可分离变量方程

~常微分方程~

可分离变量方程





例1.求解

1 2

yy y

解：    





2

d d 1

1

y y x y

y

   



2

d d

1

y y x

y

  





1 y2 x C

     





    为方程的通解

1 .

验证y   是方程的奇解

~常微分方程~

可分离变量方程

2

1 _x 1 0 . xy   y y _ 

求 满足

例 .2 的特解

2

d d 1

y x

y x

  解：

2

d d

1

y x

y x

 





1 2

ln y y ln x C

    

1 0

y x_ 

由 C  0 1 2

y y x

    

2 1

1 y y

    x

两式相减， 1 1 y 2 x

x

 

     得

~常微分方程~

齐次方程

 

2 2

0 . xy  y x  y x  例1.求解

2

1 2 ,

y y

y  x   x

解： y ,

x  u

设 y  ux ,

y xu u

   代入得xu u u=  1 u²

2

d d 1

u = x

u x

 



1 2

ln u u = ln x C

    

2

1 2

ln y y = ln .

x C

x x 为方程通解

    

~常微分方程~

齐次方程

1 x y .

y x y

 

   例2.求解

, x y  u

解：令  y 1 u 1 1 u

u u

 

  代入得，

2 1 u u

  

1 2 1 2 2ln

u u x C

    

 

d d 2 1 0 2 1

u u x u

 u   

 d d

2 1

u u x

 u 









 

 

2 ln .

x y x y x C

       为方程的通解 1 .

y  x  奇解为

~常微分方程~

换元法

3 1. x y

y x y 求解

例.    

 

1 1 1

2 2 2

a x b y c , y a x b y c 一般地：    

 

1= 2=0, .

c c

1)如果 齐次方程

1 1

2 2

= = ,

a b a b 

2)如果

 





a x b y c , y a x b y c

  

   

2 2 ,

a x b y u 设  

1 1 1

2 2 2

0 0, a x b y c

a x b y c 3)如果   

   



0

0

x x , y y 解为 

 

0

0

x x y y



设  

  



dy d dx d



  

 

 

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 1

a b a x b y c , a b a x b y c

 

 

   

    

2

2 2

1 a

y u

b b

   ¹

2

u c u c

 

 

~常微分方程~

换元法

3 1. x y

y x y 求解

例.    

  3 0 1 0, x y

x y

解.   

   



0

0

1 2, x

解为y 

 



1 2, x y



设  

  



= ,

dy d dx d

  

  

  

  = ,u

设 =u,

 

=1 u,

u u

方程化为  



1

=1 u,

u u

  ^u

 

 1 2

= 1 u

u u

  ^

  ²

1 1

1 u =

du d C

u 



  









1 1

arctanu 2ln u = ln  C

   

2 1 2 2 1

1 2 1 1 1

arctan y ln y = ln

x   x   x C为方程的通解

         

~常微分方程~

换元法





xy y y x y

求

例. 解     ln ,

xy y y xy 解：   

 

 

= ,

设xy u u ln ,

u u

  x ln

du dx

u u x

 

ln

du dx

u u x







ln lnu ln x C

  

ln lnxy ln x C为方程通解.

  

~常微分方程~

一阶线性微分方程

2 ^x .

xy  y x e 求

例1. 方程 的通解

1 ^x,

y y xe

  x  解：

d d

( ) ( ) d

( )

p x x p x x

y e C q x e^ x

   



( ) 1 , ( ) ^x p x q x xe

 x 

1 1

d d

x xd

x x x

e C xe e^ x

   





1d x C xex x

x

 

  







y  x C  e 故通解为

~常微分方程~

一阶线性微分方程

2 _y .

y y

x y e

   求

例2. 方程 的通解

d 1

dx ^y, x ye y  y  解：

d d

( ) ( ) d

p y y ( ) p y y

x e C q y e^ y

   



1 1

d d

d

y y

y y y

e C ye e y

  

 

   

 





1d y C yey y

y

 

  







x  y C e 故通解为

~常微分方程~

一阶线性微分方程

%

%

%.

一个有进出两个水嘴的圆柱形大桶有含物质A的 浓度为50 的水溶液b升，现同时打开进出两水嘴，

让进水嘴流入大桶中含物质A浓度为10 的水溶液，

此时进出两水嘴流速均为a升/分，问多长时间大桶 浓度为20

例.

0 ,

t t t y

用 表示时间， 时起始，时间 时桶

解：  内浓度为

,

t t y

给 一个增量，相应地得 的一个增量

t t t

y y _ y

   by a10% t ay t b y

   

 

10

a ay

y t

b

    

10

dy a a

dt b y b

   

~常微分方程~

一阶线性微分方程

10

dy a a

dt b y b

   





10

a a

dt dt

b a b

y e C e dt

b

  

 

    





1 10

a a

t t

b b

e^ C e 

   

 

0

1 2, y t

条件   2 5 , 代入C 

2 1 5 10

at

y e^b

  

20 1

%=5

令y  ， b ln .4 t a

得 

%

%

%.

一个有进出两个水 嘴的圆柱形大桶有含物 质A的浓度为50 的水 溶液b升，现同时打开 进出两水嘴，让进水嘴 流入大桶中含物质A浓 度为10 的水溶液，此 时进出两水嘴流速均为 a升/分，问多长时间大 桶浓度为20

例.

~常微分方程~

伯努利方程

2 2

y .

y x y

  x  求方程

例. 的通解

2 1 1 2

y y y x

x

    

解：

 

x

  

   

 

x

  

   

d d

1 ^{p x( ) x} ( ) ^{p x( ) x}d

y^ e C q x e^ x

   



1 1

d d

2 d

x x

x x

e^ C x e x

   





1 3

d

C x x

x  

  



1 1 4

C 4 x x

 

   

1 1 1 4

y C 4 x

x

     故通解为

~常微分方程~

全微分方程

2

x y .

y x y

  

例1.求方程  的通解





^

^

解：

P Q 1

y x

 

   

 



 ^{ }

0^x x 0 dx 0^y y x dy

 

即

方程为全微分方程.

  ^{ }

 

  ₂

0 0 , ,

x y x  y dx y  x dy C



通解为

3 2

1 1 3 2

= x  y  xy C

3 2

1 1

3 x  2 y  xy C为方程的通解.

~常微分方程~

全微分方程

 

2 ln 0 .

y dx  xy  y dy 

例2.求方程 的通解

2, ln

P  y Q  xy y

解： P 2 , Q .

y y

y x

 

  

 

 

0 0

ln y .

ydx x dy y

y

 

    

 

方程化为

 

 

0 1 , ,

ln

x y y

ydx x dy C

y

 

   

 



通解为

0 1

ln

x y y

dx x dy C

y

 

    

 

 

即 1 ²

2ln .

xy y C

   为通解

1 .

Q P

x y P y

  

      

 

u y e 故

1 dy

e y



  1

y

此时化为全微分方程.

  

   

 

  

   

  .

P Q

Q x y x

Q P

P y x y

为 的函数 为 的函数

~常微分方程~

可降阶的微分方程

2 ^x .

xy y  x e 求方程

例. 的通解

, y  u

解：令 方程化为 1 x

u u xe

  x 

d d

1 d

( ) ( )

( )

p x x p x x

u e C q x e^ x

   



1 1

d d

1 d

x x

x x x

e C xe e^ x

   





1

y C x xex

  

1 d ^xd

y C x x xe x

 





2

1 2

1 2

x x

C x xe e C

   

3

1 2 3

1 2

6

x x

y  C x  xe  e C x C 故通解为

~常微分方程~

可降阶的微分方程

1 2

.( )

( ) .

y a

a

一艘走私船在原点处，沿 轴以匀速 行驶，又有 一缉私船在(-4,0)点处同时以匀速2 追赶走私船，其 方向始终指向走私船 求缉私船运行的轨迹方程；

问经过多长时间缉私船能追上 例

走私船 .

0

设t 时两船在初

解：  始位置，

x ^{O x}

y

4

at





t at

经过时间 ，走私船走到



 



缉私船到 点  ^则





 

Y  y  y X  x





方程过 点

at  y xy

 

2

2at ^x4 1 y dx

 





^{ }

~常微分方程~

可降阶的微分方程

1 2

.( )

( ) .

y a

a

一艘走私船在原点处，沿 轴以匀速 行驶，又有 一缉私船在(-4,0)点处同时以匀速2 追赶走私船，其 方向始终指向走私船 求缉私船运行的轨迹方程；

问经过多长时间缉私船能追上 例

走私船 .

x ^{O x}

y

4

at

 

2 y xy ^x 1 y dx

  

  



2xy 1 y 2

求导，-     满足 y _x4 0, y_x4  0 ,

y u

设   化为2xu 1u²,

2

1 1 2

du dx,

u x

  









^{ }

ln u u ln x C,

      

易见 单增，y

4 4 0

x x

u y

由 _   _ 

~常微分方程~

可降阶的微分方程

1 2

.( )

( ) .

y a

a

一艘走私船在原点处，沿 轴以匀速 行驶，又有 一缉私船在(-4,0)点处同时以匀速2 追赶走私船，其 方向始终指向走私船 求缉私船运行的轨迹方程；

问经过多长时间缉私船能追上 例

走私船 .

x ^{O x}

y

4

at 2

ln

C  u 1 u^{2 2}

    x

 ²

1 2

1 u u x

 

  

2 1

1 u u 2 x

    

1 2 1

2 2

u y x

x

两式相减，        

 

 

1 8

6 2 3

y x x

     

0 8 , 3

x y

令   at 8 t 3

  a

~常微分方程~

可降阶的微分方程

( , )

.

P x y PQ

Q P x

x

在上半平面求一条凹的曲线，要求曲线上任一点 处曲率与该点处法线段 的长度的倒数相等，

（ 是 点法线与 轴交点），且在曲线（1,1）点处切 线与

例

轴平行 .

 

P Y y 1 X x

解： 点处法线    y  ，



O Q x

y

P





x Q x yy

与 轴交点  

2 2 2

PQ  y y  y  y 1 y²





( , ) y

P x y K

y 点处曲率 



 





y = 由题意， y 



1 2

y  y

1 2, yy y

  

1 1, 1 0

x x

y y

满足 _   _ 

~常微分方程~

可降阶的微分方程

2

1 1

1

1, 0

x x

yy y

y y

转化为求方程 的特解

 

    

   

 ,

y u

令   d du, y u

  y d ²

d 1

yu u u

y   方程化为

2

d d 1

u u y

u y

 









2ln u ln y C

   

2

1 u C y1 ,

   由x 1时，y 1,u  0, C₁ 1

2 1

u y y

    

2

d d

1

y x

y

  



2

d d

1

y x

y

  





2

1 3 ^x,

y y C e^

    由x 1时，y 1, ¹ C3 e

 

 ¹

2 1 ^x ,

y y e^{ }

     y  y²  1 e ^x1,





1 ^{x x} . y  e ^ e ^ 故方程的解

~常微分方程~

线性微分方程解的结构

 

1 2 3

1 2

, ,

( ) ( ) ( ) ,

. y y y

y p x y q x y f x c c 设线性无关的函数 都是二阶非齐次

线性方程 的解，

是任意常数，则该非齐次方程 例.

的通解是

  

1 1 2 2 3

. ;

A c y c y  y B c y. 1 1 c y2 2 





 

1 1 2 2 1 1 2 3

. ;

C c y c y  c c y D c y. 1 1 c y2 2 





分析： 齐次方程

1 3

y  y 是齐次方程，y₂  y 是齐次方程₃

+ =

齐次方程 非齐次方程 非齐次方程

   

1 1 3 2 2 3 3;

y  c y  y c y  y  y

~常微分方程~

线性微分方程解的结构

2 2

1 , 2 , 3

.

x x x x x x x

y xe e y xe e y xe e e

已知

为某二阶线性常系数非齐次方程特解，求 方 .

此 程

例     ^    ^

3 1

y y e x是齐次方程

解：   ^ 的特解,









y ay by f x 设该二阶方程为   







特征方程为    ²   2 0 2 ( )

y y y f x 故方程为   





y  y  y  xe 也是非齐次方程的特解,x









^

^

^

^

2

( ) ^{x x}

f x e xe

  

2 ^x 2 ^x

y y y e xe

故方程为    

~常微分方程~

常系数齐次线性微分方程

3 2 0 . y y y 

例1.求方程 的通解

2+3 2 0=

  

： 征方程 解 特

1 1, 2 2

      特征根为

2

1 2

x x

y  C e^ C e^ 故通解为

2 0 .

y y y  求

2 方

例 . 程 的通解

2+2 1 0=

  

： 征方程 解 特

1 2 1

     特征根为

1 2

x x

y  C e^ C xe^ 故通解为

~常微分方程~

常系数齐次线性微分方程

0 . y  y 

求

例3. 方程 的通解

2+ =1 0



解：特征方程

1 i, 2 i

     特征根为

1cos 2 sin

y  C x C x 故通解为

4 2 0

( ) .

y  y y 

例4.求方程 的通解

4 3 2

2 0

+ =

  

特征方 解： 程

1 2 0,

    特征根为

 ^{1 2}  ^{1 2}

1 2 3 4

x x

y  C C x C e ^{ } C e ^{ } 故通解为

 

2 2

2 1 0

+ =

  

 

3 1 2, 4 1 2

       

~常微分方程~

常系数齐次线性微分方程

 

0

+

( )

, lim ( ) .

x

y y x y by cy

b c y x

设 是微分方程 的

例 解，

其中 为正常 ，则 .

数  

 

   

0 0

. ( ), ( ) , ;

A 与解的初值y y 有关，与b c无关 0 0

. ( ), ( ) , ;

B 与解的初值y y 及b c都无关 0 0

. ( ), ( ) ;

C 与解的初值y y 及 无关，只与 有关c b 0 0

. ( ), ( ) .

D 与解的初值y y 及 无关，只与 有关b c

1)若特征方程有两

分析： 不同实根

2 4

= b 2b c

 ^{  }

2 4 2 4

2 2

1 2

( )=

b b c b b c

x x

y x C e C e

     

 0

lim y x( )=



~常微分方程~

常系数齐次线性微分方程

 

0

+

( )

, lim ( ) .

x

y y x y by cy

b c y x

设 是微分方程 的

例 解，

其中 为正常 ，则 .

数  

 

   

0 0

. ( ), ( ) , ;

A 与解的初值y y 有关，与b c无关 0 0

. ( ), ( ) , ;

B 与解的初值y y 及b c都无关 0 0

. ( ), ( ) ;

C 与解的初值y y 及 无关，只与 有关c b 0 0

. ( ), ( ) .

D 与解的初值y y 及 无关，只与 有关b c

2)若特征方程有两

分析： 相同实根

2 4

= b 2b c

 ^{  }

2 2

1 2

( )=

b b

x x

y x C e C xe

 

 lim 2

bx

x xe^

 

=  2b

lim _b

x x

x

   0 lim ( ) 0.

x y x

  

~常微分方程~

常系数齐次线性微分方程

 

0

+

( )

, lim ( ) .

x

y y x y by cy

b c y x

设 是微分方程 的

例 解，

其中 为正常 ，则 .

数  

 

   

0 0

. ( ), ( ) , ;

A 与解的初值y y 有关，与b c无关 0 0

. ( ), ( ) , ;

B 与解的初值y y 及b c都无关 0 0

. ( ), ( ) ;

C 与解的初值y y 及 无关，只与 有关c b 0 0

. ( ), ( ) .

D 与解的初值y y 及 无关，只与 有关b c

3)若特征方程

分析： 有两复根

2 4

= b 2b c

 ^{  }

2 2

2 2

1 2

4 4

2 2

( )= cos sin

b b

x c b x c b

y x C e x C e x

    

4 2

=  b i 2 c b

0 lim y x( ) .

 

~常微分方程~

常系数非齐次线性微分方程

 

5 6 1 ^x . y y y  x  e

求方程

例 .1 的特解

2 5 6 0=

   

解：特征方程 ，特征根为₁  2,₂  3

 

* x

y  ax  b e 故设特解为

2 3 2^x . y y  x   e

求方程

例 .2 的特解

2+ =0

 

程

解：特征方 ，特征根为₁  0，₂  1

 

y*  x ax  b 故设特解为

由于 不是方程特征根，4

由于0是方程1重特征根，2不是方程特征根.

ce2 x

