可分离变量微分方程 第二节

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可分离变量微分方程 第二节

解分离变量方程

可分离变量方程

) ( )

d ( d

2 1 x f y xy  f

0

)

( d

)

( ₁

1 x x  N x 

M M ₂(y) N₂( y) dy

分离变量方程的解法 :

x x

f y

y

g( )d  ( ) d 设 y ＝ ^(x) 是方程①的

解 , g(







^

①

C x

F y

G( )  ( ) 

则有恒等式

) ( y

G F(x)

② 当 G(y) 与 F(x) 可微且 G’(y) ＝ g(y)≠0 时 ,

说明由②确定的隐函数 y ＝ (x) 是①的解 . 则有

称②为方程①的隐式通解 .

同样 , 当 F’(x)

= f (x)≠0 时 ,

上述过程可逆 ,

由②确定的隐函数 x ＝ (y) 也是①的解 .

例 1. 求微分方程 x y x

y ₂

d 3

d  的通解 . 解 : 分离变量得 x x

y

y 3 d d  ₂

两边积分 x x

y

y 3 d

d ₂





得 ln y  x³  C₁

C x

y ln

ln  ³  即 y  e^{x 3C1}   e^C1e^{x 3}

x 3

e C y 

C1

e C   令

( C 为任意常数 ) 或

例 2. 解初值问 题

0 d

) 1 (

dx  x²  y  y

x

解 : 分离变量得 x x

x y

y d

1 d

 2





两边积分得 C

y x ln

1 ln 1

ln 2 

  即 y x² 1  C 由初始条件得 C = 1,

1

2 1  x

y

( C 为任意常数 ) 故所求特解为

1 )

0 (  y

例 3. 求下述微分方程的通解 : ) 1 (

sin²  

  x y

y

解 : 令 u  x  y 1, _则 y u 1  

故有 1 u  sin² u 即 sec² u du  dx

C x

u   解得 tan

C x

y

x  1)  

tan( ^{( C} 为任意常数 ) 所求通解 :

练习 : . d

d 的通解

求方程 e^{x y}

x

y  _

解 分离变量 e^{ y} dy  e^x dx C

e

e ^y  ^x 

 ^

即 (e^x  C )e ^y 1  0 ( C < 0 )

例 4.

子的含量 M 成正比 ,

0,

M _求在

衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规 律 .

解 : 根据题意 , 有

) 0 d (

d  





M

0

0 M

M _t  ⁽ 初始条件 ) 对方程分离变量 , M

M d

, ln ln M  



得 即 M  C e^t

利用初始条件 , 得C  M₀

故所求铀的变化规律为 M  M₀ e^t .

M M0

o t



然后积分 : 





已知 t = 0 时铀的含量

为

已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

例 5.

成正比 , 求

解 : 根据牛顿第二定律列方 程

t  m v

d d

0  0



v t

初始条件为

对方程分离变量 , m

t v

k mg

v d

d 





然后积分 :

得 C

m v t

k g

k m   

 1 ln ( )

) 0 (此处 mg  vk  利用初始条件 ,

得 1 ln ( )

g k m

C   代入上式后化简 , 得特解

并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 ,

) 1

( ^{m t}

k

k e g

v  m  ^

mg  kv

设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度

降落伞下落速度与时间的函数关系 .

k

v  mg

t _足够大时

内容小结

1. 微分方程的概念

微分方程 ; 定解条件 ;

2. 可分离变量方程的求解方法 :

说明 : 通解不一定是方程的全部解 .

0 )

( x  y y  

后者是通解 , 但不包含前一个解 .

例如 , 方程

分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数 . 解 ;

阶 ; 通解 ;特解

y = – x 及 ^{y = C}

(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程 .常用的方法 :

1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程

3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如 : 例 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件6 ) .(3) 求通解 , 并根据定解条件确定特解

.

3. 解微分方程应用题的方法和步骤

思考与练习

求下列方程的通解 :

0 d

) (

d ) (

) 1

( x  xy² x  x² y  y y 

提示 : x

x y x

y

y d

d 1

1 ²   ²



) sin(

) sin(

) 2

( y  x y  x  y

(1) 分离变量

(2) 方程变形为 y  2cos xsin y

C y  2sin x  tan 2

ln