 x −

⇒OA=4

故圓方程式 下列條件之圓 在x+2y= 上3

( )

^{1, 4 ﹐B}

(

³

2 2

4 x +y − x

(

^{1, 4}

)

B − 且

)

^{2 =10或}

(

^x

﹑ B 的中點

又

AB

K

= −( 4, 2

2 5

⇒CM = ⇒

)

2,5

﹐

r²=O

( )

^0,1

C

﹐

r²=

( )

²

2 1

x + y− 4 0 + = 上﹐

(

^y−2

)

^{2= 或4}

)

r 或

(

^{−r r,}

)

代入

x−3y+

程式為 (

^x−2

代入

x−3y+

程式為 (

^x+1

)

得 (

^x−2

) (

^{2+ y}

半徑為 4﹐圓

)

²

1 16 y+ = 或

2 0

− − = 上y

( )

²

4⇒ −t 1 +

式為

(

^x−1

)

²

圓方程式﹕

上且過

( )

^5,1

)

3, 2− 且 AB 之 3y 0

− = ﹒ 且弦心距為

) (

²

2 y 5

− + − 點﹐ C 為圓心

2)= −2( 2,1)⇒

⇒

( ) (

^{t 2+ 2t}

2 10

OA =

﹐

2 10

=OA =

﹐

=10

或 (

^x−

且與兩坐標 或

(

^x+1

) (

²⁺

﹐

4= ⇒ −0 r 3

) (

^{2+ y−2}

)

²

4 0 + = ⇒ r−

) (

^{2+ y−1}

)

²⁼

)

²

2 4 y− =

或

圓心在 x y− −

或

(

^x−5

) (

²⁺

﹐∴設圓心

(

^{t 5}

)

^{2 16}

+ − =

(

^{y 1}

)

²

+ + =

﹐

( )

^{3,1 之圓}

之弦心距為

5 ﹐則此圓

)

²

5 =10 心﹐ r 為半徑

⇒C

(

1+t,3+

)

^{2= ⇒5 5t2}

( )

²

: 2 C x− +

∴∴

C x: ²

) (

²

)

2 y 5

− + − 標軸相切之圓

(

^y−1

)

²⁼¹

3r+ = ⇒4 0

=4

﹐

3 4 0 r− r+ =

=1

﹐

或 (

^x+1

) (

^{2+ y}

2 0

− = 上﹐則

(

^y−3

)

²⁼¹⁶

心為^{O t t}

(

^{, −2}

6 ⇒t²− +6t

16 或

(

^x−5

)

圓方程式為__

10 之圓方程

圓方程式為__

徑﹐

)

+2t

﹐

=5

﹐∴

t=

(

^{y 5}

)

^{2 1}

+ − =

( )

²

2+ y−1 =

)

²⁼¹⁰

^﹒

圓方程式為__

2 r=

0 ⇒ =r 1

)

²

1 1 y− =

﹒

則此圓的方程

6

)

^﹐

5=0⇒ −

(

t

) (

^{2+ y−3}

)

²⁼

___________

程式為____

___________

= ±1

﹐

0

﹐

10

﹒

__________

程式為_____

)( )

1 t 5 0

− − =

=16﹒

_﹔

_________﹒

_﹒

__﹒（有兩解

________﹒

0 ﹐∴t= 或1 解）

或 5

解答 解析

10.就 k 值討 (1)若圖形 解答

解析

11.有一圓通

解答

解析

12.求合於下

(1)

(

x−4

)

²

(1)圓心在 ^⇒

(

^2t+

⇒ 圓心為

故圓為 (

(2)設

M

為

^M

( )

^2,1

^﹐

∴設圓心

∴

t− = ±1

故圓為 (

討論方程式 x 形不存在﹐則 (1) 2 2 3−

(1)原式⇒

若圖形不

(2)若圖形

又

2

k −4 通過^A

( )

^{1,1 且}

(

^x−2

) (

²⁺

2 2 4

x +y −

設圓方程式 下列條件之圓

1 2

y 2

⎛ ⎞

+⎜⎝ + ⎟⎠ = 2 3 x+ y= 上

) (

²

)

²

2 1 t + + −

為 1

4, 2

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠﹐

)

²

4 x− + ⎜⎛⎝y A

﹑

B

中點

﹐

m_AB= −3

心

O

為 (

^3t−1,

1 t 0

± ⇒ =

或

)

^{2 2}

1

x+ +y =

2 2 2

x +y − x+ 則 k 的範圍為 2 2

< < +k

(

x−1

)

²+ ⎜⎛⎝y 不存在⇒

4 k

形為一點﹐即

2 0 k− = ⇒

且與已知圓 x

(

^y−1

)

^{2= 1}

4x−2y= ⇒0

式

(

^x−2

)

²⁺

圓方程式﹕

13

= 4 ;(2)

(

^x+

上﹐∴設圓心

(

2 2

4t 1

= +

∴半徑= 4

1 2 13

2 4

+ ⎞⎟⎠ =

點﹐

O

為圓心

﹐∴

m_OM =

)

,t

﹐ ∵

O

或 2﹐∴圓心

=20

或 (

^x−5

(

³

)

ky k + + + 為__________

3 (2)

(

¹

2 2

2 4

k k

y+ ⎞⎟⎠ =

2

2 0 4

k − − <k

即圓心 1, 2

⎛ −k

⎜⎝

2 4 8

k − k− =

2 2

4 x +y − x−

(

^{x 2}

) (

²

⇒ − +

(

^y−1

)

^2=k

)

^{2 2}

1 y 2 + + = 心為

(

^{3 2 ,− t t}

)

)

²

−t ⇒ +8t

1 2

4 2

⎛ ⎞ ⎛

⋅ −⎜⎝ ⎟⎠ +⎜⎝

﹒

心﹐

r

為半

1

3

﹐ ∴

O

I

10

OM =

﹐

心為 (

^{−1, 0}

) ) (

²

)

5 + y−2

)

^{= 的圖形0}

___﹔(2)若為

)

1, 1− ± 3

2

− − ﹐ k

2 4

k k

⇒ − −

⎞⎟

⎠﹐ 0 k 2

= ⇒ = ±

2y 0

− = 有相

)

²

1 5 y− = ﹐

﹐代入A

(

1,

0 或

(

^x−5

)

²

)

4 0 + = ﹐ t∴

1 2 1

1 2 4

+ ⎞⎟⎠ =

半徑﹐

: 1 1 OM y

I

− =3

∴ (

^3t−3

)

或 ( )

^{5, 2}

^﹐而

2=20

﹒

﹕

為一點﹐則此

8 0

− < ⇒ 2 −

±2 3﹐ ∴

相同圓心﹐此

)

1 ⇒ = ⇒k 1

(

^{y 2}

)

²

+ − =

1

= − 2 13

4 ﹐

(

^{x− ⇒2}

)

^x

) (

^{2+ −t 1}

)

^{2 =}

而

r=OA=

此點坐標為_

2 3 k 2

− < <

∴圓心 1, 2

⎛ −k

⎜⎝

此圓的方程式

⇒ 圓為

(

^x−2

20

3y 1 0

− + =

(

10 t

= ⇒ −

20

﹐

___________

2 2 3+ ﹒

(

^{1, 1}

2

k⎞ = − ±⎟

⎠

式為_______

) (

^{2+ y−1}

)

²

﹐

)

²

1 =1

﹐

__﹒

)

3 ﹒

______﹒

= ﹒ 1

(1)圓心為 (2)圓心在 解答

解析

13.求下列各 (1)過^A

(

⁻²

_________

(2)5x²+5 解答

解析

14.設圓 C 的

解答

解析

15.直線 :L y 解答 解析

16.有一圓通

（有兩解 解答

為

(

^{−1, 2}

)

^﹐半

在點 (2, 1)Q − 且 (1)

(

^x+1

)

²

(1)

(

^x+1

)

²

(2) r=PQ 各圓 C 之圓心

)

2,1 ﹐^B

(

^{3, 4}

____﹔

2 9

y + −x y− (1)c

( )

2, 0 (1)設圓心

∴圓心

(2)原式⇒

∴圓心

的圓心在

(

−2

(

^x+2

) (

²⁺

圓 C 半徑 r

y=ax+ 通b 四

通過一、三 cx= 代0 dy= 代0 又b< ﹐0 通過點^P

(

^2,−

）

(

^x−5

) (

²⁺

半徑為 4 之圓 且通過點^P

(

(

^{y 2}

)

²

+ − =

(

^{y 2}

)

²

+ − =

(

^{5 2}

)

²

= − +

心 C 坐標及

)

4 且圓心在

44 0

− = ﹐則 d 17 ;(2)c

( )

^{, 0}

C t ﹐∵

( )

^{2, 0 ﹐ r =}

⇒ ^{2 2} 1 x +y +5

1 9 10 10,

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠﹐

)

2, 3− 且與另

(

^y+3

)

²⁼³⁶

2 2

3 4 r= +

通過一、三、四

三、四象限⇒ 代入 L⇒ =y 代入L⇒ =0

∴a> ﹐因0

)

− 且與 y 軸3

(

^y−1

)

²⁼²⁵

圓方程式為__

( )

^{5, 7 之圓方}

16 ;(2)

(

^x−2

16 ﹒

(

^{7 1}

)

²

+ + = 半徑 r ﹕ 在 x 軸上﹐則

則c圓心 C 坐 c 1 9

10 10,

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

CA=CB﹐

42 1 CA= +

9 44 5 5 x− y−

962 r= 100 = 另一圓 C′^{: x}

(

6

1 5 1 6 + = + =

四象限﹐則圓

⇒ x 截距 0>

0 b< ﹐ ax b+ ⇒ =x 因此圓心

(

^a,

軸相切﹐若此

或

(

^x−5

)

²⁺

___________

方程式為____

) (

²

)

²

2 + y+1

73 ﹐ 所求

則c圓心 C 坐

坐標為______

⎞⎟

⎠d 962 10

∴CA² =CB

1= 17﹒

=0 ⇒ x⎛ +⎜⎝ 962

= 10 ﹒

) (

²

1

x− + y−

6 ﹐∴圓 C 方

圓

(

^x−a

) (

²⁺

0 ﹐ y 截距<

b 0 a

=− > ﹐

)

,b 在第四象 此圓的半徑為

(

^{y 7}

)

^{2 2}

+ + = _﹔

_________﹒

=73

求圓方程式為

坐標為______

_______﹐d

B 2 ⇒

(

^t+2

1 2

10⎞⎟⎠ +⎛⎜⎝y−

)

²

1 = 內切1

方程式為

(

^x

(

^{y b−}

)

^2=r2

< ﹐ 0

象限﹒

為 5﹐試求此

25

﹒

為

(

^x−2

) (

^{2+ y}

_______﹐d

d半徑 r= __

)

²

(

2 + = −1 t

9 2 44 10⎞ = +⎟⎠ 5

﹐求圓 C 的方

) (

²

2 y

+ + +

的圓心在第

此圓的方程式

)

²

1 73 y+ =

d半徑 r =

___________

)

²

3 +16⇒ t

1 81 100 100

+ + =

方程式為___

)

²

3 =36﹒

第__________

式為_______

﹒

_﹒

2 t = ﹐

962

=100﹐

_______﹒

___象限﹒

______﹒

解析

設圓心 ( )

^5,k

^﹐∵過 (

^{2, 3−}

) ^﹐則

³²⁺

(

^k+3

)

^{2 =5⇒9+}

(

^k+3

)

²⁼²⁵

⇒

(

^k+3

)

^{2=16⇒k+ = ± ⇒3 4 k=1}

^或

⁻⁷

^﹐又

^r=5

∴所求為 (

^x−5

) (

^{2+ y−1}

)

²⁼²⁵

^或 (

^x−5

) (

^{2+ y+7}

)

²⁼²⁵

^﹒

17.已知坐標平面上一點A

( )

5, 3 ﹐B 為圓C x: ²+y²−2x+6y+ = 上的動點﹐以 AB 中點所成的軌跡6 0 方程式為____________﹒（以ax²+bxy+cy²+dx ey+ + = 表之） f 0

解答 x²+y²−6x+ = 8 0

解析 圓心

(

^{1, 3}− ﹐半徑為 1 9 6 2

)

+ − = ﹐

∴設 B

(

^{1 2 cos ,+ θ − +3 2 sinθ}

)

^{⇒AB之中點}M

(

3 cos , sin+ θ θ

)

( )

^{2 2 2 2}

3 cos

3 1 6 8 0

sin

x x y x y x

y

θ θ

⎧ = +

⇒⎨ =⎩ ⇒ − + = ⇒ + − + = ﹒

18.若 m 為實數﹐方程式^x2+y2+2

(

^m+2

)

^x−2

(

^m+3

)

^{y +3m2}+ = 表一圓﹐則最大圓半徑 =^{2 0} ____________﹒

解答 6

解析 ^x2+y2+2

(

^m+2

)

^x−2

(

^m+3

)

^{y+3m2+ = 2 0}

(

²

)

²

(

³

)

²

(

²

) (

^{2 3}

)

^{2 3 2 2}

x m y m m m m

⇒ ⎡ +⎣ + ⎤ + ⎡ −⎦ ⎣ + ⎤ =⎦ + + + − − ﹐

(

²

) (

^{2 3}

)

^{2 3 2 2 2 10 11}

(

⁵

)

^{2 36}

r= m+ + m+ − m − = −m + m+ = − m− + ﹐

∴最大圓半徑r= ﹒ 6

19.若^{P x y 為圓}

( )

^{, x2+y2−4x−2y}+ = 上任一點﹐則 2x y^{3 0} − 的最大值為____________﹒

解答 3+ 10

解析 ^{x2+y2−4x−2y+ = ⇒3 0}

(

^x−2

) (

^{2+ y−1}

)

^{2= ﹐ 2}

利用柯西不等式﹐^⎡_⎣

(

^x−2

) (

^{2+ y−1}

)

^{2⎤ ⎡}_{⎦ ⎣}^{22+ −}

( )

^{1 2⎤}_⎦^≥

(

^{2x− − +4 y 1}

)

^2⇒10≥

(

^{2x− −y 3}

)

^2﹐

∴ 3− 10≤2x− ≤ +y 3 10﹐故 2x y− 的最大值為 3+ 10﹒

20.設 k 是一個實數﹐方程式^{x2+y2+2kx−ky+}

(

^k− = 的圖形是一個圓﹐則最小圓的方程式為____﹒ ¹

)

⁰

解答

2 2

2 1 4

5 5 5

x y

⎛ + ⎞ +⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

解析 ^{x2+y2+2kx−ky+}

(

^{k− =1}

)

⁰

( )

^{2 2 2 2 1}

2 4

k k

x k ⎛y ⎞ k k

⇒ + +⎜⎝ − ⎟⎠ = + − +

5 2 2 4 4⎛k 5⎞ 5

= ⎜⎝ − ⎟⎠ + ﹐

21. x ﹑ y 為 (1)

(

^x−3

)

²

解答 解析

(2

22.設 x ﹑ y 為 ______

解答 解析

23.坐標平面 (1)三角形 (2)三角形 (3)三角形 解答 解析

C

2 k= 時﹐5

∴最小圓方 為實數且x²+

( )

2 2

2 + y− 的 (1)45;(2) − (1)x²+y²

設 (

^x−3

)

²

得

PA²

的最

2)

(

^x−1

) (

²⁺

∴^{5 5⋅ ≥}

(

^2x

y 為實數且滿 _______﹒

(1)12;(2)-2 (1)令x=2

∴最大值為 (2)x y⋅ =2 面上﹐三直線 形的外接圓方 形的內心的坐 形的內切圓方 (1)x²+y² (1)L ﹐₁ L2

設圓C x: ² 25 1 49 22 49 10

⎧ + +

⇒⎪⎨ +

⎪ +⎩ d− e 12⇒

−

1 2⇒ −2

∴d =14﹐

2 2

: 1

C x +y +

r 的最小值2

方程式為 x⎛

⎜⎝

2 2 4

y x y

+ − + 的最大值為_

1

2x 4y 0

− + =

( )

2 2

2 + y− =

最大值為 (

^O

)

²

2 5 y+ =

)

²

4 x− −y ⇒ 滿足x²+y²=

2

cosθ﹐ y= 為 8²+6²+ 2 cosθ⋅2sinθ 線L₁: 3x−4y 方程式為____

坐標為______

方程式為____

14x 5y

+ − −

交於^A

(

^5,−

y2 dx ey + + +

5

25 7 15 00 7 10 d e f

d e

d e

+ − + =

− +

− − 25+25e=0 248 12+ d−1

代回c得 f 4x−5y−10

值為4

5﹐此時 2 2

x+5⎞⎟⎠ +⎛⎜⎝y− 0

y= ﹐則 ________﹔(

( )

0⇒O 1, 2− PA2

=

﹐其中

) (

^{2 2}

OA+r =

(

^{x 1}

)

²

⇒⎡⎣ −

5 2x y

⇒ − ≤ −

= ﹐則(1) 44

2sinθ代入 + =2 12﹒

2sin 2 θ= θ ≥

19 0 y− = ﹐ L _________﹔

_______﹔

_________﹒

101 0= ;(2)

( )

1 ﹐L ﹐₂ L3

0 ey+ = ﹐f

0 0 0 e f

f

= + = + =

""

""

""

1

﹐∴e= −5 16e= ﹐ 0

101 f = − ﹐

1 0= ﹒

時圓心 O⎛ −⎜ k

⎝ 1 2 4 5 5

− ⎞⎟⎠ = ﹒

(2) 2x− 的最y

)

^{﹐r= 5﹐}

中

^{P x y}

( )

^,

^﹐

)

²

2 5+ 5 =

( )

2 2

2

y ⎤

+ + ⎦

4 5 y− ≤ ⇒ − 4x−3y+ 的2

4x−3y+ =2

( )

2 1

≥ × − = −

2: 4 3

L x+ y−

(

−2, 0

)

;(3)

(

^x

3交於^B

(

^−7,

A ﹑ B ﹑ C

"

"

2 3

﹐

∴

,2 k k⎞

⎟⎠ 2 5

= −⎛⎜

⎝

最小值為___

( )

^{3, 2}

A

﹐

=45

﹒

( )

²

22 1

⎡ + − ⎤

⎣ ⎦

1 2x y

− ≤ − ≤ 的最大值為__

8cosθ 6s

= −

− ﹒ 2 17 0

− = ﹐L₃

)

^{2 2}

2

x+ +y =

)

15 ﹐L ﹐ L₁ 三點代入圓

,1 5

⎞⎟

⎠﹐

______﹒

(

^{2x 2 y}

≥ − −

9 ﹐ 故 2x ___________

inθ+ ﹐ 2

3:x+ = 圍7 0

=25

L 交於3 ^C

(

⁻⁷

圓 C

)

²

2 y− ﹐

x− 的最小值y _﹔(2) x y⋅ 的

圍成一個三角

)

7, 10− ﹐

值為 1− ﹒ 的最小值

角形﹐求

(2

(3 24.方程式 x (1)圓心軌 _________

解答

解析

25.已知一圓 (1)以 S 表 (2)以^A

(

⁻

解答

解析

27.若

( )

^{6, 2}

解答 解析

28.點 P 在圓

2)

₁: ⁷ 1 0 M x+

+

2

: 7 1 0 M x+

+

∴

: ³ 2 I x

x

⎧ +

⎨ −

⎩ 3)r=d I L

(

, 3

2 2 4

x +y + kx 軌跡方程式為

____﹒

(1) 3x+2y

(1)配方得

(

令圓心 (2)由(1)令

當 k= 圓Γ 之方程式

「Γ 在 x 軸

)

2,5 為圓心 (1)4

3 3 π ₋

(1)^{Γ : x}

(

⁻

(2)圓心

^A

(

﹐

( )

^{4, 6 ﹐}

(

1

設所求之圓

( )

^{6, 2 代入}

( )

^{4, 6 代入}

(

^−3,5

)

^代入

∴圓方程式 圓x²+y²−8

4 3

0 16

x+ y

= − + 3 4

0 9

x− y

= − + 6 0 4 0 y y + + =

− + = ⇒

)

= ﹐∴內5 6ky 12k2

− + 為__________

= ;(2)0

(

^x−

(

^x+2k

) (

²⁺

( ) (

^{x y, = −2k}

令r²=k²+4k

− 時2 r²=4 式為x²+y² 軸下方部分與

﹐作一圓 C 3 ;(2)

(

^x+2

) ) (

²

)

²

1 + y−1

(

^{−2, 5}

) ^﹐

^r=

)

−3, 5 ﹐

(

^k,

圓方程式為 x 入得 40 6d+ + 入得 52 4d+ + 入得 34 3d−

式為x²+y² 4 11 x− y+ =

17 3 9

y− x

⇒ + +

19 2 16

y− x

⇒ −

(

^{2, 0}

)

⇒I −

﹒

內切圓方程式

( )

2+ −4k −8 ___（對任意

) (

²

)

4 + y+6

)

²

3 y− k =k

)

,3

k k ﹐ x =

(

8 2

k+ = k+

最小﹐圓心 2x 2y 2

− − − 與 x 軸所圍成

與圓Γ 相外

( )

2 2

5 + y− =

2=4

, S

的面

2 3

=AP− =

)

− 四點在同3

2 2

x +y +dx+ 2e f 0 + + =

6e f 0 + + =

5 0

d+ e+ =f

2x 4y 2

− − −

= 上﹐點 Q 在0 6 0 + + =y

﹐

4 0

− + =y

﹐

式為

(

^x+2

)

²⁺

= 表一圓時0 意實數 k 均成

)

^{2= 4}

2+4k+ ﹐8

−2k﹐y=3

)

²

2 + ﹐ 4

心

(

^{4, 6− ﹐ 故}

)

2= ﹐ 0 成之區域」﹐

外切﹐則圓 C

= 9

面積

¹ 2²

= ⋅2

2 2

3 +4 − =2 同一圓上﹐則

0 ey f + + = d= −2 ⇒ e= −4 0 f = −20

20= ﹐0

(

^k,

在圓x²+y²

2 25

+y = ﹒ 時﹐則 成立）﹔(2)面

3k ⇒3x+2y

故最小的圓方

則 S 的面積 C 的方程式為

2 2 1

3π 2 2

⋅ − ⋅ ⋅

3

﹐ ∴圓

C 則 k= _____

﹐

0

)

− 代入得 k3 4x 2y 1 + + −

面積最小的圓

0 y= ﹒

方程式為

(

^x

積為________

為_________

2sin120

⋅ ° =

C

方程式 (

^x

________﹒

2 2 1

k − k+ = 1 0= 上﹐則 P

圓﹐其方程式

) (

²

4

x− + y+

_____﹔

____﹒

4 3

3

= π −

﹒

) (

²

2

x+ + y−

0⇒k= ﹒1 PQ 的最小值

式為

)

²

6 4 + = ﹒

)

²

5 9

− =

﹒

值= ____﹒

解析

29.用三角函

解答

解析

30.自^P

(

^1,−

接圓的方程 解答 解析

31.若點^{P k}

(

解答

解析

32.設一圓與 此圓方程式 解答 解析

整理⇒ 在P

Q 在

(

^x+2

1 2

O O = ⎡⎣

∴兩圓外離 函數寫出半個

2 cos 2 sin x y

θ θ

⎧ =

⎨ =⎩ 4 y= −x

)

− 作圓 :2 C x 程式為____

2 2

2 x +y +

2 2 6

x +y +

△PAB之 利用直徑式

)

4, 2 k− k− 在

2 k< − 或 2

圓 C 存在 ⇔

∵ P 在圓

3k2 2

⇒ −

由cd得 k 與直線L₁: 3x 式為______

(

^x−2

) (

²⁺

在

(

^x−4

)

²⁺

) (

²

)

²

2 + y+1

( )

²

4 2

⎡ − − ⎤ +

⎣ ⎦

離⇒ PQ 最 個圓方程式 y

θ

θ ^{﹐ 0}≤ ≤θ π

2 2 2

x y

⇒ +

2 2

6 x +y + x− _________﹒

2x+ − =y 5 0 6x−2y+ =6 之外接圓即四

式

(

^x−1

)(

^x+

在圓C x: ²+

2< < 或 kk 3

( )

2 4

⇔k + −

C 外部﹐∴

20k+33> ⇒0

2 k< − 或 2 <

4 7 0 x− y+ = _______﹒

(

^y−2

)

^{2= 1}

(

^y−2

)

²⁼⁹

2= 上﹐6 O₂

( )

²

2 1 + ⎡ − − ⎤⎣ ⎦ 最小值為O O_{1 2}

4 2

y= −x 的 π

4 2

2 x y

⎧ =

= ⇒ ⎨⎩ =

2y 6 0

− + = 的

0

0 ⇒

(

^x+3

)

四邊形 PAOB

) ( )

3 y 2 + + +

2 4

y +kx− y 11 k > 3

2− × > ﹐4 5 0

(

^k−4

) (

^{2+ k}

(

^{3k 11}

)(

^k

⇒ −

3

< < 或 k >k 0 ﹐L₂: 3x−4

上﹐O1=

(

4

( )

2= − − ﹐2, 1 45 3 5

= =

2− − =r1 r2 3 的參數式及

2 cos 2 sin θ θ ^{﹐ 0≤} 的二切線﹐分

( )

2 2

1 + y− = B 之外接圓﹐

)(

^{y− = ⇒1}

)

⁰

5 0 y+ = 的外

﹐∴k²> ﹐4

)

²

(

2

k− +k k

)

3 0 k− > ⇒

11

> 3 ﹒ 4y− = 均3 0

)

4, 2 ﹐r₁=3

2 6

r = ﹐

5> +3 6﹐ 5− −3 6 θ的範圍限

θ π

≤ ≤ ﹒

分別切圓 C

=4⇒ 圓心 O 即以 PO 為

⇒x²+y²+2

外部﹐求 k 的

﹐故k> 或2

) (

4 4 k− − k−

11 k> 3 或 k<

均相切﹐且圓

﹐

﹒

制為______

於 A ﹑ B 兩

(

3,1

)

O − ﹐ 為直徑之圓﹐

2x+ − =y 5 0

的範圍為____

或k< − ""2

)

2 5 0

− + >

< ""2 3

心在直線 L

_______﹒

兩點﹒則△P

0 ﹒

_________﹒

1

:x−2y+ =2

PAB 之外

= 上﹐則0

即圓心在

^{3 4 2 0} 2 2 2 0

x y x y x

− + =

⎧ ⇒ =

⎨ − + =

⎩

﹐

y=2⇒

圓心 ( )

^{2, 2}

^﹐

又

⁷

( )

³

2 2 1

r d − −5 r

= = = ⇒ =

﹐∴圓方程式為 (

^x−2

) (

^{2+ y−2}

)

²⁼¹

^﹒

33.設圓^C:

(

^x−2

) (

^{2+ y−4}

)

^{2= 且點4} P x y 為複數﹐則

( )

,

(

^x+2

) (

^{2+ y−1}

)

^{2的最小值為__﹒}

解答 9

解析

(

^x+2

) (

^{2+ y−1}

)

²⁼

( (

^x+2

) (

^{2+ y−1}

)

²

)

^2﹐表

^{( )}

^{x y 到,}

⁽

^−2,1

⁾

^{之距離平方﹐}

∴最小值為

(

^{42+32 −2}

)

²⁼

⁽

^{5 2−}

⁾

^{2= ﹒ 9}

34.設 , ,P A B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點﹐其中 P 點坐標為

( )

1,0 ﹐A 點坐標為 12 5,

13 13

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠﹐且 APB∠ 為直角﹐則 B 點坐標為

(

_______, _______ ﹒（化成最簡分數）

)

解答 12 5 13 13,

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

解析 ∠APB為直角﹐表示 AB 為直徑 ∴ 12 5 13, 13 B⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠﹒