圖 2：5×5 All-Ones Problem 的初始盤面，所有燈全亮

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第一章緒論

第一節問題描述

假設有一大小為 n×m 的棋盤狀盤面，盤面上每一格代表一個燈泡，而每盞燈只有燈亮與燈暗兩種狀態。當我們在盤面上任點一格，

其上、下、左、右的鄰居包含自己的狀態會同時改變，也就是亮的變暗，暗的變亮，這條規則稱為 σ⁺-rule，如圖 1 所示。另外，若點其中一格，其上、下、左、右的鄰居的狀態會同時改變但不包含自己，

這條規則稱為σ^--rule。本論文的內容將只討論 σ⁺-rule。

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(a)先點左上黑點處 (b)再點中間黑點處圖 1：σ⁺-rule 規則圖示

給定一初始狀態全為亮的盤面(如圖 2)，若能找到某種點燈法則(如圖 3)，使得整個盤面點成全暗即達成目標。這就是所謂的全一問題(以下統稱 All-Ones Problem)，也就是網路上常看到的點燈遊戲(all lights 、lights out game)。而如何找出最少點燈數的解法的問題叫做

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最小全一問題(Minimum All-Ones Problem)。

圖 2：5×5 All-Ones Problem 的初始盤面，所有燈全亮

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圖 3：黑點為此5×5 All-Ones Problem 的一種解答

若以圖論的觀點來看這個問題，給定一graph G = (V, E)，其中 V 為 G 上面的 vertex-set，E 為 edge-set。X 為 V 的子集合，若 V 中每一個 vertex v∉X的四周有奇數個vertex x∈X與之相鄰，且 X 中每一個元素的四周包含自己在內都有奇數個vertex Xx∈ 與之相鄰，則 X 即為該盤面的一組解。其中 X 就叫做 odd parity cover，或稱 odd dominating set(簡稱 ODS)。

All-Ones Problem 有一些值得注意的特性。第一，同一格子按偶數次將會回到它原先的狀態，其作用等同於沒有按過。第二，點燈的順序改變並不會影響結果，也就是說，我們所找的解答是ㄧ組點燈的

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另外，假使初始盤面是ㄧ不全為亮的盤面，也就是有些燈是亮的有些是暗的，是否能夠找到一組解能將那些亮著的燈變暗，最終達到所有燈全為暗的盤面，這個問題稱為全零問題(All-Zeros Problem)。

Tiger Toys 公司所生產的著名的電子玩具”Lights Out”系列便是以盤面大小為5×5 的全零問題為基礎而製作[22]。以圖論的觀點來說，這個問題其實是在找圖中的even dominating set(簡稱 EDS)，但是並非任意的圖都可以找到一組 EDS，也就是說並非所有的初始盤面都會有解，因此許多的研究者投入在找出有解的初始盤面的研究，其中最有名的是John Goldwasser 與 William F. Klostermeyer 等人利用線性代數去分析，見[10]。

圖 4：Tiger Toys 的 Lights Out 2000 [22]

本論文將把重點放在All-Ones Problem 上。

第二節研究背景與目的

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All-Ones Problem 最早是由 Sutner 於 1988 年提出的論文[12]中所

定義的名詞，並於 1989 年利用 cellular automata 證明了任意大小的 n×m 的盤面都必定有解，也就是說，任意一個圖中都必定存在ㄧ組 ODS。但並非任意的圖都必定存在 EDS，因此，雖然 All-Ones Problem

ㄧ定會有解，但 All-Zeros Problem 卻未必有解的原因便在於此 [10][13][18][21]。另外 Lossers 也利用線性代數證明了任意大小的 n×m 的棋盤狀盤面的All-Ones Problem 都必定有解的事實[16]，因此後來許多研究者都是利用線性代數來分析這個問題，但其解法需耗費 Ο(n³×m³)的時間。

Sutner 接著又提出了 Minimum All-Ones Problem 也就是尋找最少

點燈數，即求最佳解的問題，並証明了任意盤面的Minimum All-Ones Problem 是一種 NP-Complete 的問題[13]，也就是說很難找出多項式時間的解法。但是對於某些較簡單的盤面而言卻仍然有可能找出多項式時間甚至線性時間的演算法來求解。William Y. C. Chen 等人提出了一種針對求解 Minimum All-Ones Problem 於樹狀圖以及 unicyclic、

bicyclic graphs 的盤面的線性時間演算法[20]。

本校蔡明原學長與林順喜教授提出了一種搜尋演算法[1]能夠有效率的找出All-Ones Problem 在較小 n×m 盤面上的所有解法。根據他們實驗後的結果，12×12 以下的盤面幾乎都能在一秒內找出一組答

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案。但是當處理的盤面更大時，解題時間卻呈指數成長，其演算法仍有改進的空間。該論文中也提出了一些有趣的觀察，例如，大部分的解法都具有對稱性，但也有不對稱的解法。另外他們還發現了所有的解法都是取決於第一行的點燈法則，但是卻尚未發現有效率的演算法來決定第一行的點燈法則。該篇論文提供了我們針對 All-Ones Problem 的研究一個主要的思考方向，也啟發了撰寫這篇論文的靈感。

我們知道所有的解法都是取決於第一行的點燈法則，因此本論文中將會依據這個想法提出ㄧ種演算法能夠有效率的決定第一行的點燈法則，並在 Ο(n×m+n³)的時間內找出任意大小的 n×m 盤面的 All-Ones Problem 解法。

第三節論文組織

本篇論文的組織架構如下：第一章先描述什麼是 All-Ones Problem，做一些詳細的定義與解說，並介紹這個領域的研究背景、

前人的一些研究成果與重要發現，和希望達成的目標。第二章會詳述重要的證明，以及現有的求解 All-Ones Problem 的演算法，並做一些分析比較。第三章是本篇論文的重點，也就是我們所提出的新的改良演算法，能夠更快的找出 All-Ones Problem 的解法。我們將提出一些

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有趣的方法及發現，希望提供研究者一個新方向來研究這個問題。最後一章將會把整篇論文做個總結，並提出未來可能的研究議題。