勾股定理證明-G254
【作輔助圖】
1. 分別以直角三角形ABC三邊 AB 、 AC 、 BC 為正方形的邊，分別向內作正方形 ABDE ，向外作正方形ACFG 及正方形BCHI 。
2. 接著延伸 GF 及IH 交於 J ，延伸HI 及 AB 交於 K 。
A B
C
D E
F
G
H
I J
K L
M
【求證過程】
作完輔助圖後不難發現五組全等的直角三角形，在我們給出證明之後，就可以將 大正方形拆成兩個小正方形面積之和，也就證明了畢氏定理關係式。
1. 不難發現AEG和 ABC 是全等的，以下我們給出證明：
因為
AB AE(正方形 ABDE 兩邊), 且
AC AG(正方形 ACFG 兩邊), 且
90 ,
AGE ACB
所以
ABC AEG
(RHS 全等).
2. 接著也不難發現 BDL 和 DBK 全等，以下給出證明：
因為
DBL BDK
(平行的內錯角相等), 且
90 ,
BDL DBK
以及
, DBBD 所以
BDL DBK
(ASA 全等).
3. 再來考慮BCM和 BIK 全等的，以下是證明：
因為
BCBI (正方形 BCHI 的邊), 且
90 ,
BCM BIK
又因為
90 ,
CBM MBI MBI IBK
所以
, CBM IBK
因此
BCM BIK
(AAS 全等).
4. 其中EDJ和 DBI 亦為全等的直角三角形，以下給出證明：
因為
EDDB(正方形 ABDE 的邊), 且
90 ,
EJD DIB
且因為
90 ,
EDJ BDI EDJ DEJ
所以
, BDI DEJ
因此
EDJ DBI
(AAS 全等).
5. 最後一組我們可以看出 ELF 和 DMH 全等，以下給出證明：
因為
( )
, EF EJ FJ
DI HI EDJ DBI DH
且
( ),
LEF MDH EDJ DBI
又
90 ,
EFL DHM
因此
ELF DMH
(AAS 全等).
6. 利用以上五組三角形全等，再透過面積等式就可以推導出以下關係式：
, ABDE ABC BDL ACLE
AGE DBK ACLE
AGE DMH BIK HMBI ACLE AGE EFL ACLE CMB HMBI
ACFG BCHI
此即為畢氏定理
2 2 2
. AB AC BC
【註與心得】
1. 來源：由 Fred. W. Martin，印第安納州南本德中心中學的學生給出的。收錄在 Loomis 的《勾股定理》中幾何篇的編號第 254 號
2. 心得：先選擇性地以直角三角形三個邊作正方形，再以移動全等三角形的方式從大 正方形去拼出兩個小正方形，對國、高中生來說都是容易看懂的。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：
S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。
以及
N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積 公式。
此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。
