平行線與截角性質

(1)

平行線與截角性質

_{翰林版(四)4-1}

1 平行的定義

n 平行的定義：平面上的兩直線，如果同時與一 條直線垂直，則稱這兩條直線互相平行，且這兩直線是平行線。

【說明】如圖，¯PQ⊥L₁ 且¯PQ⊥L₂，則 L₁和L₂互相平行，記作｢L1//

L2｣，讀作｢L1

平行於L₂｣。¯PQ的長度即為 L₁和L₂兩平行線之間的距離。

【說明】如圖，兩平行線之間 的所有垂直線段都會等長，即兩平行線之間的距離處處相等。

2 截線與截角

n 截線：與兩直線相交於相異兩點，且將其分割 為兩個部分的直線稱為截線。

n 截角：直線與其截線所成的夾角稱為截角。

Ø 同位角：開口方向一致的角稱為同位角。

Ø 內錯角：在兩直線內側且分別在截線兩側 的角稱為內錯角。

Ø 同側內角：在兩直線內側且在截線同側的 角稱為同側內角。

【說明】平面上，如果直線 L 分別與直線 L₁ 和L₂相交於不同的兩點時，我們稱直線L 為 L₁和L₂ 的截線，直線L 和 L₁和L₂共形成八個截角。

同位角：有∠1 和∠5、∠2 和∠6、∠3 和∠7、∠4 和∠8。

內錯角：∠3 和∠5、∠4 和∠6。

同側內角：∠3 和∠6、∠4 和∠5。

3 平行線的截角性質

(2)

n 平行線的截角性質：兩平行線被一線所截所產 生的截角中：

Ø 兩直線的同位角角度相等 Ø 兩直線的內錯角角度相等 Ø 兩直線的同側內角互為補角

【說明】如圖，直線L₁、L₂ 為同時與直線L 垂直 的平行線，且交L 於 D、E 兩點，截線 M 分別交L、L₁、L₂於 A、B、C 三點。

1.同位角∠1 和∠2 的關係說明如下：

∵ ∆AEC、∆ABD 都是直角三角形

∴ ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD=90°

得到 ∠1=∠2 即 同位角角度相等

2.內錯角∠2 和∠5 的關係說明如下：

∵ ∠2=∠1 (同位角) 又 ∠1 =∠5 (對頂角)

∴ ∠2 =∠5 即 內錯角角度相等

3.同側內角∠2 和∠7 的關係說明如下：

∵ ∠2=∠5 (內錯角) 又 ∠7+∠5=180^。

∴ ∠2+∠7=180^。即 同側內角角度互補 n 兩直線被一直線所截，當下列任一條件成立

時，則兩直線會平行。

Ø 兩直線的同位角角度相等 Ø 兩直線的內錯角角度相等 Ø 兩直線的同側內角互為補角

【說明】如圖，直線L⊥

L₁於D 點，且 交L₂ 於 E 點，截線M 分 別交L、L₁、L₂ 於A、B、C 三 點。

1.如果同位角∠1=∠2

∵ △ABD 的內角和為 180°

∴ ∠1+∠BAD+∠BDA=180°

∠1+∠BAD+90°=180°

∠1+∠BAD=90°

又 △ACE的內角和為180°

∴ ∠2+∠CAE+∠3=180°

又 ∠1=∠2 ∠BAD=∠CAE 4 5

(3)

∴ ∠1+∠BAD+∠3=180°

得 ∠3=90°

所以直線 L₁與L₂同時與直線L 垂直 由平行線的定義可知L₁//L₂

2.如果內錯角∠4=∠2

∵ ∠1=∠4

∴ ∠1=∠2 即 同位角相等 所以可知 L₁//L₂

3.如果同側內角∠5+∠2=180°

∵ ∠1+∠5=180°

∴ ∠1=∠2 即 同位角相等 所以可知 L₁//L₂

4 平行線的作圖

n 平行線的作圖可利用作等同位角、等內錯角或 同側內角互補的方式來作圖。

【說明】利用尺規的等同位角 作圖，作出過已知直線L 外一點 P 與 L 平行的直線。

1.過 P 點任意作一直 線M，與 L 相交於 A 點，所形成的交 角為∠1。

2.在直線 M 上取一點 R，以 P 點為頂點，

PR為一邊作∠2，使得 2¯¯ ∠ ＝∠ 。 1 3.在 2 ∠ 另一邊取一點Q，則¯¯PQ即為所求。

範例講解

Ex1.如圖 L 是 L1、L2 之 截線,請回答下列問 題:

(1).∠1 的同位角是 _____其度數是 _______。

Hw1.如圖Ｌ是Ｌ₁Ｌ₂的截線，請回答下列問題：

(1).∠1 的同位角 是______其度 數是______。

(4)

(2).∠2 的內錯角是_____其度數是______ 。 (3).∠2 的同側內角是_____其度數是____ 。 (4).∠3 的同位角是______其度數是_____。

(5).∠3 的同側內角是_____其度數是____ 。 (6).∠3 的內錯角是______其度數是_____。

(7).∠4 的鄰角是______其度數是______。

(8).∠5 的對頂角是______其度數是______

(2).∠6 的同位角是______其度數是______。

(3).∠1 的內錯角是______其度數是______。

(4).∠2 的內錯角是_____其度數是______。

(5).∠2 的同側內角是_____其度數是____ 。 (6).∠6 的同側內角是_____其度數是____ 。

Ans: ∠6,80;∠4,100;∠6,80;∠5,80;∠4,10 0;∠6,80;∠5,∠6,80;∠6,80

Ans: ∠3,110;∠4,130;∠6,110;∠5,50;∠1,1 30

Ex2.如圖 L 是 L₁，L₂之截線，已知∠4=60^。，

∠7=50^。，求其它各角的度數。的度數。

Hw2.如圖求∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6 的 度數。

Ans: ∠1=∠4=60,∠2=∠3=120,∠5=∠7=1 30,∠6=∠8=50

Ans: 55,125,55,100,80,80

Ex3.L//M，T 為截線，

若∠1=45^。，求其它各角的度數?

Hw3.L//M，K 為截 線，若

∠3=70^。，求其它各角的度數?

Ans: ∠1=∠3=∠5=∠7=45,∠2=∠4=∠6=

∠8=135

Ans: ∠1=∠3=∠5=∠7=70,∠2=∠4=∠6=

∠8=110

Ex4.如圖是一個線對稱圖 形，B、D 分別為 A、C 的對稱點。如圖連接直線 ¯AB 及直線 ¯CD 後，量 得∠1=106°，

(1)請問直線¯AB與直線¯CD是否平行?為什麼?

(2)求∠2、∠3。

Hw4.袁太將兩塊全等紙板 的 c 邊與直尺邊緊靠 如圖，而且兩個紙板的 c 邊也緊連在一

起，兩紙板無重疊部分，但袁太發現兩紙板間有空隙。請問:

(1)圖形中，兩紙板的 a 邊是否平行?為什麼?

(2)紙板的 a、b 兩邊是否平行?為什麼?

Ans: 是,因為與對稱軸同時垂直;∠2=106°,∠

3=74°

Ans: 是,因為同位角相等;否,因為同側內角不 互補

8

(5)

Ex5.如圖，L1//L2，且∠1=∠2，∠3=∠4，請問:

(1)∠1 與∠4 是 否相等? (2)∠5 與∠6 是

否相等?

(3) ¯AB 與 ¯CD 是否平行?

Hw5.如圖，四邊形 ABCD 中，

請問:

(1) ¯AB 與 ¯CD 是否平 行?為什麼?

(2) ¯AD 與 ¯BC 是否平 行?為什麼?

(3)四邊形 ABCD 是哪一種四邊形?為什麼?

Ans: 是;是;是 Ans: 否;是;梯形

Ex6.

(1) 如圖，L1//L2，

∠1=(x+48)。，∠

2=(x+12)。，求∠1、

∠2=?

(2) 如圖， ¯AB//¯CD，

若∠1=(4x+40)。，

∠2=(6x+20)。，

試問∠1、∠2各多少度?

Hw6.

(1). ¯AB//¯CD，∠

1=(4x+10)。，

∠2=(6x+20)。，

問∠1、∠2 各多少度?

(2).如圖 L//M，若∠

1=(5x+10)。，∠

2=(3x+20)。，問∠

1 和∠2 各多少度?

Ans: 108,72;80,80

Ans: 70,110;35,35

Ex7.

(1) 如圖L₁//L₂，求

∠1、∠2=?

(2) 如圖L₃//L₄，求

∠1、∠2=?

Hw7.

(1) L₁//L₂， M1//M2，求∠

1=?

(2) L//M，求 x+y=?

Ans: 60,83;50,120 Ans: 150;38

(6)

Ex8.

(1) 若L₁//L₂， L₃//L₄，∠

1=60。，求∠2=?

(2) 已知 ¯AB// ¯EF，¯BC // ¯DE，∠B=72。，

求∠E=?

Hw8

(1) 若 ¯AB// ¯EF， ¯BC // ¯BC，∠

B=50。，求∠

1=?

(2) 若 L₁//L₂， L₃//L₄，求∠1=?

Ans: 60;72 Ans: 50,45

Ex9.如圖，△ADE 中

∠A=70^。，

∠D=50^。， ¯BC // ¯DE，求∠1=?

Hw9.如圖，△ADE 中，

∠ADE=60^。，

∠C=70^。， ¯DE // ¯BC，求∠A=?

Ans: 60 Ans: 50

Ex10.

(1) 若L//M，求

∠1=?

(2) 若L//M，求

∠1=?

Hw10.

(1) 若 L//M，求

∠1=?

(2) 若 L//M，求

∠1=?

Ans: 49;52 Ans: 32;69

(7)

Ex11.

(1).若L//M，且△ABC為正三角形，求∠1=?

(2)若L//M，求∠1=?

(3).若L//M，求∠1、∠2=?

(4).若L//M，x=?∠1=?

Hw11.

(1)若 L//M，且△ABC 為正三角形，求∠1=?

(2)若 L//M，求∠1=?

(3)若 L//M，求∠1=?

(4)若 L//M，且 PR//QH，△PQR 為正三角形，

求∠1、∠2=?

Ans: 20;52;35,80;37,90;45 Ans: 50;64;80;45,60;60

Ex12.

(1) 若L₁//L₂，求∠1=?

(2) 若L//M，求∠1=?

(3) 若L//M，求x=?

Hw12.

(1) 若 L//M，∠1=130。，∠2=120。，求∠

3=?

(2) 若 L//M，求∠1=?

(3) 若 L//M，求 x=?

Ans: 60;48;9 Ans: 110;60;25

Ex13.

(1) 若L//M，求x=?

(2) 若L//M，求x=?

Hw13.

(1) 若 L//M，求∠1=?

(2) 若 L//M，求∠x=?

(8)

(3) 若L₁//L₂//L₃//L₄，求∠1+∠2+∠3+∠4+

∠5+∠6=?

(3) L₁//L₂//L₃//L₄//L₅，求∠1+∠2+...+∠

8=?

Ans: 125;35;540 Ans: 81;35;720

Ex14.如圖，有一長方形 紙片，沿EF 摺 疊，且D 點 D'落 在上，且C 點落 C'在上，設

∠EFG=55^。，求

∠1、∠2=?

Hw14.如圖，有一長方形 紙片，沿AB 摺 疊，和原長方形的交角是30^。，求

∠1=?

Ans: 70，110 Ans: 75

Ex15.若 L//M，且 ABCD 為正 方形，求∠AED=?

Hw15.若 L//M，且 ABCDE 為正五邊形，求 x=?Y=?

Ans: 18 Ans:12,24

Ex16.如圖，∠A 與∠B 的兩 邊中有一邊互相垂直，

另一邊互相平行，如果

∠A=65°，求∠B 的度 數。

Hw16.如果∠A=80°，∠B 的兩邊分別和∠A 的 兩邊平行，則∠B=?

Ans: 25° Ans: 80°或 100°

(9)

Ex17.如圖，L1//L2，若△DCE 的面 積是 10，△BCE 的面積是 8，

求△ADE 的面積。

Hw17.如圖，L1、L2 為平行線，△ABE 的面積是 5，△BCE 的面積是 3，求△DCE 的面積。

Ans: 8 Ans: 5

Ex18.

(1).如圖，L₁ 與 L₂ 平行，請過 P 點畫出 一條平行 L₁的直線。

(2).檢驗看看你畫的 直線是否也平行

L₂，並說明你檢驗的方法。

Hw18.請於如圖△ABC 中，利用尺規作圖畫一直線 L，使 L 會 經過 ¯AB 的中點且 與 ¯AC 平行。

Ans: 略; 是 Ans: 略