【求證】梯形 ABCD 面積＝ 2 1 ×(AD＋ BC )×AH 

上底

腰 中線

下底

底角 底角

腰

梯形的基本概念

梯形的定義:四邊形中，有一雙對邊平行，另ㄧ雙對邊不平行，則稱此四邊形為梯形。

名詞介紹:上底、下底、腰、中線、底角。

（1）上底與下底：梯形中互相平行的兩邊，稱為上底與下底。

（2）腰：不平行的兩邊稱為腰。

（3）中線：連接兩腰中點的線段，稱為梯形的中線。

（4）底角：兩腰與下底的夾角稱為底角。

梯形的面積＝ 

2 

1 ×(上底＋下底)×高

以下我們用兩種不同方式來證明梯形的面積：

【方法一】將梯形化為三角形。

【已知】梯形 ABCD 中， AD// BC ，AH ⊥ BC 。

【求證】梯形 ABCD 面積＝ 

2 

1 ×(AD＋ BC )×AH 。

【證明】(1)取 CD 之中點 E，作uuur AE  交 BC uuur

於 F 點。

(2)由△ADE 與△CFE 中，∵DE ＝ CE

Ð 1＝ Ð 2(對頂角相等)、 Ð 3＝ Ð 4(內錯角相等)

∴△ADE@△FCE(ASA) ∴AD＝ CF  梯形 ABCD 面積＝△ABF＝ 

2 

1 ×(BF )×AH 

＝ 2 

1 ×( CF ＋ BC )×AH 

＝ 2 

1 ×(AD＋ BC )×AH 

A 

B  C 

D 

E 

F  H 

1  2  3 

4

【方法二】利用兩個梯形組合成平行四邊形。

【已知】梯形 ABCD 中， AD// BC ，AH ⊥ BC 。

【求證】梯形 ABCD 面積＝ 

2 

1 ×(AD＋ BC )×AH 。

【證明】（1）我們將梯形 ABCD 複製成梯形 A ^' B ^' C ^' D ^' ，並將梯形 A ^' B ^' C ^' D ^' 旋轉使得 C ^' 點 與 D 點，C 點與 D ^' 點重合。則四邊形 ABA ^' B ^' 為平行四邊形（兩雙對邊平 行且相等） 。

（2）梯形 ABCD 面積＝ 

2 

1 ×□ ABA ^' B ^' ＝  2 

1 ×( A ^' D ^' ＋ BC )×AH 

＝ 2 

1 ×(AD＋ BC )×AH 

梯形的相關中線性質

【性質 1】梯形的中線必平行於上下底，且其長等於上下底和的一半。

【性質 2】連接梯形兩對角線中點的線段，必平行於上下底，且其長等於兩差的一半。

接著我們來證明以上這 2 個性質：

【性質 1】梯形的中線必平行於上下底，且其長等於上下底和的一半。

【已知】梯形 ABCD 中 E、F 分別為 AB、 CD 之中點。

【求証】EF ＝  2 

1 (AD＋ BC )，EF //AD，EF // BC 

【証明】(1)連接AF ，並延長AF 交 BC 的延長線於 G 點。

(2)在△ADF 和△GCF 中,∠AFD＝∠GFC(對頂角相等)，

又AD// BC Þ ∠ADF＝∠GCF(內錯角相等)，

且EF 為中線 Þ DF ＝ CF 

∴△ADF@△GCF(ASA 全等性質) Þ AF ＝ GF ，且AD＝ CG  (3)∵E 為AB的中點，F 為 AG 的中點

Þ EF // BG ，EF ＝  2 

1 × BG ＝  2 

1 ×( CG ＋ BC ) 【三角形中點連線性質】

∴ 

∴EF //AD，EF // BC ，EF ＝  2 

1 (AD＋ BC ) 

A 

B  C 

D 

H 

B' 

A'  C' 

D' 

A 

B  C 

D 

E  F 

G

【範例】如圖梯形 ABCD 中， AD// BC ，P、Q、R 四等分AB；S、T、U 四等分 DC ， 若AD＝12， BC ＝30，求 PS ＋QT ＋ RU ＝？

【解答】(1) ∵AP＝PQ＝QR ＝RB，且 DS ＝ ST ＝TU ＝UC 

∴AD// PS //QT // RU // BC  (2)  QT ＝ 

2 

1 （AD＋ BC ）＝ 

2 

1 （12＋30）＝21

(3)同理QT ＝  2 

1 （ PS ＋ RU ） ∴ PS ＋ RU ＝42

(4) ∴ PS ＋QT ＋ RU ＝42＋21＝63

【性質 2】連接梯形兩對角線中點的線段，必平行於上下底，且其長等於兩差的一半。

【已知】梯形 ABCD 中， AD// BC ， BC ＞AD，E、F 分別為DB、 AC  之中點。

【

2 

1 ( BC －AD)

【

∵ 

又BE＝DE (E 為BD中點)，∠AED＝∠GEB(對頂角)，

故△AED@△GEB(ASA)，可得AE＝ EG (對應邊)，

在△AGC 中，AE＝ EG ，AF ＝ FC (F 為 AC 中點)，

故EF // GC (三角形兩邊中點連線性質)，即EF //AD// BC  (2)由(1)可得EF ＝ 

2  1 GC 

又 GC ＝ BC － BG ＝ BC －AD，故EF ＝  2 

1 ( BC －AD) 

A 

B  C 

D 

E  F 

G  A 

B  C 

D  P 

Q  R 

S  T 

U

A 

B  C 

D 

E  A 

B  C 

D 

E 

【範例】已知梯形 ABCD 中， AD// BC ， BC ＝2AD，M、N 分別為兩腰的中點。

【求證】ME＝EF ＝ FN 

【證明】(1) ∵AD// BC 且 M、N 分別為兩腰上的中點

∴ MN //AD// BC 

(2)在△ABD 中，∵ME//AD，且AM ＝BM 

∴BE＝ED  ∴ME＝  2 

1 AD  同理 NF ＝  2  1 AD 

(3)EF ＝  2 

1 （ BC －AD）＝ 

2 

1 （2AD－AD）＝ 

2  1  AD 

(4) ∴ME＝EF ＝ FN ＝  2  1  AD 

等腰梯形

1.等腰梯形的定義:兩腰相等的梯形。如圖，梯形 ABCD 中 AD// BC ，AB＝ DC ， 則稱四邊形 ABCD 為等腰梯形。

2.等腰梯形的性質:在小學我們已經學過以下等腰梯形的性質，現在我們一一來證明。

【性質 1】等腰梯形的兩底角相等。

【性質 2】若一梯形的兩底角相等，則此梯形必為等腰梯形。

【性質 3】等腰梯形的兩對角線相等。

【性質 4】若一梯形的兩對角線相等，則此梯形必為等腰梯形。

Note:【性質 1】與【性質 2】互為等價，【性質 3】與【性質 4】也互為等價。

【性質 1】等腰梯形的兩底角相等。

【已知】等腰梯形 ABCD 中， AD// BC ，AB＝ DC 。

【求證】∠B＝∠C。

【證明】(1)過 D 點作 AB的平行線DE ，交 BC 於 E。

(2) ∵DE //AB，AD//BE，∴ABED 為平行四邊形，∴AB＝DE 。 (3) ∵AB＝ DC ，∴DE ＝ DC ，即△DEC 為等腰三角形 ∴∠DEC＝∠C。

(4) ∵AB//DE ，∴∠B＝∠DEC。

(5)由(3)與(4)可知∠B＝∠C。 

A 

B  C 

D 

M  E  F N 

A 

B  C 

D  A 

B  C 

D 

E 

【性質 2】若一梯形的兩底角相等，則此梯形必為等腰梯形。

【已知】梯形 ABCD 中， AD// BC ，∠B＝∠C。

【求證】AB＝ DC 。

【證明】(1)過 D 點作 AB的平行線，交 BC 於 E。

(2) ∵DE //AB，AD//BE，

∴ABED 為平行四邊形， ∴AB＝DE 。

∵DE //AB  ∴∠B＝∠DEC

(3) ∵∠B＝∠DEC＝∠C，即  DEC D 為等腰三角形

∴DE ＝ DC Þ AB＝ DC 

【性質 3】等腰梯形的兩對角線相等。

【已知】在等腰梯形 ABCD 中， AD// BC ，AB＝ DC 。

【求證】 AC ＝BD。

【證明】(1) ∵ABCD 為等腰梯形，∴∠ABC＝∠DCB。

(2) 在△ABC 與△DCB 中，

∵AB＝ DC ，∠ABC＝∠DCB， BC ＝ BC ，

∴△ABC@△DCB(SAS) ∴ AC ＝BD。

【性質 4】若一梯形的兩對角線相等，則此梯形必為等腰梯形。

【已知】梯形 ABCD 中， AD// BC ， AC ＝BD。

【求證】AB＝ DC 。

【證明】(1)過 D 點作DE // AC 交 BC uuur

於 E 點，

∵DE // AC ，AD// BC 

∴四邊形 ACED 為平行四邊形 Þ DE ＝ AC  由△BDE 中， AC ＝BD＝DE 

∴∠1＝∠3L L (i) ∵DE // AC ∴∠2＝∠3L L (ii) 由(i) (ii) Þ ∠1＝∠2

(2)在△ABC 與△DCB 中，∵ AC ＝BD，∠1＝∠2， BC ＝ BC ，

∴△ABC@△DCB(SAS)，∴AB＝ DC 

A 

B  C 

D 

E 

1  2  3

A 

B  C 

D  10 

13 

E  F 

12 

A  D 

B  H  G  C 

E  梯形的相關應用:

【範例】等腰梯形腰長 13 公分，高 12 公分，上底長 10 公分，求其面積、周長及 中線長。

【解說】(1)作AE ^ BC 於 E，DF ^ BC 於 F

∴EF ＝AD＝10

（2）∵ABCD 為等腰梯形 ∴BE＝ CF ＝  13²- 12 ² ＝5

∴ BC ＝5＋10＋5＝20

（3）梯形面積＝ 

2 

1 (10＋20)×12＝180（平方公分）

（4）周長＝10＋20＋13×2＝56(公分）

（5）中線長＝（10＋20）÷2＝15(公分）

【範例】如右圖， ABCD 為一梯形，已知上底 AD = 2 ，下底 BC = 7 ，兩腰 AB = ， 3  4 

CD = ，求此梯形的高 AH 的長度。

【解說】作 DE // AB 交 BC 於 E

∵ AD // BC ， DE // AB  ∴ABED 為平行四邊形

∴ DE = AB =3， BE = AD =2 ∴ CE = BC － BE ＝7－2＝5

∵DDEC 之三邉長為 3、4、5 ∴DDEC 為直角D 作 DG ^ BC 於 G，則 DG ＝ DE  DC ´ / CE ＝ 

5  4  3´ ＝ 

5 

12 ＝ AH 

【範例】如右圖，梯形 ABCD 之高為 10， AB // CD ，且 AE = EG = GD ， BF = FH = HC ， 若 EF ＝6， GH ＝8，則梯形 ABCD 之面積為多少?

【解說】(1) ∵ AE = EG = GD ，且 BF = FH = HC 

∴AB// EF //GH// DC  (2)  EF＝ 

2 

1 （AB＋ GH ）

Þ 6＝ 

2 

1 （AB＋8） Þ AB＝4 

GH＝  2 

1 （ EF ＋ DC） Þ 8＝ 

2 

1 （6＋ DC） Þ DC＝10

∴梯形面積＝(4＋10)×10÷2＝70

A 

B  C 

D 

E  A 

B  C 

D 

A 

B  C 

D 

E  F 

8 

13 

A 

B  C 

D 

E  F 

8 

13 

【範例】如右圖，梯形ABCD， CD// AB 且 AD ＝  2 

1 BC ，F為對角線 AC 之中點，E為對角

線 BD 之中點， EF 分別交 AB 、 DC 於M、N，若 BC ＝4，則 MN ?

【解說】∵ AD ＝  2 

1 BC ， BC ＝4 ∴ AD ＝2

Þ 2 

1 （ AD ＋ BC ）＝ MN Þ  2 

1 （2＋4）＝3

【範例】等腰梯形ABCD中，已知AB// CD、AD＝ BC ，E、F、G、H分別為AB、 BC 、CD 

、AD的中點，那麼四邊形EFGH為何種四邊形？

【解說】連接 AC 、BD，∵ABCD為等腰梯形，∴ AC ＝BD 

△ABD中，∵E、H為AB、AD中點

∴EH //BD，且EH ＝ 1  2 ^BD  同理 FG ＝ 1

2 ^BD，又同理EF ＝ 1

2 AC ， GH ＝ 1 2 AC 

∵ AC ＝BD  ∴EF ＝ FG ＝ GH ＝EH ＝ 1  2 AC  故四邊形EFGH為菱形

【範例一】 【練習一】

梯形 ABCD 中，AD// BC，AB＝AD＝ CD ＝  2 

1 BC ，求 Ð A＝？

解答：(1)取 BC 的中點 E，連接DE  (2) ∵AB＝AD＝ CD ＝ 

2  1 BC 

∴AD＝BE，又AD// BC 

∴ABED 為平行四邊形

∴AB＝DE ＝ CD ＝ EC 

∴DDEC 為正三角形 ∴ Ð C＝60 ⁰ (3) ∵AB＝ DC  ∴ABCD 為等腰梯形

∴ Ð B＝ Ð C＝60 ⁰

∴ Ð A＝120 ⁰

等腰梯形腰長 13 公分，高 12 公分，上底長 8 公分，求其面積。

解答：(1)作AE ^ BC 於 E  DF ^ BC 於 F

∴EF ＝AD＝8 (2)∵ABCD 為等腰梯形

∴BE＝ CF ＝  13² - 12 ² ＝5

∴ BC ＝5＋8＋5＝18 (3)梯形面積＝ 

2 

1 (8＋18)×12

＝156（平方公分） 

A 

B  C 

D 

M  E  F N 

A 

B  C 

D  15 

E  25  A 

B  C 

D 

6 

60 ⁰  6 

6 

A 

B  C 

D 

E  F 

6  6 

6 

【範例二】 【練習二】

一等腰梯形 ABCD 中， 若 AD// BC，AB＝AD 

＝6 公分， Ð ABC＝60 ⁰ ，求對角線BD的長及 此梯形的面積。

解答：(1)作AE ^ BC 於 E，DF ^ BC 於 F (2)∵AB＝6， Ð ABC＝60 ⁰

∴BE＝3，AE＝3  3 ∵ABCD 為等腰

∴DF ＝AE＝3  3，CF ＝BE＝3 (3)∴BD＝  DF²+ BF ² 

＝

( ) 

(4)ABCD 面積＝ 

2 

1 （6＋12）×3  3 

＝27  3 （平方公分）

一等腰梯形 ABCD 中，AD// BC，AB＝ CD，

若AD＝2，BC ＝6，BD＝5，求此梯形面積。

解答：(1)作AE ^ BC 於 E，DF ^ BC 於 F (2)BE＝ CF ＝ 

2  2  6 - ＝2

∴BF ＝4 ∵BD＝5 ∴DF ＝3 (3)梯形 ABCD 面積＝ 

2 

1 （2＋6）×3

＝12（平方單位）

【範例三】 【練習三】

已知一梯形的上底為 5，下底為 7，求：

(1)此梯形的中線長

(2)此梯形對角線中點所連成的線段長 解答：(1)中線長＝ 

2 

1 （5＋7）＝6 (2)對角線中點連線段長＝ 

2 

1 （7－5）＝1

梯形一底長 10 公分，連接對角線中點的線段 長 4 公分，求另一底長

解答：設另一底長 x 公分，則  2 

1  x - 10 ＝4 ∴ x - 10 ＝8

x－10＝8，x＝18 或 x－10＝－8，x＝2 故另一底長 18 公分或 2 公分

【範例四】 【練習四】

如圖，等腰梯形 ABCD，AD// BC，AB＝15， 

BC ＝25， AC ^ AB，

求：(1)此梯形之高 (2)上底AD之長 (3) 梯形 ABCD 面積 (4)此梯形的中線長。

解答：(1)(i)作 AE ^ BC 於 E

∵ AB ＝15，BC ＝25 ∴AC ＝20 (ii)∴ AE ＝ 

25  20  15 ´

＝12

(2)(i)∵ AB ＝15， AE ＝12∴BE＝9 (ii) AD＝25－2×9＝7

(3)ABCD 面積＝ 

2 

1 （7＋25）×12＝192

(4)中線長＝ 

2 

1 （7＋25）＝16

如圖梯形 ABCD 中，AD// BC，E 為 CD 中點，

延長AE交 BC 的延長線於 F，若DABF 面積 為 36 平方公分，且其高為 9 公分，則：

(1)梯形 ABCD 面積為多少平方公分 (2)  AD＋ BC ＝？

解答：(1) ∵△AED@△EFC

∴ABCD 面積＝DABF 面積＝36 （平 方公分）

(2)36＝ 

2 

1 （AD＋ BC ）×9

∴AD＋ BC ＝8（公分） 

A  D 

B  C 

2  5 

6 

A  D 

B  C 

E  F 

A 

B  C 

D  15 

25 

A 

B  C 

D 

E 

F  H

【範例五】 【練習五】

已知梯形高 10 公尺，中線長 8 公尺，求其 面積。

解答：面積＝中線長×高

＝8×10

＝80（平方公尺）

已知：ABCD 為等腰梯形，AD// BC ，AB＝  CD ，E、F、G、H 為 AB、 BC 、CD 、DA中 點

求證：EFGH 為菱形 證明：(1)連接 AC 、BD 

(2)在△ABD 中

∵E、H 分別為AB、AD中點

∴EH ＝  2 

1 BD  同理 FG ＝  2  1 BD 

EF ＝ HG ＝  2  1 AC 

(3)∵ABCD 為等腰梯形

∴BD＝ AC 

(4)∴EF ＝ FG ＝ GH ＝HE  故 EFGH 為菱形 

A 

B  C 

H  D 

E 

F 

G 

A 

B  C 

H  D 

E 

F 

G

A 

B 

C  D 

菱形的定義與性質

1.菱形的定義：四邊形的四邊都等長。如右圖，四邊形 ABCD 中，AB＝AD＝ CB ＝ CD  則 ABCD 稱為菱形。

2.菱形的性質：

平行四邊形的判別為四邊形兩雙對邊相等，菱形依其定義為四邊都相等，所以菱形 是平行四邊形之ㄧ種特例，故平行四邊形的性質，菱形都具備。

【已知】菱形四個邊等長。

【求證】菱形為平行四邊形。

【證明】1.在△ABD 與△CBD 中。

∵四個邊等長。

∴ AD ＝ CD 、 AB ＝ CB 、 DB ＝ DB  則△ABD @ △CBD(SSS)

2.△ABD 與△CBD 皆為等腰三角形。

∴∠ABD＝∠CDB、∠ADB＝∠CBD(內錯角相等) Þ  AD // CB 、 AB // CD 

故可知菱形為平行四邊形。

菱形有下列六種性質，

其中（1）（2）（3）（4）項性質為平行四邊形與菱形皆有；（5）（6）項性質為菱形特有 性質，平行四邊形不一定有此性質。

（1）一對角線平分原平行四邊形為兩個全等三角形。

（2）兩雙對邊相等。

（3）兩雙對角相等。

（4）兩對角線互相平分。

（5）菱形任一對角線會平分其頂角。

（6）菱形的兩對角線互相垂直平分。

前四項性質前面有關平行四邊形已經證明，在此僅證明後兩項菱形特有性質。 

A 

B 

C 

D

A 

B 

C 

D  O 

A 

B 

C 

D  O 

（5）菱形任一對角線會平分其頂角

【已知】ABCD 為一菱形。

【求證】 AC 平分 Ð A 與  C Ð ，BD平分 Ð B 與 Ð D 。

【證明】在△ABC 與△ADC 中，

∵AB＝AD， BC ＝ DC ， AC ＝ AC ，

∴△ABC@△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，

即 AC 平分∠A 與∠C。 同理，BD平分∠B 與∠D。

（6）菱形的兩對角線互相垂直平分

【已知】在菱形 ABCD 中，O 為 AC 與BD的交點。

【求證】 AC ^ BD， AO ＝ CO ， BO ＝ DO 。

【證明】(1)在△ABO 與△CBO 中，

∵∠ABO＝∠CBO(由菱形任一對角線會平分其頂角) 且AB＝ BC ， BO ＝ BO ，

∴△ABO@△CBO(SAS) ∴∠AOB＝∠COB。

(2)∵∠AOB＋∠COB＝180 ⁰ ， ∴∠AOB＝∠COB＝90 ⁰ ，∴ AC ^ BD。 (3)由(1)知，△ABO@△CBO，∴ AO ＝ CO 。

(4)同理可證 BO ＝ DO 。

Note:(5)、(6)項性質，平行四邊形不一定成立。

菱形的判別：我們如果已經知道以下其中一項判別性質，我們就可以說此四邊形是菱形。

1.若四邊形的兩對角線互相垂直平分，則這個四邊形一定是菱形。

2.若四邊形的兩對角線分別平分其內角，則此四邊形一定是菱形。

接著我們一一來證明：

1.若四邊形的兩對角線互相垂直平分，則這個四邊形一定是菱形。

【已知】在四邊形 ABCD 中， AC ^ BD， AO ＝ CO ， BO ＝ DO 。

【求證】ABCD 為菱形。

【證明】(1)∵ AC 為BD的垂直平分線段，∴AB＝AD， CB ＝ CD  (2)∵BD為 AC 的垂直平分線段，∴BA＝ BC ，DA＝ DC  (3)由(1)與(2)得，AB＝AD＝ DC ＝ CB  即 ABCD 為菱形。 

A 

B 

C 

D

A 

B 

C 

D 

A 

B 

C 

D 

2.若四邊形的兩對角線分別平分其內角，則此四邊形一定是菱形。

【已知】在四邊形 ABCD 中， AC 平分 Ð A 與  C Ð ，BD平分 Ð B 與 Ð D 。

【求證】ABCD 為菱形。

【證明】(1)考慮△ABC 及△ADC，由 AC 平分∠A 與∠C，

∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA。

且 AC ＝ AC ，故△ABC@△ADC(ASA)

∴AB＝AD， BC ＝ CD 。

(2)同理可證AB＝ BC ，AD＝ CD 。

(3)由(1)與(2)可知，AB＝ BC ＝AD＝ CD ，∴ABCD 為菱形。

有關菱形的應用：

菱形的面積與周長的計算

l菱形的兩對角線長分別為 a 與 b，則菱形面積＝ ¹ 

2 ab 。 l菱形的兩對角線長分別為 a 與 b，則菱形周長＝2  a²+ b ²  。

【已知】在四邊形 ABCD 中， AB＝AD＝ CB ＝ CD 。

【求證】四邊形 ABCD 面積＝ ¹ 

2 ab，且四邊形 ABCD 周長＝2  a²+ b ²  。

【證明】∵四邊形 ABCD 為菱形且 O 為 AC 與BD的交點。

∴ AC ^ BD， AO ＝ CO ＝ ¹ 

2 a， BO ＝ DO ＝ ¹  2 b 四邊形 ABCD 面積＝△ABD＋△BCD

＝ ¹ 

2 × AO ×BD＋ ¹ 

2 × OC ×BD 

＝ ¹ 

2 × AC ×BD＝ ¹ 

2 × a × b 四邊形 ABCD 周長＝ AB＋AD＋ CB ＋ CD 

＝4AB＝4 

2 2 

2 2 

a b æ ö æ ö ç ÷ + ç ÷ è ø è ø

＝2  a²+ b ² 

A 

B 

C  a  D  b 

O

A 

B 

C 

D 

【範例】一菱形的兩對角線長分別為 10 公分及 24 公分，求此菱形的周長及面積。

【解答】（1）菱形面積＝ ¹ 

2 ab＝ ¹ 

2 ×10×24＝120（平方公分）

（2）菱形周長＝2  a²+ b ² ＝2  10²+ 24 ² ＝2×26＝52

【範例】菱形的邉長為 8 公分，有ㄧ內角為 60 ⁰ ，試求菱形的面積。

【解答】作AH ⊥ BC 於 H，

則△ABH 為 30 ⁰ 、60 ⁰ 、90 ⁰ 的直角三角形，

∵AB＝8 ∴AH ＝4  3 

∴ABCD 面積＝8×4  3 ＝32  3 （平方公分）

從菱形的性質，我們知道四邊都相等的四邊形是菱形，但若只有兩雙鄰邊相等則稱為鳶(箏) 形。如下圖。

鳶(箏)形的定義與性質

1.鳶(箏)形的定義:兩雙鄰邊分別等長的四邊形，稱為鳶(箏)形。

如圖，四邊形 ABCD 中，AB＝AD， CB ＝ CD ，則 ABCD 稱為鳶形。

(Note:  AB＝AD ¹ CB ＝ CD )

2.鳶(箏)形的性質:鳶形的對角線互相垂直，且其一對角線被另一對角線平分。

【已知】在四邊形 ABCD 中， AB＝AD， CB ＝ CD 。

【求證】 AC ^ BD且 BO ＝ DO 。

【證明】(1)∵AB＝AD，∴A 在BD垂直平分線上。

(2)∵ CB ＝ CD ，∴C 在BD的垂直平分線上。

(3)由(1)與(2)可知， AC 為BD的垂直平分線段，

∴ AC ^ BD且 BO ＝ DO 。 

A 

B 

C 

D  A 

B 

C  D 

A 

B 

C  O  D  8 

60 ⁰  A 

B  C 

D 

H

1  2 

3  4 

5  6 

A 

B  D 

E  F 

M  N 

C  A 

B  D 

E  F 

M  N 

C  o 

A 

B 

C  D 

P  Q 

R  S 

O 

【範例】

【已知】AB＝AD， BC ＝ DC ，E、F 分別為AB，AD的中點。

【求證】(1) AEOF 為菱形 (2)OMCN 為鳶形。

【證明】(1)（i）∵AB＝AD， BC ＝ DC 

∴ABCD 為鳶形 ∴ AC ^ BD  (ii)在△AOB 中， Ð AOB＝90 ⁰ ，

且AE＝BE  ∴AE＝ OE ＝  2  1 AB 

同理AF ＝ OF ＝  2  1 AD 

（iii）AB＝AD 

∴AE＝ EO ＝ FO ＝AF  ∴AEOF 為菱形 (2)（i） ∴ Ð 1＝ Ð 2，即 Ð 3＝ Ð 4

（ii）∵ABCD 為鳶形，∴△ABC@△ADC

∴ Ð 5＝ Ð 6

（iii）又 OC ＝ OC ，∴△OMC@△ONC(ASA)

∴ OM ＝ ON ， MC ＝ NC ，∴OMCN 為鳶形

【範例】ABCD 中，P、Q、R、S 分別為 AB、 BC 、 CD 、DA的中點，且AB＝8 公 分， Ð A＝60 ⁰ ，求（1） B D （2） AC （3）矩形 PQRS 的周長及面積。

【解說】(1)∵△AOD 為 30 ⁰ 、60 ⁰ 、90 ⁰ 的直角三角形，且 A B ＝8

∴  B O  ＝4， AO ＝4  3

Þ BD＝8， AC ＝8  3 

∴ SR ＝  2 

1 AC ＝4  3 ， 

SP ＝  2 

1 BD＝4

(2)∴PQRS 周長＝8＋8  3 

PQRS 面積＝ SR × SP ＝4  3 ×4＝16  3 （平方公分）

A 

B 

C  D 

P  Q 

R  S 

O 

【範例一】 【練習一】

ABCD 為菱形，若 OB ＝3 公分，ABCD 面積為 24 平方公分，求此菱形周長。

解答：(1)∵菱形的對角線會互相垂直平分

∴ BO ＝ ¹  2 BD 

∴BD＝2 BO ＝2×3＝6 (2)面積＝ 

2 

1 BD× AC 

24＝ 2 

1 ×6× AC  ∴ AC ＝8

(3)周長＝2  BD²+ AC ² 

＝2  6²+ 8 ² ＝2×10＝20 （公分）

一菱形的兩對角線長分別為 12 公分及 16 公 分，求此菱形的周長及面積。

解答：(1)周長＝2  12²+ 16 ² ＝2×20

＝40（公分）

(2)面積＝ 

2 

1 ×12×16＝96（平方公分）

【範例二】 【練習二】

ABCD 中，P、Q、R、S 分別為 AB、 BC 、CD 、  DA的中點，且AD＝10 公分， Ð A＝60 ⁰ ， 求矩形 PQRS 的面積。

解答：(1)設 AC 、BD相交於 O

(2) ∵△AOD 為 30 ⁰ 、60 ⁰ 、90 ⁰ 的直角 三角形，且AD＝10

∴ OD ＝5， AO ＝5  3  即BD＝10， AC ＝10  3 

∴ SR ＝  2 

1 AC ＝5  3 ， 

SP ＝  2 

1 BD＝5

(3) ∴PQRS 面積＝ SR × SP 

＝5  3 ×5＝25  3 （平方公分）

已知菱形的一對角線長 7 公分，面積為 28 平 方公分，求此菱形四邊中點連線，所形成新 四邊形的周長。

解答：設菱形另一對角線長 x 公分，

則 2 

1 ×7×x＝28

∴x＝8

新四邊形的周長＝兩對角線長之和

＝7＋8＝15（公分）

【範例三】 【練習三】

已知：ABCD 為平行四邊形， EG ^ HF  已知：△ABC 中，Ð A＝90 ⁰ ，AD ^ BC ，BF 

A 

B 

C  D  O

A 

B  C 

D 

E 

F 

G  H 

1  3 

4  2  O 

A 

B 

C 

D  E 

F 

求證：EFGH 為菱形

證明：(1) ∵ABCD 為平行四邊形

∴ AO ＝ CO ， BO ＝ DO  又AD// BC  ∴ Ð 1＝ Ð 2 (2)在△AOH 與△COF 中

∵ AO ＝ CO

Ð 1＝ Ð 2， Ð 3＝ Ð 4

∴△AOH@△COF(ASA)

∴ OH ＝ OF ，同理 OE ＝ OG  (3) ∴EFGH 為菱形

（對角線互相垂直平分）

平分 Ð ABC，FH ^ BC 

求證：AEHF 為菱形

證明：(1)在△ABF 與△DBE 中，

∵ Ð 1＝ Ð 2，Ð A＝ Ð BDE＝90 ⁰ ，

∴ Ð 3＝ Ð AFE (2)又 Ð 3＝ Ð AEF

∴ Ð AEF＝ Ð AFE ∴AE＝AF  (3) ∵ Ð 1＝ Ð 2

∴AF ＝FH  ∴AE＝FH  (4)又AD ^ BC ，FH ^ BC 

∴AE//FH 

(5) ∴AEHF 為平行四邊形

且AE＝AF  ∴AEHF 為菱形

【範例四】 【練習四】

已知：線段 a 和線段 b

求作：以 a 和 b 為兩對角線的菱形

作法：(1)作PQ＝a

(2)作PQ的中垂線XY 交PQ於 O (3)以 O 為圓心，在 XY 上取 

OR ＝ OS ＝  2  1 b

(4)連接PR、RQ、QS、SP ，則 PSQR 即為所求。

已知：ABCD 為平行四邊形，AE ^ BC ，  CF ^ AB，AE＝ CF 

求證：ABCD 為菱形

說明：(1)  AE ^ BC ， CF ^ AB 

∴四邊形 ABCD 面積＝ BC ×AE 

＝AB× CF  (2) ∵AE＝ CF  ∴ BC ＝AB  (3) ∴ABCD 為菱形

【範例五】 【練習五】

已知：ABCD 為矩形，EF 垂直平分BD 

求證：(1)BEDF 為菱形 (2)若 AB＝4，BC ＝ 8，求菱形 BEDF 面積

證明：(1)①∵EF 垂直平分BD 

已知： 四邊形 ABCD 中 AC ^ BD，AC 平分BD  求證：ABCD 為鳶形 

a 

b 

X 

Y  P 

R 

Q  O 

S 

A 

B  C 

D  H 

E  F 

1 2  3 

A 

B 

C  A  D 

B  C 

E  D 

F  O  1 

2

∴ BO ＝ DO

Ð BOF＝ Ð EOD＝90 ⁰ 

②∵AD//BC  ∴ Ð 1＝ Ð 2

③∴△BOF@△DOE(ASA)

∴ OE ＝ OF 

∴BEDF 為菱形

(2)設BF ＝x， CF ＝(8－x)

∴DF ² ＝ CF ² ＋ CD ² 

∴x ² ＝(8－x)  ² ＋4 ² Þ x＝5

∴BEDF 面積＝5×4＝20 （平方單位）

證明：(1) ∵ AC ^ BD， AC 平分BD 

∴ AC 為BD的垂直平分線 (2) ∴由垂直平分線性質知： 

AB＝AD， BC ＝ DC 

∴ABCD 為鳶形