一、相似矩阵的基本概念

一、相似矩阵的基本概念 二、矩阵的相似对角化

5.2

.

1 5

3

0 5

3

0 6

4

A10

A

求

设矩阵 例



























一、相似矩阵的基本概念























 













 















 



 ^

1 2

1

0 1

1

0 2

1 1

0 0

0 1

0

0 0

2 1

0 1

0 1

1

0 2

1

P 1

P

A 

解

1 10

1 1

1 1

10  P P P P P P P P  P P

A   _   

 























 













 















  



1 2

1

0 1

1

0 2

1 1

0 0

0 1

0

0 0

2 1

0 1

0 1

1

0 2

1 ¹⁰

? .

1 _{什么样的矩阵有这样的 与}

问题： P

?

? .

2 p   

一 . 矩阵相似的定义与性质

使 矩阵

阶矩阵，如果存在可逆 都是

与 设

定义 A B n P ,

B AP

P^1 

.

~ B A

B

A与 相似，记为 则称

简单性质：

 

 

 

 

证 ^{A  PQCQ1P1  DCD1}





定理 1 相似矩阵有相同的特征值 . .

,

~ B B P ¹AP

A 则  ^

设 证





P

AP P

I B

I





















1

1

P A I

P 

 ^1  A I 

 

思考：相似矩阵有相同的行列式？

二 . 矩阵的相似对角化























n

A







 

2 1

~

2 设矩阵

定理

2 .

1 ， ， 是 的全部特征值 则   __n A

n

I

























 

2 1

证：





 



 1 2 

2 .

1  n



_{的全部特征值是： ， ，，}



， 的特征值相同

与

 A

2 .

1 n

A_{的全部特征值是：} _， _，，



定理 3 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 .

： 个线性无关的特征向量

有 设

充分性

证： A n

Pn

P

P₁ , ₂ , , ^AP_i ^{ }_i ^p_i









P  1 2  令























n





 

2 1



 

 P P^ AP

AP ¹

则

























n

A







 

2 1

~























 

n

AP P







 

2 1

设 1

必要性

 P AP  则





P  1 2  设



 



则





P

AP_i  _{i i}  1 ,2, ,

. ,

, , ₂

1 P P 是 A的 n 个线性无关的特征向量

P  _n



定理 4 矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无 关 .证：设 A₁  ₁₁, A₂  ₂₂,, A_m  _m_m ,

2 .

1， ， ， 互不相同

且   _ _m

 

. 0 2 _{1 1}  _{2 2} 

 k  k 

m 时，设

当则 A





 

2 0

2 2 1

1

1  

 k   k  

 

 

又由式

   





,

2 0

2

1    

 _且

  k₂  0 ,同理，k₁  0 , .

, ₂

1  线性无关





2 .

1， ， ， 线性无关

由归纳法可证：  _ _m

推论 1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征 根，则 A 与对角矩阵相似 .

的互异特征值，

是

，

， 设

证： ₁ _2， _n A

， 线性无关

，

， 则

是它们对应的特征向量

， n

n

















2 1

2

1, , ,

与对角矩阵相似 .

 A

的不同特征值，

是矩阵 设

推论2 ₁,₂,,_k A

， 的线性无关特征向量

是 _i

ir i

i   _i 

 ₁, ₂,,

. ,

, ,

, ₁

1

11， ， ₁ 线性无关

则  _  _{r } _{k } _krk

推论 3 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似

 

重特征值，则 的

是

若   0

 _i A k_i _i I A X 个解向量组成 .

基础解系由 k_i





R   

 

， 的全部互异特征值

是

，

，

， 设

分析： ₁ _{2 } _r A

2 .

1 k k n

k    _r  则

例 1 设矩阵 , 1 6

3

0 5

3

0 6

4



























A 求 A¹⁰.







1 6

3

0 5

3

0 6

4



















 









  ^.

1 ,

2

1  





 



















 

























0 0

0

1 1

0

1 0

1 3

6 3

0 3

3

0 6

6

1I A



 

















 













  





0 0

0

0 0

0

0 2

1 0

6 3

0 6

3

0 6

3

2I A



3 2

1 2x 0x

x   









2

T

T 



 



 















  





1 0

1

0 1

1

0 2

1

3 2

1  

 令 P



 













 

 

1 1

2

1AP 则 P

1

 P P

A 

1 10

10  P P

A 























 





























  



1 2

1

0 1

1

0 2

1 1

1 1024

1 0

1

0 1

1

0 2

1















  



1 2046

1023

0 2047

1023

0 2046

1022

例 2 设矩阵

























 a

a a

a

a a

a

a a

a A















能否与对角矩阵相似 . 并判断

， 的特征值与特征向量

求

A A

a a

a

a a

a

a a

a A

I











































 解

a a

a

a a

a

na na

na













































 

a a

a

a a

na a











 





 













 1 1

1







0 0

1 1

1

 na







  na ⁿ





0 , ₂

1  na   n  重







 

 

 















































































0 0 0

1 1

1

2 1

 















xn

x x

a n

a a

a a

n a

a a

a n





1  







1 1

1 k  k 

 _{对应的特征向量为 ：}

































































0 0

0

0 0

0

1 1

1

2





























a a

a

a a

a

a a

a A

 I

2 0

1  x   x_n 

x 





2

 T



 





3

 T



 





n   











能与对角矩阵相似 .

， 个线性无关的特征向量 有n

A

例 3 下列矩阵能否与对角矩阵相似 .





















































 

















2 8

4

0 1

4

0 1

3

1 1

2

2 0

2

2 1

3 1

2 2

2 1

2

2 2

1

C

B A









1 2

2

2 1

2

2 2

1























   







I A 解

A ~ diag ( 1 , -1 , 3 )

1 1

2

2 2

2 1

3



















I B ^{ }





 

1 ,

0 ₂

1    二重





















  

 

























0 0

0

0 0

0

2 1 1 1

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2I B



2 , 1

3 2

1 x x

x   ₂ ^













R  又

与对角矩阵相似 .

 B

2 8

4

0 1

4

0 1

3





















I C ^



 







,

1 ₂

1    







R 

不能与对角矩阵相似 .

 C

例 4 设

.

~ 0

0 1

1

1 0

0

 为对角阵

















 x y A

求 x 与 y 应满足的条件 .

) 1 (

) 1 (

0 1

1

1 0

2 

















  







I A x y

解：

. 1 (

1 ₂

1    

 _二重），

向量 有两个线性无关的特征

对角阵 ₁

~  

A





























1 0

1

0

1 0

1

1E A x y



























0 0

0

0 0

1 0

1

y x

0 1

)

( ₁E  A    x  y  R 

.

 0

 y 即 x

例 5 设

0 .

~ 0 0

0

,

~ ,

~



 



 



 





D C

B A

D C

B

A 证明：

D C

B

A ~ , ~

： 证

使 可逆矩阵 P, Q,





D CQ

Q B

AP

P^1  , ^1 



 



 



 







 







 









D C

Q P

B A

Q P

0

0 0

0 0

0 0

0

1 1

0 . 0 ~









 A C

例 6 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I － ^{A ,I} － 3A 均不可逆 . 证明 ：

 

 

 

证 

 

 I A I A

.

1  1 是 A特征值

 





 0 3I A

由 ₂  3是 A的特征值 . , 3 0

0 1 3

3 1

3  ³     

 A I A I A

I

3 . 1

3  是 A的特征值

 

.

, 故 可逆

的特征值均不为零 A

A

 

. 3 1 3

1

~

, 2



















 



 A 

A的特征值都是单特征值

