勾股定理證明-G099
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG 。
2. 連接 HG(於證明過程第 1 點說明 H G F 共線)。
3. 過 C 作 CL // AH ，且與 GF 交於 L 點。
4. 連接 EF ，且與 BD 交於 N 點。
5. 連接 KL 。
A B
C
D E
F
G
H K
M
L
N
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的增補與移除關係後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 AHG 與三角形 ABC 全等，再得到 H G F共線：
因為 AH AB, AG AC，且GAH 90 BAG CAB，所以 AHG ABC
(SAS 全等).
可得到HGA BCA90，又FGA90，所以HGA FGA180，故
H G F共線。
2. 先證明三角形 HKL 與三角形 ABC 全等，再得到HLK90：
由作圖的平行關係可知 LHK CAB，四邊形 ACLH 為平行四邊形，因此HL AC, 又 HK AB，所以
HKL ABC
(SAS 全等).
可得到
90 HLK
. 3. 證明三角形 CLF 與三角形 HKL 全等：
因為 HL AC CF, HK AH CL，且HLK CFL90，所以 CLF HKL
(RHS 全等).
4. 證明四邊形 CEFL 與四邊形 BNFM 皆為平行四邊形，並得到三角形 HKL 與三角形 FEC 面積相等，三角形 BNF 與三角形 BMF 面積相等：
因為 CLF HKL，且 HKL ABC ，所以 CLF ABC，可得到LF BCCE. 又 CE // LF ，故四邊形 CEFL 為平行四邊形，且 FEC 面積 CLF面積，因此
HKL FEC
面積 面積.
同理， BN // MF , BM // NF ，故
四邊形 BNFM 為平行四邊形，且BNF面積 BMF面積 . 5. 證明三角形 LKM 與三角形 DEN 全等：
因為 LMK BMF(對頂角相等), DNE BNF(對頂角相等)，且四邊形 BNFM 為平行四邊形，故LMK BMF BNF DNE. 又因為 LK BC DE,
90 KLM EDN
，所以
LKM DEN
(AAS 全等).
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
L DEN
ABKH ABMG AHG HKL KM
ABMG ABC FEC
ABMG ABC N
B
BCE F
N
正方形 面積＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積＋ 面積
＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積＋ 面積 ＝四邊形 面積＋ 面積＋(四邊形 面積＋
面積
ABMG ABC B
DEN
BM DE
CEN F
A
N
BM
BMG ABC F
)＋ 面積
＝四邊形 面積＋ 面積＋(四邊形 面積＋
面積)＋ 面積
＝(四邊形 面積＋ 面積＋ 面積)＋(四邊形 BCEN DEN
ACFG BCED
面積＋ 面積)
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB AC BC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 268.
2. 心得：此題證明的關鍵在於證明三角形 HKL 與三角形 FEC 面積相等，三角形 BNF 與三角形 BMF 面積相等，以及三角形 LKM 與三角形 DEN 全等，進一步透 過圖形的切割與平移，推得正方形 ABKH 的面積會等於正方形 ACFG 與正方 形 BCED 的面積和。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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