勾股定理證明-G252

(1)

勾股定理證明-G252

【作輔助圖】

1. 以直角三角形ABC 的 AB 為邊向外作正方形 ABDE 。

2. 並過 E 作垂 CA 直線交 CA 延伸線於 F ；過 D 作 CB 垂直線交 CB 延伸線於 G ；過 D 作 CF 垂直線交 CF 於 H ，交 AB 於 I ；過 E 作 CG 垂直線交 CG 於 J ，交 DH 於 K ， 交 BD 於 L ；最後過 I 作 CB 垂直線交 CB 於 M 。

A B

C

D E

F

G H

I J

K

L M

【求證過程】

不難發現輔助中有四個直角三角形是全等的直角三角形以及外也有兩個直角三角形全等，在給出證明之後，就可以透過大正方形面積可以拆成小正方形面積和的面積關係式推導，得到畢氏定理關係式。

1. 不難看出 ABC 、 EAF 、 EDK 和 BDG 是全等的直角三角形，以下我們給出證明：

因為正方形 ABDE ，所以有

, ABBDDE EA 且

90 , ACB EFA DKE BGD

       

以及

90 ,

CAB FAE FEA

     

也同理我們有CAB FEA KED GBD, 因此

ABC EAF EDK BDG

       (AAS 全等).

2. 也不難看出 AIH 和 BLJ 全等，以下我們給出證明：

因為

( ),

CAB GBD ABC BDG

     

(2)

並且

, AH AC HC

BG JG BJ

 

 以及

90 ,

AHI BJL

   

所以

AIH BLJ

   (AAS 全等).

3. 接著考慮 IBM 與 DLK 全等，以下給出證明：

因為

( )

, MB CB CM

KJ LJ AIH BLJ LK

 

    

 且

90 ,

IMB LKD

   

以及

, IM KD 所以可以推得

IBM DLK

   (SAS 全等).

4. 接著證明四邊形 IBLK 及三角形 BDG 面積相同：

因為 1

IBD 2 IMDB IBM BDG

      ，可以得到

( )

.

IBLK IBD KLD

IBM BDG KLD BDG

   

     

 

5. 綜合以上可以得到：

( ) ( )

,

ABDE AIKE EKD DKL IBLK AIKE AFE DKL BDG

AIKE AFE DKL DGJL BDL AIKE AFE AHI DKL DGJL

EFHK DKJG

     

      

       

       

 

此即為畢氏定理關係式

2 2 2

. AB  AC BC

【註與心得】

1. 來源：此證明是作者 Loomis 在 1940 設計給出的。收錄在 Loomis 的《勾股定理》

中幾何篇的編號第251 號

2. 心得：此證明中最大關鍵是證明其中一個四邊形面積會等於另一個三角形面積，

(3)

再用面積的等式來證明畢氏定理。在教學上要特別留意學生可能容易誤以為是要證明圖中的梯形全等。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ●

4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：

S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。

以及

N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。