內切圓和整數邊長的直角三角形
朱啟台
1李政豐
2* 陳昭地
1 1國 立 臺 灣 師 範 大 學 數學 系 2國 立 竹 南 高 級 中 學壹、前言
在 中 學 幾 何 課 程 中 ， 我 們 常 碰 到 如 (3,4,5),(6,8,10),(9,12,15)，邊長 是 整 數 的相 似 直 角 三 角 形 ， 我 們 很 有 興 趣 的 是 ： 要 如 何 做 出 最 基 本 的“兩 兩 互 質 的 直 角 三 角 形 的 邊 長 ” ， 例 如 (3,4,5) 、 (5,12,13) 、 (9,40,41)。 這 就 是 本 原 畢 氏 三 元 數 組 的 表 徵 ， 雖 然 它 是 很 有 啟 發 性 的 教 材 ， 然 而 課 本 談 得 很 少 ， 殊 為 可 惜 ， 尤 其 是 它 對 整 數 論 及 幾 何 學 的 學 習 有 很 大 的 助 益 。 由 國 民 中 學 幾 何 課 程 中“圓 外 一 點 到 此 圓 之 兩 切 線 段 等 長”的 性 質，得到 兩 股為 a,b， 斜邊 是 c， 內 切 圓 半徑 為 r 的 直角 三 角 形，它 們 之 間 有 以 下 的 關 係 a+b=c+2r， 亦 即 2 a b c r 。 我 們 可 以 理 解“ 半 徑 是 正 整 數 r 的 圓，它 有 無 限 多 種 外 切 直 角 三 角 形”；但 是 如 果 我 們 限 制 這 種 外 切 直 角 三 角 形 的 邊 長 是 兩 兩 互 質 的 正 整 數 ， 其 邊 長 是 不 是 有 限 多 組 ？ 若 為 有 限 ， 要 如 何 證 明 它 ？ 重 點 在 如 何 找 到 這 有 限 多 種 直 角 三 角 形 。 如 果 沒 有 借 助 於 本 原 畢 氏 三 元 數 組 的 性 質 ， 我 們 不 易 得 到 以 下 漂 亮 的 結 論 ： *為本 文 通 訊 作 者 (1) 由 正 整 數 r 之 標 準 分 解 式 為 1 2 1 2 2x x x ... xl l p p p ，（ 其 中 pi為 相 異 奇 質 因 數 ，x,l, x x1, ,...,2 x 都 是非 負 整 數）l 知 道 有 2l 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 為 邊 長 的 直 角 三 角 形，它 們 的 內 切 圓 半 徑 均 為 r。 (2) 如 果 不 限 定 直 角 三 角 形 的 邊 長 為 本 原 畢 氏 三 元 數 組，只 要 畢 氏 數 即 可，當 內 切 圓 半 徑 為r
1 2 1 2 2x x x ... xl l p p p ， 則 有(x1)(2x11)(2x2 1) (2xl 種 邊 長1) 是 正 整 數 的 直 角 三 角 形，其 內 切 圓 半 徑 均 為r
。 (3) ABC三 邊 為 正 整 數a b c, , ，a b c ， 其 內 切 圓 半 徑 為r
1 2 1 2 2x x x ... xl l p p p 若 三 邊a b c，, , a b c 是 本 原 畢 氏 三 元 數 組 (a2 )r 與(b2 )r 互 質 。 且 滿 足 (a2 )r 與 (b2 )r 互 質 的 數 對 ( , )a b 恰 有 2l組 。 在 以 上 研 究 中，不 免 需 要 用 到 一 般 三 角 形 三 邊 長a b c 及 其 內 切 圓 半 徑r
之 間 的 關 係 ， 我 們 也 有 如 下 的 發 現 ： (4) ABC為 C=90之 直 角 三 角 形 之 充 要 條 件 為a b c 2r。 (5) ABC 之 任 一 邊 均 大 於 2r ， 即 2 0 a r ,b2r0,c2r0。貳、本文
如 果 說 化 學 的 分 子 是 可 以 代 表 一 種 化 學 物 性 質 的 最 基 本 粒 子 。 數 學 中 的 質 數 是 可 以 代 表 整 數 結 構 中 最 基 本 的 組 成 數 字 。 那 麼 本 原 畢 氏 三 元 數 組 就 是 畢 氏 數 中 最 基 本 的 有 序 三 元 數 組 。 定 義 ： 設a b c , , 是 正 整 數 ， 若a b c2+ =2 2則 稱a b c, , 是 一 組 畢 氏 三 元 數 組。如 果 畢 氏 三 元 數 組a b c, , 的 最 大 公 因 數 為 1， 亦 即 ( , , )=1a b c ， 則a b c, , 稱 為 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 。 性 質 (1)：a b c , , 是 正 整 數，且 滿 足a b c2+ =2 2, 如 果( , , )=1a b c ， 即 三 數 的 最 大 公 因 數 為1，則a b c, , 兩 兩 互 質 。 證 明 ： 如 果 有 一 個 質 數 p， p a(即 p 能 整 除 a) ， 且 p b ， 則 p a( 2b2) 即 2 ( ) p c ， 必 然 p c 。 與( , , )=1a b c 矛 盾，故( , )=1a b 。同 理 可 證( , )=1b c 、 ( , )=1a c 也 成 立 。 性 質 (2)：若a b c , , 為 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ， 即a b c , , 是 正 整 數 ，a b c ， 且2+ =2 2 ( , , )=1a b c ，則a,b是一 奇 一偶，c必 定 是 奇 數 。 解 說 ： 1. 若 a,b 皆 為 偶 數 ， 則c2 a2b2也 是 偶 數 ， 則c 必 定 是 偶 數 (因 為 奇 數 的 平 方 必 定 是 奇 數)， 與 ( , , )=1a b c 矛 盾 。 2. 若a,b皆為 奇 數 ，令a=2k+1,b=2m+1 (m, k 是 正 整 數 或0) ， 則 c2 a2b2 4k2 2 4k 4m 4m 2 是 數，令c =2n (n是 正 整 數)，代 入 上 式c2 a2b24n2 4k2 2 4k 4m 4m 2 ( 兩 邊 除 2)2n2 2k2 2 2k 2m 2m 1 等 式 左 邊 是 偶 數 右 邊 是 奇 數 ， 矛 盾 。 3. 因 此a b, 必 是 一 奇 一 偶 ， 且 c 一 定 是 奇 數 引 理 1 若(a,c)=1，且 c、a 都 是 奇 數 ， 則(c-a，c+a)=2。 證 明：因 為 c、a 都 是奇 數，故(c-a)、(c+a) 皆 為 偶 數 步 驟 1：設 p 是不 為 2 的 質數 ， 若 質 數 ( - ) p c a 且 p c a( )， [( - ) ( )] p c a c a p(2 )c p c [( ) - ( - )] p c a c a p(2 )a p a 與(a,c)=1 矛 盾 ，故(c-a)、(c+a) 除 了 2 之 外 ， 沒 有其 他 奇 質 因數 。 步 驟2：k2， 設2 ( - )k c a 且2 (k ) c a 2 [( - ) (k c a c a )]4 (2 )c 2 c 2 [(k c a ) - ( - )]c a 4 (2 )a 2 a 與(a, c)=1 矛 盾，故(c-a)、(c+a) 除 了 2 之 外 ， 沒 有 2 (k k2)的 公 因 數 。 即((c-a),(c+a))=2定 理 一 、 本 原 畢 氏 三 元 數 組 的 一 種
構造法
若 a b c 是 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ，, , 2 2 2 a b c ，a b c N, , ，( , , ) 1a b c ， 令 a 是 奇 數，b 是 偶 數。則 存 在m n, N，m n ， ( , ) 1m n ， m,n 是 一 奇 一 偶 ； 使 得 2 2 a m n ，b2mn，c m 2 。 n2 證 明 ： 步 驟 1：b2c2a2 (c a c a)( ) ( )( ) b c a c a ………….……. (A) 由 引 理1、若(a,c)=1，且 c、a 都 是 奇 數，則(c a c a , ) 2 。沿上面(A)式bN，b (c a c a )( )，(c-a)、 (c+a)皆 為偶 數， (c a c a , ) 2 ，且 (c-a)(c+a)又 是 一個 完 全 平 方數。則 可 令c a 2n2 ，c a 2m2， 其 中 , m nN，m n ， ( , ) 1m n ，代入 b 則b (c a c a )( )=2mn。 由 2 2 2 2 c a n c a m 2- 2 a m n ,c m 2n2 步 驟 2：因 為 a , c 是 奇 數 ，故m n, 其 中 一 個 奇 數 ， 一 個 偶 數 。 (若 兩個 都 是 奇 數，或都 是 偶數，則 a,c 都 是偶 數 ， 不合) 步 驟 3：如果m n, 不 互 質，則a m 2n2， 2 2 c m n 也 不 互 質 ， 與(a,c)=1 矛 盾 。 若 a b c , , 為 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ， 由 本 原 畢 氏 三 元 數 組 產 生 的 一 種 方 法 ， 令a m 2n2、b2mn、 2 2 c m n ， 其 中 m n, 是 正 整 數 ， m n ， ( , ) 1m n ，且 m,n 一奇一偶， 則 (1) 當 <(1+ 2)m n (m - n) 2 n(m - n)2 2n2 m22mn n 22n2 m2n22mn m2n22mn m 2n2 < < a b c (2) 反 之，當m>(1+ 2)n2mn m 2 n2 2 2 m n b a c 性 質 (3) ： 直 角 ABC 三 邊 長 a m 2n2, 2 2 2 , b mn c m n ，(其 中m,nN， m>n，(m,n)=1,m,n 奇偶 性 互異)， 其 內 切 圓 半 徑r n m n( 必為正整數。 ) 證 明 ： 由 圓 外 一 點 到 此 圓 之 兩 切 線 段 等 長 ， 得 到 a+b=c+2r，如 圖(1) 圖(1) 其 內 切 圓 半 徑 2 a b c r 2 2 2 2 2 ( ) 2 m n mn m n n m n 必 為 正 整 數 。 性 質 (4) ： 任 給 正 整 數 r ， 則 以 2r ，1 2 2r 2r，2r22r1為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 就 是 r。 證 明：由 直 角 三 角 形 內 切 圓 半 徑 2 a b c r ， 2 2 (2 1) (2 2 ) - (2 2 1) 2 r r r r r r 亦 即 ， 任 給 正 整 數 r， 知 道 2r ，1 2 2r 2r， 2r22r1為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 就 是 r 。 性 質 (5)： 直 角 三 角 形 斜 邊 上 的 高 ， 分 此
直 角 三 角 形 ， 形 成 大 小 不 一 的 三 個 兩 兩 相 似 的 直 角 三 角 形 CAD、 BCD 、ABC， 令r 、1 r2、r 分 別3 為 它 們 的 內 切 圓 半 徑，h 是c ABC斜 邊 上 的 高 ， 則 有 以 下 的 關 係 ： 2 2 2 1 2 3 r r r ，hc 。 r1 r2 r3 證 明 ： 步 驟 1： 如圖(2)CAD、BCD、ABC是相 似 的 直 角 三 角 形 ， 它 們 的 所 有 對 應 長 度 都 成 比 例 ， 故 三 者 斜 邊 與 內 切 圓 半 徑 的 比 值 都 相 等 1 2 3 b a c k r r r 由 畢 氏 定 理 2 2 2 c b a 2 2 3 1 (r k) =( )r k 2 2 +(r k) 2 2 2 1 2 3 r r r 步 驟 2：如 圖(3)由ABC面 積 公 式 3 1 1 ( )( )= ( )( ) 2 c hc 2 a b c r ……….... (B) 將b r k 1 ，a r k 2 ，c r k 3 代 入(B) 式 得 1(3 )( )= (1 1 2 3 )( )3 2 r k hc 2 r k r k r k r 兩 邊 各 除 以 1 3 2r k ，得 到hc 。 r1 r2 r3 圖(2) 圖(3)
定理二
若 正 整 數 r= 1 2 1 2 2x x x ... xl l p p p （pi為 相 異 的 奇 質 因 數 ，l0）則 有 2l組 以 本 原 畢 氏 三 元 數 組 為 邊 長 的 直 角 三 角 形 ， 它 們 的 內 切 圓 半 徑 均 為r。 證 明：我 們 先 觀 察 幾 個 比 較 簡 單 的 例 子；若a b c 是 本 原畢 氏 三 元 數組，a 是 奇數，b 是, , 偶 數 ，c 是 奇 數 。 即 存 在m n, 是 正 整 數 ， m n ， ( , ) 1m n ， m,n 一 奇 一 偶 ， 使 得 2 2 a m n ，b2mn，c m 2n2， 內 切 圓 半 徑 r＝n(m－n）。 (1) 當 r=1 時 ， 由 r=n(m-n)及 m、n 的 條 件； r n m-n m m,n 是 否 奇 偶 互異 m,n 是 否 互 質 1 1 1 2 是 是 此 時 僅 有 n=1，m=n+1=2，一 組 解(3,4,5)。 (2) 當 r=2 時 ， 由 r=n(m-n)及 m、n 的 條 件；r n m-n m m,n 是 奇 偶 互 異 m,n 是 否 互 質 2 1 2 3 否 是 2 2 1 3 是 是 也 僅 得n=2， m=2+1=3 一 組解(5,12,13) 。 (3) 當 r=3 時 ， 由 m、n 之 條 件， 得 到 下 列二 組 解 ： r n m-n m m,n 是 否 奇 偶 互異 m,n 是 否 互 質 3 1 3 4 是 是 3 3 1 4 是 是 n=1，m=3+1=4 → (15,8,17) n=3，m=3+1=4 → (7,24,25) (4) 當 r=4=22時 ， 由 m、n 之 條件 僅 能 取 r n m-n m m,n 是 否 奇 偶 互異 m,n 是 否 互 質 4 1 4 5 否 是 4 2 2 4 否 否 4 4 1 5 是 是 N=4，m=4+1=5 → (9,40,41)一組 解 (5) 當 r=5 時 ， 由 m、n 之 條 件， 得 到 下 列二 組 解 ： r n m-n m m,n 是 否 奇 偶 互異 m,n 是 否 互 質 5 1 5 6 是 是 5 5 1 6 是 是 n=1，m=5+1=6 → (35,12,37) n=5，m=1+5=6 → (11,60,61) (6) 當 r=6=2×3 時 ， 由 m、 n 之 條 件， 得 到下 列 二 組 解： r n m-n m m,n 是 否 奇 偶 互異 m,n 是 否 互 質 6 1 6 7 否 是 6 2 3 5 是 是 6 3 2 5 否 是 6 6 1 7 是 是 n=2，m=3+2=5 → (21,20,29) n=6，m=1+6=7 → (13,84,85) (7) 當 r=2×3×5 時 ， 由 m、 n 之 條 件， 得 到下 列 四 組 解：
r n m-n m m,n 是 否 奇 偶 互異 m,n 是 否 互 質 30 1 30 31 否 是 30 2 15 17 是 是 30 3 10 13 否 是 30 5 6 11 否 是 30 6 5 11 是 是 30 10 3 13 是 是 30 15 2 17 否 是 30 30 1 31 是 是 n=2，m=15+2=17 → (285,68,293) n=6，m=5+6=11 → (85,132,157) n=10，m=3+10=13 → (69,260,269) n=30，m=1+30=31 → (61,1860,1861) 觀 察 上 面 七 個 例 子 ， 我 們 是 否 可 看 出 如 何 找 到 m,n 及 本 原 畢 氏 三 元 數 組 的 方 法 ？ 再 進 一 歩 證 明 之 前 ， 先 解 說 內 切 圓 半 徑r n m n ( )之 ㄧ 些 性 質：若 直 角ABC的 三 邊 長a b c , , 是 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ， 存 在 m,nN，m>n，(m,n)=1, m,n 奇 偶 性 互 異 ， 使 得a m 2n b2, 2mn c m, 2n2，其 內 切 圓 半 徑rn m n( )。 則 (i) n 與 (m n 互質。 ) (ii) 當r為 奇 數 ， 則 n 是 奇 數 ，(m-n) 是 奇 數 ，m 是 偶數 。 (iii) 當r為 偶 數 ， 則 n 是 偶 數 ，(m-n) 是 奇 數 ，m 是 奇數 。 證 明 ： (i) 若 有質 因 數 p，p n且 p m - n( )，則 ( ) p m - n n 即 p m， 與(m,n)=1 矛 盾 ， 故n 與(m-n)互質 。 (ii) 當r為 奇 數，則 n 與(m-n) 都是 奇 數 ， 則n+(m-n)=m 必為 偶 數。 (iii) 當r為 偶 數 ， 由 窮 舉 法 ， 考 慮 所 有 情 形 有 下 列 四 種 ， 但 只 有 一 種 成 立 ： 若 n 為 奇 數，(m-n)是奇 數，與
r
為 偶 數 矛 盾 ， 不 合 。 若 n 為 奇 數，(m-n)是 偶 數，則 m 為 奇 數 ， 與 m,n 奇 偶 互 異 矛 盾 ， 不 合 。 若 n 為 偶 數，(m-n)是 偶 數，則 m 為 偶 數 ， 與(m,n)=1 矛 盾 ， 不 合 。 若 n 為 偶 數，(m-n)是 奇 數，則 m 為 奇 數，成 立。(只 有這 種 情況 成 立) 最 後 再 來 說 明 定 理 二 ， 先 將 r 的 標 準 分 解 式 寫 出 來 ：r= 1 2 1 2 2x x x ... xl l p p p ，1 2 l p p p為 由 小 到 大 的 奇 質 因 數，其 中x x1, ,..., 2 x ,x,l 都 是 非 負整 數 。 l (1) r ，即1 x x1, ,..., 2 x ,x, l 都 是 0， 由 上l 面 的 證 明 與 觀 察 第 一 行(1)知 ： n=1， m=2， 三 邊 長 (a,b,c)=(3,4,5)， 恰 有 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組，即 有2l 20 1 組 。 (2) r2x，即 1, ,..., 2 l x x x ,都 是 0，x1，因 為 r 是 偶數，由 上 面(i)： n 與(m n )要 互 質，2x不 能 分 在 兩 個 因 式 中，由(iii) 當 r 為 偶數，則 n 是 偶 數，m 是 奇 數， 故n2x，(m n )=1， 即m2x1。 由 定 理 一 知 ： 2x11， 2 (2x1 x1)， 2 1 1 2 x 2x 1是 唯 一 的 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組，即 有2l 20 1組。例 如 上 面 的 觀 察(2)r ,2 n2,m n- 1,m3, 恰 有 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 (5,12,13) 。 又 如 上 面 的 觀 察 (4) 2 2 4 n ，m n 1，m5， 恰 有 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組(9,40,41)。 (3) 1 2 1 2 ... l x x x l r p p p ， p1 p2 pl 為 由 小 到 大 的 奇 質 因 數 ， 其 中x x1, ,...,2 xl 都 是 正 整 數 ，l1。 由r (n m n ，) 且 n 與 (m-n) 互 質 ， 所 有 的 k x k p (1 ， 都 只 能 完 整 出 現 在 nk l) 或(m-n)兩 者 之 一的 因 數 裏，不 能 拆 開 分 兩 邊 ， 所 以 n 就 是 1 2 1 2 (1 x)(1 x ) (1 xl) l p p p 展 開 式 中 的 一 項，n 確 定 了，(m-n)就 確定，m 隨 之 確 定 。 由 乘 法 原 理 ， 因 為 n 有2l種 可 能，故 也 恰 有2l組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 是 1 2 1 2 ... l x x x l r p p p 。 例 如 r=3×5= (n m n 時 ) r n m-n m m,n 是 否 奇 偶 互 異 m,n 是否 互 質 15 1 15 16 是 是 15 3 5 8 是 是 15 5 3 8 是 是 15 15 1 16 是 是 如 下 表 共 有2 =42 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 是 15。 n m a m 2n2 b2mn c m 2n2 1 16 255 32 257 3 8 55 48 73 5 8 39 80 89 15 16 31 480 481 (4) 1 2 1 2 2x x x xl l r p p p ， p1 p2 pl 為 由 小 到 大 的 奇 質 因 數 ， 其 中 1, ,..., 2 l x x x ,x, l 都 是 正 整 數。 因 為r是 偶 數 ， 由 上 面(iii)當r為 偶 數 ， 則 n 是 偶 數， ( ,n m n ) 1 ，m 是奇數，因此2x 一 定 是 n 的 因 數，n 的 因 數除 了2x之 外 ， 就 是 1 2 1 2 (1 x)(1 x ) (1 xl) l p p p 展 開 式 中 的 一 項 ， 因 此n 有2l種 ， 每 一 種n 都 恰 對 應 一 種 m，因 此 數對(n,m)有2l種，故 有 2l組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 為 三 邊 的 直 角 三 角 形 其 內 切 圓 半 徑 是 1 2 1 2 2x x x ... xl l r p p p 。 例 如 ， 當 r=2×3×5=30 為 偶 數時 r n m-n m m,n 是 否 奇偶 互 異 m,n 是否互 質 30 2 15 17 是 是 30 6 5 11 是 是 30 10 3 13 是 是 30 30 1 31 是 是 如 下 表 共 有2 =42 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 為
三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 是30。 n m a m 2n2 b2mn c m 2n2 2 17 285 68 293 6 11 85 132 157 10 13 69 260 269 30 31 61 1860 1861 由 上 述(1)(2)(3)(4)， 定理 二 因此 得 證 。 如 果 我 們 不 限 定 三 角 形 的 邊 長 一 定 是 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ， 只 要 是 畢 氏 三 元 數 組 即 可 ， 當 它 的 內 切 圓 半 徑 為 r， 那 要 如 何 求 得 所 有 的 畢 氏 三 元 數 組 ？ 有 關 ABC 的 三 邊 a b c 及 其 內 接 圓 半 徑r之 ㄧ 些 關 係，我 們 有 如 下 之 引 理： 引 理 2 若ABC，a b c, , 分 別 是 A, B, C 的 對 邊 ，a b c ， 其 內 切 圓 半 徑 為 r。若a b c - 2r成 立，則ABC為 直 角 三 角 形 。 證 明 1：(綜合 幾何 法) 圖(4) 如 圖(4)，由 圓 外一 點 到 此 圓之 兩 切 線 段 等 長 ， AFAD， BF BE ， 得 到 -a b c CD CE ，由a b c - 2r，推 得CD CE 2r，由 切 線 段 長 相 等，得 到CD CE r 。四邊形 CEOD 四邊相 等 是 個 菱 形，CEO CDO90，故 CEOD 是 正 方 形 ， C=90， 故 得 2 2= 2 a b c ， 得 證 。 證 明 2：(代數 法) 由 三 角 形 面 積 與 內 切 圓 半 徑 的 關 係 以 及 海 龍 公 式 1 ( ) ( - )( - )( - ) 2 a b c r s s a s b s c ， 其 中 2 a b c s 為 周 長 之 半 兩 邊 平 方 r s2 2s s a s b s c( - )( - )( - ) r s2 ( - )( - )( - )s a s b s c 將 -2 a b c r 及 2 a b c s 代入 上 式 ( - ) (2 ) 2 2 a b c a b c ( - )( - )( - ) 2 2 2 b c a a c b a b c 兩 邊 消 去 ( - ) 2 a b c ( )( ) 2 2 a b c a b c ( )( ) 2 2 b c a a c b (a b c a b c )( ) (b c a a c b )( ) (a b c a b c )( ) (c(a b c ))( (a b )) (a b ) -2 c2 c2- ( - )a b 2
a2b22ab c- 2c a b2- 2- 22ab a2b c2= 2， 得 證 。 引 理 3.ABC 的 三 邊a b c 分 別 是, , A, B, C 的 對 邊，其 內 切 圓 半 徑 為r，不 論 ABC 是 銳 角 、 直 角 或 鈍 角 三 角 形 ， 則 三 邊 長 都 大 於2r 。 證 明 1：(面 積 證法) 設a b c ， 2 a b c s ，ABC的 內 切 圓 半 徑 為r，不 論ABC是 銳 角、直 角 或 鈍 角 三 角 形 ， 若 能 證 得 ( - 2 ) 0a r ，即得證三邊長都大於 2r 。 設 是 三 角 形 的 面 積 ， 由 ( ) 2 a b c r (a b c r ) 2 如 圖(5)、圖(6)、圖(7)，不 論C是 銳 角 、 直 角 或 鈍 角 ， 以 下 的 不 等 式 都 成 立：由a h b ab bh b =2 ，由a h c ac ch c=2 (其中h ,b h 分別 是 b, cc 邊 所 對 應 的 高) 則 a a b c( ) ab ac 4 =4( ) 2 a b c r =2(a b c r ) 。 圖(5) 將 a a b c( ) 2(a b c r ) ， 兩 邊 除 掉 (a b c ，即得) a2r a 2r0 圖(6) 圖(7) 證 明 2：(綜合 幾何 法) 若 a b c ， ABC的 內 切 圓 半 徑 為 r， 由 內 切 圓 的 圓 心 O 向 直線 AC做 垂 線 垂 足 為 D，向直 線 AB 做 垂 線，垂 足 為 F，延 長 直 線OD交 內 切 圓 於 G， 交 直 線 AB 於 M，再由 B 點向直線AC 做 垂 線 ， 垂 足 為 K。 不 論 是 銳 角 三 角 形，如 圖(8)。直 角 三 角 形，如 圖(9)。或鈍 角 三 角形，如 圖(10)。 在 圖(8)、 圖 (10)中，BCK， 斜 邊 a KB DM DG2r。
圖(8) 圖(9) 圖(10) 在 圖(9)中， C=90 時，K C, 重 合 ， a KB DM DG2r，即a2r0成 立 。 因 此 ， 三 角 形 的 三 邊 長 都 大 於 內 切 圓 的 直 徑2r 。
定理三
給 定 一 個 圓 的 半 徑 為 正 整 數 1 2 1 2 2x x x ... xl l r p p p ，p1 p2 pl為 由 小 到 大 的 奇 質 因 數 ， 其 中 x x1, ,..., 2 x ,x,l l都 是 非 負 整 數 。 則 有 (x1)(2x11)(2x2 1) (2xl 1) 種 以 畢 氏 三 元 數 組(包 含 本 原 與 非 本 原 )為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 均 為 r。 證 明 ： 設a b c 是 畢 氏 三 元 數 組 ，, , a2b2 2...(1) c ， 且 三 邊 長 a b c 的 直 角, , ABC 內 切 圓 半 徑 為r
，由 內 切 圓 半 徑r
的 性 質 ， a b 2r c ...(2)， 將( 2 ) 代 入 ( 1 ) 2 2 2 2 2 2 ( - 2 ) 4 - 4 - 4 2 a b a b r a b r ar br ab 2 2ab- 4 - 4ar br 4 =0r (兩 邊除 以 2) 2 2 2 2 =0 ab ar br r 2 2 2 2 ab ar br r 2 2 2 2 2 4 2 4 ab ar br r r r 2 (a 2 )(r b 2 ) 2r r 由 引 理(3) 知 道a2r，b2r 若 內 切 圓 半 徑 為 1 2 1 2 2x x x ... xl l r p p p 則 2 2 +1 21 22 2 1 2 2 2x x x ... xl l r p p p ， 由 於2r2的 所 有 正 因 數 有 (2x2)(2x11)(2x2 1) (2xl1)個 ， 若 限 制 a b 的 條 件 下 ， 由 2 (a2 )(r b2 ) 2r r ， 數 對(a2 , r b2 )r 的 數 目 ， 是2r2的 所 有 正 因 數 個 數 的 一 半 ，即 有(x1)(2x11)(2x2 1) (2xl 種 。 相1) 應 的 數 對( , )a b 也 有(x1)(2x11)(2x2 … 1) (2xl 種。 1) 故 有 (x1)(2x11)(2x2 1) (2xl1) 種 以 畢 氏 三 元 數 組a b c 為 三 邊 的 直 角 三 角, , 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 為 r。 上 述 證 明 也 用 到 引 理2：若a b c - 2r則a2b2 c2。 由 定 理 一 與 內 切 圓 半 徑r的 性 質 ， 我 們 可 以 證 得 以 下 的 定 理 ；
定理四
若a b c 是 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ，, , 2 2 2 a b c ， 以 a b c, , 為 邊 長 的 直 角 三 角 形，其 內 切 圓 半 徑 為r，則(a2 )r 與(b2 )r 互 質 。 證 明 : 若a b c 是 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ，, , 2 2 2 a b ，令 a 是奇數 b 是偶數 cc 是 奇 數 。 存 在 m n N, ， m n ， ( , ) 1m n ， m,n 是 一 奇 一 偶 ， 使 得 2 2 a m ，n b2mn，c m 2n2， 以 , , a b c 為 邊 長 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑r n m n ( )。 則 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a r m n n m n m n 2 2 2 2 ( ) 2 b r mn n m n n 由 反 證 法 ， 若 有 質 數 p 滿 足 p a( 2 )r 且 p b( 2 )r 亦 即 p m n( )2 且 2 (2 ) p n ， 則 步 驟 1 ： 若 p ， 由2 2 (m n )2 2 (m n )，但 是m,n 是一 奇 一偶 ， m n ，(m n )是 奇 數 ， 矛 盾 。 步 驟 2：若 p是 奇 質 數 ， 由 2 ( - ) p m n p m n( - )…………(1) 由 p(2 )n2 p n2 p n…….(2) 由(1)(2)p m n(( - ) +n) p m…(3) 由(2)(3)知道 與( , ) 1m n 相 矛 盾 。 綜 合 步 驟 1.與 步 驟 2. 知 道 (a2 )r 與 (b2 )r 互 質 。 由m n, N，m n
，( , ) 1m n ，m,n 是 一 奇 一 偶，使 得a m 2n2是 奇 數，b2mn 是 偶 數，c m 2n2是 奇 數。而 已 知2r 是偶 數 ， 故(a2 )r 是 奇 數 ，(b2 )r 是 偶 數 。 因 此 ， 如 果 已 知 a b c 是 一 組 本 原 畢, , 氏 三 元 數 組 ， 以a b c 為 三 邊 的 直 角 三 角, , 形，其 內 切 圓 半 徑 為r，則(a2 )r 與(b2 )r 互 質 ， 且 奇 偶 性 互 異 。 而 當 (a2 )r 與 (b2 )r 互 質 時 ， 由 2 (a2 )(r b2 ) 2r r 的 條 件 ， (a2 )r 與 (b2 )r 的 奇 偶 性 互 異 是 必 然 ， 因 為 (1) 當 (a2 )r 與(b2 )r 均 為 偶 數 ， 則 與 (a2 )r 與(b2 )r 互 質 的 條 件 相 矛 盾 。 (2) 當 (a2 )r 與(b2 )r 均 為 奇 數 ， 則 與 2 (a2 )(r b2 ) 2r r 為 偶 數 的 條 件 相 矛 盾 。定理五
若 a b c 是 一 組 畢 氏 三 元 數 組 ， 以, , , , a b c 為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 為r
。若(a2 )r 與(b2 )r 互 質，則a b c, , 是 本 原 畢 氏 三 元 數 組 。 證 明 ： 用 反 證 法 ， 若a b c 是 一 組 畢 氏 三, , 元 數 組 ， 但 非 本 原 畢 氏 三 元 數 組 ， 假 設( , ) 1a b (當 ( , ) 1a c 或 ( , ) 1b c 時，同理 可 證)，由 性 質(1)存 在 質 數 p， p a 且 p b p a( 2b2) p c2 p c 由 p a,p b,p c p a b c( ) 因 為r是 內 切 圓 半 徑 ， 及a b c 2r p r2 因 此 p a( 2 )r 且 p b( 2 )r 亦 即(a2 )r 與(b2 )r 不 互 質。與 假 設 條 件 相 矛 盾 。 所 以 ， 當 a b c 是 一 組 畢 氏 三 元 數, , 組；若(a2 )r 與(b2 )r 互 質 , ,a b c 是 一 組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 。 綜 合 定 理 三 ， 定 理 四 與 定 理 五 ， 我 們 可 以 得 到 下 面 的 系 理: 系 理 1. 假設a b c ，a b c 是畢 氏 三 元數, , 組 ， 以 a b c 為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ，, , 其 內 切 圓 半 徑 為 1 2 1 2 2x x x ... xl l r p p p 其 中 x x1, ,..., 2 x ,x,l l都 是 非 負 整 數 ， 由 直 角 三 角 形 邊 長 的 性 質a2b2 c2..(1) 及 其 內 切 圓 半 徑
r
的 性 質 ，a b 2r ...(2) c 可 推 得(a2 )(r b2 ) 2r r2，則 , , a b c 是 本 原 畢 氏 三 元 數 組 (a2 )r 與(b2 )r 互 質 且 恰 有2l組 本 原 畢 氏 三 元 數 組 a,b,c, 滿 足(a2 )r 與(b2 )r 互 質 的 條 件 。 例 題 1.當r ，則有2 (1 1)(2 0 1)(2 0 1) (2 0 1) =2 種 以 畢 氏 三 元 數 組 為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 為 r =2 。 其 中 本 原 畢 氏 三 元 數 組 有 2 =10 種 。 由(a2 )(r b2 ) 2r r2亦 即(a4)(b 4) 8 (a2 )r (b2 )r a b c 1 8 5 12 13 2 4 6 8 10 其 中 1,8 互 質，(5,12,13) 是 本 原 畢 氏三 元 數 組 而 2,4 不 互 質， (6,8,10) 是 畢氏 三 元 數 組 但 非 本 原 。 例 題 2. 當 r6 =2 31 ， 則 有 (1 1)(2 1 1)1 (2 0 1) (2 0 1) 6種 以 畢 氏 三 元 數 組 a b c (其 中, , a b c )為 三 邊 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 為 r=6。 其 中 本 原 畢 氏 三 元 數 組 有2 =21 種 。 由 (a2 )(r b2 ) 2r r2 亦 即 (a12) (b12) 72 (a2 )r (b2 )r a b c 1 72 13 84 85 2 36 14 48 50 3 24 15 36 39 4 18 16 30 34 6 12 18 24 30 8 9 20 21 29 其 中 1,72 互 質 ， 8,9 互 質 ， 故 (13,84,85)、 (20,21,29) 是 本原 畢 氏 三元 數 組。其 他 的(a2 )r 與(b2 )r 不 互 質, 故(14,48,50) 、 (15,36,39) 、 (16,30,34) 、 (18,24,30) 則 只 是 畢 氏 三 元 數 組 但 非 本 原 。參、結語
上 面 問 題 “ 有 (x1)(2x11)(2x2 … 1) (2xl 種畢氏三元數組(其中有 21) l組 為 本 原 畢 氏 三 元 數 組)， 作 為 邊 長 的 直 角 三 角 形 ， 其 內 切 圓 半 徑 均 為r”， 當l是 較 小 的正 整 數 時 ， 依 本 文 所 述 的 演 算 法 ， 我 們 可 透 過 georgebra 驗 證 它 的 正確 性 ， 經 由視 覺 化 的 表 徵 ， 讓 學 生 能 深 刻 體 會 這 個 幾 何 與 數 論 結 合 的 定 理 ， 欣 賞 數 學 預 測 與 估 算 的 美 妙 ， 使 得 學 習 變 成 簡 單 而 有 趣 。 我們 從 國 中開 始 學 習 畢氏 定 理 ， 看似 簡 單 的 畢 氏 三 元 數 組 ， 可 以 衍 生 出 那 麼 多 重 要 而 有 趣 的 性 質 ， 這 是 我 們 所 始 料 未 及 的 一 件 事 。 這 些 性 質 對 中 學 的 數 學 老 師 ， 我 們 認 為 是 很 重 要 的 經 驗 ， 對 國 中 、 高 中 的 數 學 教 學 ， 有 相 當 大 的 幫 助 ， 當 老 師 在 講 解 畢 氏 數 的 時 候 ， 不 是 只 舉 幾 個 特 例 ， 就 可 以 說 明 清 楚 這 些 重 要 的 關 鍵 ， 也 不 是 知 道a m 2 ，n2 b2mn，c m 2n2就 算 了 解 畢 氏 數，或 者 有 些 畢 氏 數 如9,12,15， 還 找 不 到 正 整 數 m,n ， m n ， 使 得 2 2 9 m n ，12 2mn ，15 m 2 。經過n2 這 段 時 間 的 思 考 ， 我 們 好 像 覺 得 高 中 數 學 課 程 ， 對 於 幾 何 教 學 ， 缺 少 了 某 些 知 能 。 於 是 藉 著 暑 假 的 空 檔 ， 自 告 奮 勇 ， 趕 緊 把 這 些 很 好 的 想 法 寫 下 來 ， 期 望 對 中 學 數 學 老 師 在 教 學 實 務 上 有 所 助 益 。
