教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽 參考解答

教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽 參考解答

【筆試一】第一題

設 , ,a b c 為正數且滿足abc1。試求

2 2 2

4 4 4

(a b c a)( b c ) a b c

   

  的最大值。

【解】最大值是 3，且在a  b c 1時可達到。以下證明：

(a b c a  )( ²b²c²)3(a⁴b⁴c⁴)。 (1) 由算幾不等式可得：

a  b c 3³abc 3。

若證得以下(2)式，則(1)式自然會成立：

(a b c) (² a²  b²  ²c) 9 (a⁴  ⁴b 。 (2) ⁴c) 事實上，由柯西不等式：

(1² 1² 1 )(² a⁴b⁴c⁴)(a²b²c^{2 2}) ， ( 1² 1² 1 ) (² a ²b ²c ² ) a( b c。 ²) 兩式相乘即得(2)式。

【筆試一】第二題

設數列{ a_n }_n^_1定義如下：a₁5、a₂ 5，且對每個正整數 n ，恆有 ₁ ² 98

n n

n

a a a _   ^ 。 試證：對每一個正整數 n ， 1

6 an 

都是完全平方數。

【解】對每個nN，令b_n (a_n 1) / 6或改寫成a_n 6b_n1。顯然地，b₁1及b₂ 1， 它們都是完全平方數。對每個nN，因為a_n2 98a_n1a_n，可得

2 98 1 16

n n n

b_  b_  b 。

由此可得：b₁1，b₂ 1，b₃ 81，b₄ 7921，b₅ 776161，b₆ 76055841；以及

1 1

b  ， b₂ 1， b₃ 9， b₄ 89， b₅ 881， b₆ 8721。觀察這六項可知 它們滿足遞迴關係式： b_n2 10 b_n1  b_n 。

設數列{ }c_{n n}^_1定義如下：c₁1、c₂ 1，且c_n2 10c_n1c_n， nN 。 則此數列的每一項都是正整數。下面我們以數學歸納法證明：

對每個 nN ，恆有b_n c_n²。

顯然地，b₁c₁²，b₂ c₂²，b₃ c₃²。

設 kN 且b_k c_k²、b_k1 c_k²_1、b_k2 c_k²_2。因為b_k2 98b_k1 b_k 16且

3 98 2 1 16

k k k

b_  b_ b_  ，所以，將兩式相減，即得b_k3 99b_k299b_k1b_k。 將假設的三等式代入，可得

b_k3 9 9c²_k2 9 9c²_k1 c²_k 9 9c_k²_2  9 9c_k²_1  ( 1 0c_k1 c_k2² )

2 2

2 2 1 1

100c_k 20c_k c_k c_k

   (10c_k2 c_k1)²

2 3

ck_

 。

【筆試一】第三題

設點 O 是銳角三角形 ABC 的內心，圓 ( )O t 是以 O 為圓心、正數 t 為半徑的圓，以 O 為端點分別作三邊 BC、CA、AB 的垂直射線。若三垂直射線與圓 ( )O t 分別交於點 D、

E、F，試證：直線 AD、BE 與 CF 共點。

F

E

D O

A

B C

【解】

F

E O

A

B C

D

證 1：

R

Q

P F A

N

O M E

C

D L F

E O

A

B C

D

B

設△ ABC 的內切圓與三邊 BC 、CA 、CA 分別相切於點 L、M、N，又設直線 AD

與直線 BC 相交於點 P、直線 BE 與直線 CA 相交於點 Q、直線 CF 與直線 AB 相交於 點 R。因為△ ABC 是銳角三角形，所以，點 P 在 BC 上、點 Q 在 CA 上、點 R 在 AB 上。

(當C是鈍角且 t 值很大時， P 是 BC 的外分點、Q 是 CA 的外分點。)

因為AM  AN、EM FN且AMEANF 90^，所以△ AEM△ AFN。

於是，得AE  AF 且EAM FAN 。進一步地得：BAECAF 。同理，因為 BNBL、FN DL且BNF BLD90 ，所以△ BFN△ BDL。於是，得BFBD 且 FBN  DBL。進一步地得： CBF  ABD。同理，因為 CL CM 、 DLEM 且CLD CME90，所以△ CDL△ CEM。於是，得CDCE且 DCL  ECM。 進一步地得： ACD  BCE。

其次，考慮兩同底三角形的面積比，可得

ACD CD

AC

ABD BD

AB ACD

ABD PC

BP







 



 

sin sin 的面積

的面積 ，

BAE AE

AB

BCE CE

BC BAE

BCE QA

CQ







 



 

sin sin 的面積

的面積 ，

CBF BF

BC

CAF AF

AC CBF

CAF RB

AR







 



 

sin sin 的面積

的面積 。

將三式相乘，即得

B P C Q A R P C Q A R B

sin sin sin

sin sin sin

AB BD ABD BC CE BCE AC AF CAF AC CD ACD AB AE BAE BC BF CBF

     

  

     

^{s i n s i n s i n}

s i n s i n s i n

B D A B D C E B C E A F C A F C D A C D A E B A E B F C B F

  

  

   。

因為BAE =CAF、 CBF  ABD、 ACD  BCE，所以，可得

BP CQ AR BD CE AF=1 PCQARB CDAEBF 。

因為直線 AP、BQ 與 CR 不會兩兩平行，所以，依 Ceva 定理，可知直線 AP、BQ 與 CR 共點，亦即：直線 AD、BE 與 CF 共點。

N

H M

L K

F

E

D O

A

B C F

E

D O

A

C B

證 2：設△ ABC 的內切圓半徑為 r。

因為△ ABC 是銳角三角形，所以，點 D 在A的內部、點 E 在B的內部、點 F 在 C 的內部。

令d(A,BC)表示點 A 至直線 BC 的距離。若點 D 至直線 AB 的垂足為 H，點 O 至 直線 DH 的垂足為 K，則可得

r B t

ON ODK OD

KH DK DH AB

D

d( , )    cos   cos  。 仿此可得下述等式：

B t

r AB D

d( , )  cos ， d(D,AC)rtcosC， C

t r BC E

d( , )  cos ， d E BA( , ) r tcosA，

( , ) cos

d F CA  r t A， d F CB( , ) r tcosB。 設直線 AD 與直線 BE 交於 G，則依相似三角形的邊長成比例，可得

C t

r

B t

r AC D d

AB D d AC G d

AB G d







 

 cos

cos )

, (

) , ( ) , (

) ,

( ，

C t

r

A t

r BC E d

AB E d BC G d

AB G d







 

 cos

cos )

, (

) , ( ) , (

) ,

( 。

將兩式相除，即得

) , (

) , ( cos

cos )

, (

) , (

BC F d

AC F d B t

r

A t

r BC G d

AC G

d 







  。

因為d(G,AC)：d(G,BC)d(F,AC)：d(F,BC)，所以可知點 C、F 與 G 共線，亦即：

直線 AD、BE 與 CF 共點。