科學月刊【數‧生活與學習】專欄 102 年 7 月
日本高中數學課本簡報
單維彰‧102 年 6 月 13 日
本欄於今年 3 月指出，就課程綱要而言，日本的必修課程不包含向量課題。寒假 裡，竹北高中數學科蕭老師赴日旅行途中，蒐集了一整套現行教科書，學期初寄 送給我。在此特別感謝蕭老師，她的餽贈使我得以進一步根據教科書的實際內 容，向讀者們做個簡報。
日本高中數學教科書共有七冊，蕭老師取得了數學基礎、（新）數學Ⅰ、Ⅱ
（東京書籍）、Ⅲ（數研出版），和（新）數學 A、B、C（實教出版）。其中《數 學基礎》和 A、B、C 在 2002 年審定，而Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ在 2011 年審定；七冊都是 在 2012 年（平成 24 年）印刷發行的。
小女曾在日本的語言學校學習九個月，具備日語檢定 N1 級的水準。我請她 陪我一個下午，瀏覽了上述七本教科書。以下所言並不涉及其他版本，皆以蕭老 師提供的版本為準。
就課綱來看，數學Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是必修的，其他是選修，而每一冊書都該使用 一年。但是就小女聽日本同學說，只有Ⅰ、Ⅱ才是共同必修，Ⅲ是分流之後的理 工組必修。雖然這三冊書原則上應該分別用在高中的三年，但實際上高一就可能 同時完成Ⅰ和Ⅱ。選修課本不一定要整冊教完，所以授課時間也未必是一整年。
本欄作者並非日本數學教育的專家，也沒有機會實地考察，故本文僅就教科 書內容而論，並不涉及現場。請讀者想像，日本有一億人口，是台灣的四倍多，
因此在每一個數學學習性向的分佈段落裡，日本的學生數量都比台灣的多，而且 日本教師自編教材的培訓與風氣皆盛，所以教學現場想必有更多因地制宜、因材 施教的措施。本文不討論這些措施。
先說我們最關心的：向量。日文的「向量」是用片假名音譯的 Vector，出現 在《數學 B》第二章（平面）和第三章（空間），給高二學生選修。第二章第一 節先以 10 頁篇幅，8 例和 9 個練習的份量，以平面上的有向線段講解向量的相 等、平行、係數積、加減運算、線性組合等意涵，並實際上說明了平面向量的線 性獨立意涵（沒寫出專有名詞）。然後用 6 頁、5 例發展坐標平面上的向量運算 與絕對值、再用 7 頁、3 例介紹內積和垂直。
上述「例」是指「一般學習」的具體範例，課本裡還有另一系列為了深刻理 解而設計的「例題」。在 2-1 中共有 16 例和 7 道例題，其中例題 1 以正六邊形的 頂點和中心點討論平面向量的合成或相等關係，例題 2 求與 (3, 4) 平行而長度 為 10 的向量，例題 3 給定三個向量 a、b、p 的坐標，要求用 a 和 b 的線性組合 表示 p。其後的 4 道例題都關於內積，如例題 7 求垂直於 (-2, 1) 且長度為 5 的 向量。
第二章第二節就是（平面）向量的應用了，有 14 頁、6 例、5 例題、11 道 練習。內容包括位置向量、（內外）分點公式、三角形的「心」，直線參數式與法 線式、圓的直徑式。但是直徑式不含任何範例或練習。平面向量至此為止。
限於篇幅，以下不再列舉課本內容。根據以上所列，讀者已經看得出來，日 本教科書的內容與篇幅都比我們的輕快；此外，日本教科書的字體較小，排版簡 明素雅，也令我喜愛。每一本書都聲明是用再生紙與大豆油或植物油印刷的。
綜合而言，日本的向量課題不包括（平面或空間的）點到直線距離，沒有直 線與圓的應用，沒有向量「決定」的平行四邊形或平行六面體，也沒有行列式。
空間中的直線參數式與比例式，和平面的法線觀念與平面方程式，都以附錄形式 寫在第三章習題的後面 4 頁，沒有例題或練習。空間中的點到平面距離、平行線 距離和歪斜線距離，都是沒有的。
日本稱矩陣為「行列」，寫在選修的《數學 C》。雖然以兩頁篇幅定義了 m 行 n 列的矩陣，但是實質上的內容全都是二階方陣。因為沒有講行列式，二階逆 方陣的計算步驟中，以「判別式」代替了行列式。僅以一道練習題讓學生知道方 陣乘法沒有交換律，並未在此多著墨。沒有克拉瑪公式也沒有高斯消去法，僅將 二元一次聯立方程式與二階方陣連結，然後用平行或重疊的直線解是了無唯一解 的狀況。最後，課本講了平面上的線性變換、逆變換與合成變換。
圓錐曲線以「二次曲線」之標題出現在《數學 C》。他們很務實地先講橢圓、
再講雙曲線，最後才講拋物線；因為對稱於 y 軸的拋物線已經學過了，而且它又 是「略為退化」的情況，放在最後以便跟舊知識比較。課文裡並沒有透過圓錐將 三種曲線連結起來，但是夾在書內的幾幅彩色頁，有一頁示意了圓錐與平面的三 種截痕；我猜，這是留給教師自行發揮的地方。一個很聰明的作法是，前三節只 講了以原點為中心的標準式，到了第四節一次講解中心點的平移，有效縮短了教 學時程。然後，在第五節以聯立方程式的手法處理二次曲線與直線的關係；這個 安排比起我們僅討論圓與直線關係的課程有意思。
必修《數學Ⅰ》的內容，除了「三角比」和「集合與論證」以外，幾乎是我 們的國中數學總複習；可見日本的數學課程在前九年略慢於我國。所謂「三角比」
就是在具體的直角三角形上討論某兩邊的比值，只定義了 sin、cos、tan 三種，
而且始終限定在銳角，直到最後一小節才討論鈍角的三角比，並無廣義角。我特 別愛《數學Ⅰ》的前言，它簡直就是一篇「數學是一種語言」的短文。
在必修的《數學Ⅱ》裡，跟我們一樣用解聯立方程式的手法處理了圓與直線 關係。在這之後，課本安排了直線不等式和圓不等式，並利用來練習在坐標平面 上畫出聯立不等式的解區域。但是，並沒有看到平行直線系，也沒有發展線性規 劃。
虛數也出現在《數學Ⅱ》裡，內容份量與 99 課綱的設計差不多。但是日本 的多項式處理得很簡單，沒看到「有理根」的判定，沒有代數基本定理，也沒有 插值多項式。幾乎所有實際要算的例題，都只有三次。
在《數學Ⅱ》出現的三角函數也只有 sin、cos、tan 三種，這裡介紹了廣義 角，也在全章的最後引入弧度量。我個人難以苟同的是，他們用度為單位畫了三 角函數圖形；不論在歷史上或者實用上，都不宜這樣繪圖。我認為學生應被教導，
凡是討論三角「函數」時，一律以弧度測量角。我猜想這是日本受限於課程時數 與課本篇幅而採取的權宜措施。
同樣屬於《數學Ⅱ》的指數與對數函數也類似我們的課程，只是我國安排在 高一上學期。日本同樣沒有在必修課程裡談到無理數 e，但是當他們在選修《數 學 C》講正規分佈的時候，還是寫出了分佈函數，直接告訴學生 e 是大約 2.71828 的無理數常數。
最後，讓我們談談排、組、機、統吧。這些課題全部屬於選修；唯一列入必 修課程的，是《數學Ⅰ》的「數據分析」。此項安排再次表明：數據分析並不須 具備機率基礎，也不等同於統計。其內容與 99 課綱在高一下學期的安排類似，
但是二維數據僅觸及相關係數的意涵，並不討論標準化，也沒有迴歸直線。
排列組合是選修《數學 A》第一章的主題，其「組合」課題在區區 3 道例題
章，發展到獨立事件的重複實驗與期望值 》包含一章「統計與計算機」， 其內容與《數學Ⅰ》的「數據分析」重疊，但是複雜得多，而且正式教導試算表 軟體的用法。《數學 C》則以一章發展隨機變數與機率分佈，以另一章處理抽樣 之後，就開始發展二項式定理，而止於 的展開式。「古典機率」在第二
。《數學 B (a b c )n
與統計推論。
讀到這裡，讀者不免懷疑，日本的數學內容怎會這麼少？他們難道不學習數 學了
本的高中數學課程是對準了微積分而設計的。在必修課 嗎？當然不是的，他們學習「微積分」。在全體必修之《數學Ⅱ》的最後一 章，就單刀直入地講解了微分和積分的符號、意義、基本公式和典型應用；毫不 浪費時間在極限原理上。而整冊理工必修的《數學Ⅲ》，就是一本微積分入門。
在這裡，多項式函數、有理函數、三角函數與指、對數函數都用上了；順帶一提，
三角還是只有三種，而且自然對數出場了，所以講解了常數 e。（但是數學 C 並 不要求先修數學Ⅲ。）
我們可以這樣說：日
程裡，他們為學生設想了一條從國中數學直達微積分的最短路徑。
