安 振平 Carulan 不 等 式的 一種 加 強

數學傳播

₃₃

₁

, pp. 89-90

Carulan 不等式的一種加強

安振平

1906 年, Carulan 提出並證明了如下不等式 (文 [1]):

設 a, b, c 是三角形的三邊長, 求證

a²b(a − b) + b²c(b − c) + c²a(c − a) ≥ 0. (1) 筆者發現了不等式 (1) 的一個加強。

定理: 設 a, b, c 和 r 分別是三角形的三邊長與內切圓半徑, 求證

a²b(a − b) + b²c(b − c) + c²a(c − a) ≥ 8r²(a − b)². (2) 證明: 作代換 a = y + z, b = z + x, c = x + y, x, y, z ∈ R⁺,

由三角形的面積公式

△ = 1

2r(a + b + c) = 1

4p(a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c), 得 r² = (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)

4(a + b + c) ,

於是, 有 r² = xyz

x+ y + z. 從而, 不等式 (2) 等價於

xy³+ yz³+ zx³− xyz(x + y + z) ≥ 4xyz(x − y)² x+ y + z , 也就是, 對於 x, y, z ∈ R⁺ 則有

x² y + y²

z +z²

x ≥ x + y + z + 4(x − y)²

x+ y + z. (3)

事實上

89

90

₃₃

₁

₉₈

₃

由於 x²+ y²− 2xy = (x − y)², 所以有 x²

y = 2x − y + (x − y)² y .

同理 y²

z = 2y − z + (y − z)² z , z²

x = 2z − x +(z − x)² z . 於是, 將上面的 3 個等式相加, 便得

x² y +y²

z + z²

x = x + y + z + (x − y)²

y +(y − z)²

z +(z − x)²

x . (∗)

應用不等式 (文 [2], [3]。 化為整式, 容易證明) x²₁ y1

+ x²₂

y² ≥ (x1 + x2)² y1+ y2

(y1, y2 ∈ R⁺), 得

(x − y)²

y + (y − z)²

z + (z − x)²

x ≥ (x − y)²

y +[(y − z) + (z − x)]² z+ x

= (x − y)²h1²

y + 1² z+ x

i

≥ 4(x − y)² x+ y + z. 於是, 結合粧等式 (∗), 就得出了不等式 (3)。 得證。

其實, 由於問題的對稱性, 改進不等式 (2) 的下界, 便得 Carulan 不等式又一加強。

推論: 設 a, b, c 和 r 分別是三角形的三邊長與內切圓半徑, 求證

a²b(a − b) + b²c(b − c) + c²a(c − a) ≥ 8r²· max{(a − b)²,(b − c)²,(c − a)²}. (4)

參考文獻

1. (荷蘭) O. Bottema 等著, 幾何不等式 [M], 北京大學出版社, 1991, 9。

2. 安振平, 對一個不等式推廣的錯誤辨析及另推廣 [J], 數學通報, 1994, 6。

3. 安振平, 高二數學巧思妙解 [M], 陝西師範大學出版社, 2002, 5。

—本文作者現任教陝西省咸陽市永壽縣中學_—