7-2: 假设检验

7-2: 假设检验

张伟平

第七讲: 假设检验

7.2 一样本和两样本总体参数检验 . . . . 1

7.2.1 一样本正态总体参数检验 . . . . 1

7.2.2 两样本正态总体的情形 . . . 13

7.2.3 成对数据 . . . 18

7.2.4 0-1 分布中未知参数 p 的假设检验 . . 19

7.2.5 置信区间和假设检验之间的关系 . . . . 21

7.2 一样本和两样本总体参数检验

本节介绍最基本的假设检验问题: 一样本和两样本正态总体的有 关均值和方差的检验, 简单的大样本检验 (0-1 分布参数的假设检验).

7.2.1 一样本正态总体参数检验

一般地, 设总体 X∼ N(µ, σ²),−∞ < µ < ∞, σ²> 0; X1,· · · , Xn

是取自总体 X 的一个样本. 取显著性水平为 α. 则可能考虑的参数有 均值 µ 和方差 σ²:

(1) 方差已知时均值的检验 先考虑双侧假设, 即要检验

H0: µ = µ0↔ H¹: µ̸= µ⁰.

由于 µ 的极大似然估计为 ¯X, 取 “标准化” 后的检验统计量 Z = Z(X1,· · · , Xⁿ) =√

n X¯− µ0

σ

注意到当 H0 成立时, U ∼ N(0, 1), |Z| 应该较小, 反之当 |U| 的观 测值 z(x1,· · · , xⁿ) 较大时, 不利于零假设 H0 应该拒绝之. 所以选拒 绝域形如

{|Z| > τ}.

要求显著性水平为 α, 即

PH₀(|Z| > τ) = α, 解得 τ = z_α/2. 于是检验的拒绝域为

{|Z| > uα/2}.

即当观测值 (x1,· · · , xⁿ) 满足不等式

√n|¯x − µ⁰| σ > uα/2

时拒绝 H0.

类似地, 检验右侧假设

H0: µ = µ0↔ H¹: µ > µ0 或者 H0: µ≤ µ⁰↔ H¹: µ > µ0

仍然用统计量 Z, 由于 Z 大时不利于 H0, 取拒绝域为 {Z > u^α} .

而检验另一个左侧假设

H0: µ = µ0↔ H¹: µ < µ0 或者 H0: µ≤ µ⁰↔ H¹: µ < µ0

的拒绝域为

{Z < −u^α} .

虽然我们取的临界值只考虑使检验在 µ = µ₀ 处的犯 I 类错误的概率 为 α, 从检验的拒绝域的形状上可直接看出来在零假设下 µ≤ µ⁰ (或 µ≥ µ⁰) 时犯第 I 类错误的概率恒小于或等于 α.

以上三个检验统称为Z 检验.

↑Example

随机地从一批铁钉中抽取 16 枚, 测得它们的长度 (单位: 厘米) 如下:

2.942371 2.988662 3.106234 3.109316 3.118427 3.132254 3.140042 3.170188 2.902562 3.128003 3.146441 2.978240 3.103600 3.003394 3.044384 2.849916

已知铁钉长度服从标准差为 0.1 的正态分布, 在显著性水平 α = 0.01 下, 能否认为这批铁钉的平均长度为 3 厘米? 如显著性水平为

α = 0.05 呢? _↓Example

解: 这是方差已知时关于均值 µ 的假设检验问题, H0: µ = 3↔ H¹: µ̸= 3.

取检验统计量为 Z =√

n( ¯X− 3)/0.1, 检验的拒绝域为 |Z| > uα/2. 由样本算得检验统计量的值为 z≈ 2.16, 如显著性水平为 0.01, 则临 界值为 u0.005 ≈ 2.58, 跟检验统计量的值比较发现不能拒绝零假设, 即不能推翻铁钉平均长度为 3 厘米的假设; 而如果显著性水平为 0.05 时, 临界值为 u0.025= 1.96, 此时可以拒绝零假设, 认为铁钉平均长度 不等于 3 厘米. 这个例子说明结论可能跟显著性水平的选择有关: 显 著性水平越小, 零假设被保护得越好从而更不容易被拒绝.

↑Example

对正态总体 N (µ, σ²)(其中 σ²已知) 下的假设检验问题 H0: µ≥ µ0↔ H¹: µ < µ0，如果我们还要求“犯第二类错误的概率要小于指

定的 β > 0”该怎么办？ _↓Example

解：根据功效函数和两类错误的定义，知道等价的要求

βϕ(µ)≥ 1 − β, µ < µ⁰ (7.1) 但是，当 µ < µ0 但 µ 接近 µ0 时，βϕ(µ)≈ α，而因为 α, β 一般都 很小，因此一般有 α < 1− β，这就看出要求 (7.1) 无法达到。我们只

能放松一些，要求对某个指定的 µ1< µ0，有

βϕ(µ)≥ 1 − β, µ < µ¹ (7.2) 因为 βϕ(µ) 为 µ 的减函数，因此等价于要求

βϕ(µ1)≥ 1 − β 此即

Φ

( √n(µ0− µ¹) σ − uα

)

≥ 1 − β 等价的得到

n≥ σ²(uα+ uβ)²/(µ0− µ¹)²

也即要满足题目中的要求，样本大小至少要达到上式右边那么大。

(2) 方差未知时均值的检验 考虑检验

H0: µ = µ0↔ µ ̸= µ⁰,

由于方差未知, 可以在将 ¯X 标准化的过程中用样本方差 S² 代替总体 方差 σ², 得检验统计量

T =√

nX¯− µ⁰ S .

由于在 H0 下, T ∼ tn−1, 于是拒绝域取成 {|T | > tⁿ−1(α/2)} . 此检验称为t 检验.

类似地可以得到另外两个单侧假设的检验拒绝域, 见表 7.2.1 中.

↑Example

(例7.2.1续) 设方差未知, 则在水平 0.01 和 0.05 下能否认为铁钉

平均长度为 3 厘米? _↓Example

解: 这是方差未知时关于均值 µ 的假设检验问题,

H0: µ = 3↔ H1: µ̸= 3 取检验统计量为 T =√

n( ¯X− 3)/S, 检验的拒绝域为 |T | > tⁿ−1(α/2).

由样本算得检验统计量的值约为 2.21, 与显著性水平 0.01 对应临界 值 t15(0.005)≈ 2.95 比较, 不能拒绝零假设, 而与显著性水平 0.05 对 应临界值 t15(0.025)≈ 2.13 比较, 可以拒绝零假设, 即在显著性水平 0.01 下不能拒绝铁钉平均长度为 3 厘米的假定, 但在显著性水平 0.05 下可以认为铁钉平均长度不等于 3 厘米, 此结论与方差已知情形一致.

(3) 方差的检验 考虑假设检验问题

H0: σ²= σ0²↔ H¹: σ²̸= σ²0. 对均值已知的情形, 由 σ² 的极大似然估计

ˆ σ²= 1

n

∑n i=1

(Xi− µ)² 可以构造检验统计量

χ²= 1 σ²₀

∑n

i=1

(Xi− µ)²= nˆσ² σ²₀ .

在 H0 下, χ²∼ χ²n, χ² 的平均值为 n, 而在 H1 下, χ² =^σ_σ²2 0

nˆσ² σ² 的 均值为^σ2

σ²₀n̸= n, 因此当 χ² 的值过于偏离 n 时应该拒绝 H0, 于是拒 绝域取成

{χ²< χ²n(1− α/2) 或者 χ²> χ²n(α/2)} .

对均值未知的情形, 构造检验统计量

χ² =(n− 1)S² σ²₀ ,

其中 S² 为样本方差. 在 H0 下, χ²∼ χ²n−1, 拒绝域取成 {χ²< χ²_n−1(1− α/2) 或者 χ²> χ²_n−1(α/2)} . 对于单侧假设, 可以类似得到检验的拒绝域, 参看下表 7.2.1.

上述检验称为 χ² 检验.

↑Example

(例7.2.1续) 在水平 0.1 下能否认为铁钉的标准差大于 0.1 厘米?

↓Example

解: 这是均值未知时关于方差 σ² 的假设检验问题,

H0: σ²≤ 0.1²↔ H¹: σ²> 0.1².

取检验统计量为 χ²=^(n−1)S_0.12 ², 检验的拒绝域为{χ²> χ²n−1(α)}. 由 样本算得检验统计量的值 χ² ≈ 14.32, 与显著性水平 0.2 对应临界值 χ²15(0.1)≈ 22.31 比较, 不能拒绝零假设, 即在显著性水平 0.1 下可以 认为铁钉的标准差小于 0.1.

7.2.2 两样本正态总体的情形

设总体 X ∼ N(µ1, σ1²), Y ∼ N(µ2, σ2²), −∞ < µ1, µ2 <

∞, σ²1, σ²₂> 0; X1,· · · , Xⁿ是从总体 X 中抽取的一个样本, Y1,· · · , Yⁿ 是从总体 Y 中抽取的一个样本. 设来自不同总体的样本相互独立. 下 面设考虑有关均值差 µ1− µ² 和方差比 σ₁²/σ²₂ 的检验. 取显著性水平 为 α.

↑Example

甲乙两个农业试验区种植玉米, 除了甲区施磷肥外, 其他试验条 件都相同, 把两个试验区分别均分成 10 个和 9 个小区统计产量 (单 位: 千克) , 得数据如下

甲区 62 57 65 60 63 58 57 60 60 58 乙区 50 59 56 57 58 57 56 55 57

假定甲乙两区中每小块的玉米产量分别服从 N (µ1, σ²), N (µ2, σ²), 其中 µ1, µ2, σ² 未知. 试问在显著性水平 α = 0.1 下磷肥对玉米的产 量是否有效?

↓Example

解: 磷肥对玉米产量有效果等价于 µ1> µ2, 故将其设为对立假设, 假 设检验问题是

H0: µ1≤ µ²= 0↔ H¹: µ1> µ2. 构造基于 µ1− µ² 的极大似然估计 ¯X− ¯Y 的检验统计量

T = X¯− ¯Y Sw

√1 m+_n¹

.

当 H₀ 成立时, T ∼ tm+n−2, 于是拒绝域为 {T > t^m+n−2(α))} . 由所得数据算得检验统计量 T 的观测值为

t = x¯− ¯y sw

√1 m+_n¹

= 3.23.

由 α = 0.1 得临界值为 tm+n−2(α/2) = t17(0.1)≈ 1.33 < 3.23, 因此 拒绝 H0, 即可以在显著性水平 0.1 下认为磷肥对玉米的产量有显著 性影响.

↑Example

在例7.2.2中假定了两个正态总体的方差是相等的, 即 σ²₁ = σ2²= σ². 现在我们根据样本来检验这个方差齐性的假设, 即要检验

H0: σ²1

σ²₂ = 1↔ H¹:σ1²

σ₂² ̸= 1.

↓Example

解: 因为 σ₁² 和 σ²₂ 的极大似然估计分别是

ˆ σ²₁= 1

m

∑m i=1

(Xi− ¯X)², ˆσ²₂= 1 n

∑n i=1

(Yi− ¯Y )².

在 θ = σ₁²/σ²₂ 的极大似然估计 ˆθ = ˆσ₁²/ˆσ²₂ 的基础上可以构造检验统 计量

F = S²1

S²₂ = (m− 1)ˆσ1²/m (n− 1)ˆσ2²/n .

注意到 F 中的分子和分母分别是 X 和 Y 的样本方差. 当零假设成 立时, F ∼ F^m−1,n−1. 于是拒绝域为

{F < Fm−1,n−1(α/2) 或 F > F_m−1,n−1(1− α/2)}.

由数据算得检验统计量 F 的观测值 f = 1.19, 如果取显著性水平 α = 0.2, 那么临界值为 F9,8(0.1) = 2.44, F9,8(0.9) = 1/F8,9(0.1) = 0.41 (如果 X∼ F^m,n, 则 1/X∼ F^n,m). 易见 0.41 < 1.19 < 2.44, 因此不 能拒绝 H0, 即在显著性水平 0.2 下可以认为上例中所作的方差齐性 假定是合理的.

7.2.3 成对数据

在上述两样本正态总体的假设检验中, 要求两个样本是独立的, 但是没有要求样本量相等. 有一类数据叫做成对数据

{(X¹, Y1),· · · , (Xⁿ, Yn)}

• 数据对之间通常可以认为是独立的

• 数据对内两个观测通常不独立

比如一个病人在用药前后测得的指标分别为 X 和 Y

当数据是连续数据时候, 通常对数据对内取差, 构造一个新的总 体 Z = Y − X 及样本 Z¹ = X1− Y¹,· · · , Zⁿ= Xn− Yⁿ, 通常假设 Z 服从正态, 则相应的假设检验转为一样本正态检验问题!

7.2.4 0-1 分布中未知参数 p 的假设检验

产品验收时, 需要检验不合格率是否小于某给定的一个数.

设 (X1,· · · , Xⁿ) 是取自总体 X 的一个样本, 该总体服从 0-1 分 布, 取 1 的概率为 p. 常见的假设有三种:

(1) H0: p = p0↔ H¹: p̸= p⁰;

(2) H0: p = p0↔ H¹: p > p0 或 H0: p≤ p⁰↔ H¹: p > p0; (3) H0: p = p0↔ H¹: p < p0 或 H₀: p≥ p⁰↔ H¹: p < p0. 假定样本量 n 较大, 取显著性水平为 α. 由于 p 的极大似然估计 为 ¯X, 取 “标准化” 过的检验统计量

T =√

n√X¯− p⁰ p0(1− p⁰),

其中 p0和 p0(1− p⁰)/n 分别为 ¯X 在零假设 p = p0 下的期望和方差, 从而当 H0 成立时, 由中心极限定理近似地有 T ∼ N(0, 1). 于是上述 三种检验的拒绝域分别为

{|T | > uα/2, {T > u^α} 和 {T < −u^α}

↑Example

某厂产品不合格率通常为 0.5. 厂方希望知道原料产地的改变是 否对产品的质量发生显著的影响. 现在随机地从原料产地改变后的产 品中抽取了 80 个样品进行检验, 发现有 5 个是不合格品. 试问, 在显

著性水平 0.1 下, 厂方由此可以得出什么结论? _↓Example

解: 总体 X∼ B(1, p), 其中 p 未知. 在显著性水平 α = 0.1 下, 产品 质量无变化等价于 p = 0.05, 故我们要检验

H0: p = 0.05↔ H1: p̸= 0.05.

由于 ¯x = 5/80 = 0.0625, 因此检验统计量 T 的观测值 t =√

n√x¯− p⁰

p0(1− p⁰) = 0.513.

由 α = 0.10 得临界值 u0.05= 1.645. 易见, |t| < 1.645, 因此不能拒

绝 H0, 即在近似显著性水平 0.10 下可以认为原料产地的改变对该厂 产品的质量没有发生显著的影响.

7.2.5 置信区间和假设检验之间的关系

置信区间和假设检验之间有着明显的联系。我们首先考虑置信区 间和双边检验之间的关系。设 X1,· · · , Xⁿ 为从总体 F (x; θ) 中抽取 的样本，参数 θ 的 1− α 置信区间为 [θ, ¯θ], 即

P (θ≤ θ ≤ ¯θ) = 1 − α

而对假设 H0: θ = θ0↔ H¹: θ̸= θ⁰，在原假设之下，有 P (θ≤ θ0≤ ¯θ) = 1 − α

等价于

P (θ0> ¯θ) + P (θ0< θ)≤ α

按显著性检验的定义，即得其检验为

ϕ : 当 θ≤ θ⁰≤ ¯θ 时，接受H⁰, 不然就拒绝

反过来讲, 如果假设 H0: θ = θ0↔ H¹ : θ̸= θ⁰ 检验的接受域有 形式

θ(x1,· · · , xn)≤ θ0≤ ¯θ(x1,· · · , xn) 即有

P (θ≤ θ⁰≤ ¯θ) = 1 − α 由 θ0 的任意性，知对任意的 θ，有

P (θ≤ θ ≤ ¯θ) = 1 − α

即：为求出参数 θ 的 1− α 置信区间，我们可以先找出 θ 的双边检验 H0 : θ = θ0 ↔ H¹ : θ̸= θ⁰ 的检验函数，则其接受域就是参数 θ 的 1− α 置信区间。反过来，为求假设 H⁰: θ = θ0↔ H¹: θ̸= θ⁰ 的检

验，我们可以先求出参数 θ 的 1− α 置信区间，则就是该假设的接受 域。

类似地，置信水平为 1−α 的单侧置信区间 (θ, ∞) (或者 (−∞, ¯θ)) 与显著性水平为 α 的右 (或者左) 边检验问题 H0 : θ≤ θ⁰ ↔ H¹ : θ > θ0 (或者 H0: θ≥ θ⁰↔ H¹: θ < θ0)，也有类似的对应关系。