✐
✐
“C44N3” — 2020/9/8 — 15:18 — page 1 — #1
✐
✐
✐
✐
✐
✐
½s ªÌ ªº ¸Ü
本期摘錄丘成桐教授去年演講中關於規範理論的部分。 1929 年 Hermann Weyl 重新詮釋自己 1918 年的工作, 在切向量場的圓群變換下, 闡述電動力學如 何保持不變, 開啟了規範理論的先河。 該理論隨即推廣至非阿貝爾規範群, 其後並 納入特徵類的理論。
弦論約於 1970 年發軔, 弦對稱性引發出坐標不變性及規範不變性。 1974 年, 學者斷定額外維度必然存在。 這些額外維度讓學者十分困擾, 而半世紀前的
Kaluza-Klein 理論提示他們 : 額外維度或可縮到極小的尺寸。 他們因此引入緊緻 化 (compactification) 的想法, 讓額外維度微小至難以檢測。 早期的嘗試無法保 持左、 右旋粒子的宇稱性 (parity)。 1985 年, Horowitz 及 Strominger 證實 : Calabi-Yau 流形不僅可緊緻化額外 6 個維度, 且可保持粒子宇稱性, 更甚者, 其 所保持的超對稱性足以複製標準模型的某些特質, Calabi-Yau 流形的 genus 也可 預測標準模型應有的粒子家族個數。
話說 Calabi-Yau 流形, 緣起自丘成桐教授在 70 年代初思考的問題 : 是否存 在曲率非零 (因此重力非零) 的真空 (vacuum) 時空? 他知道這其實就是 Calabi 稍早提出的問題 : 物體的拓樸性質可否決定其幾何性質? 物理上, Ricci 曲率描述 物質引發的時空彎曲, Ricci 曲率到處為零意味真空。 而陳省身先生於 40 年代證 明 : Ricci 曲率到處為零的流形只能具有某種拓樸 ; 具有這些拓樸之流形, 謂之第 一陳氏類為零。 Calabi 反問 : 若某緊緻 K¨ahler 流形的第一陳氏類為零, 能否將 其變形, 使其 Ricci 曲率到處為零? 丘成桐教授在 1976 年證明該問題的答案是肯 定的, 而這類流形也就是所謂的 Calabi-Yau 流形。
1989 年 Poincar´e 研究三體問題, 揭示混沌性的存在。 1960 年 Smale 考 慮馬蹄映射, 將正方形壓縮、 伸長、 摺疊形成馬蹄, 而後重覆操作, 得到股數漸增的 蛇形馬蹄。 馬蹄映射是混沌系統的經典模型, 具三特性 : 週期性軌道的稠密性、 對 初始條件的敏感依賴性, 及拓樸混合性。 而若動力系統包含橫向同宿 (transverse homoclinic) 點, 必定具有馬蹄映射的全部動力性質; 三體系統即為一例。
我們稱動力系統具雙曲性, 若且唯若其漸進相空間之切空間可分解成兩個部 分, 系統在其中分別收縮及擴張。 馬蹄映射具雙曲性。 而不具雙曲性的系統又會是 如何? Keonhee Lee 教授介紹了一些前沿結果, 嘗試以測度論來描述系統的可擴 張性, 力圖使擴張流得以包含奇異點, 進而推廣 Smale 的譜分解定理。
薛昭雄教授及劉又中先生探討形如P∞
n=0 ank
rn+1 的級數, 其中 {an} 為二階線 性遞迴數列。 他們著眼於特徵方程式的根, 見解獨到。 173 期張進安先生考慮的是 an 為 Fibonacci 數列的特殊情況。 林開亮教授以生成函數理解此情況。
梁惠禎 2020 年 9 月 1
