教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽參考解答

(1)

教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽參考解答

【筆試二】第一題

等腰梯形 ABCD 中，AB/ /CD ， ABCD 且 ADBC 。試證：若 P 為 ABCD 內部或邊上一點，則 PA PB PCPD ABACAD。

【解】我們將利用以下的簡單性質:

(1) 凸四邊形兩對角線長之和大於任一組對邊長之和 (2) 等腰梯形的兩對角線等長

(3) 橢圓外一點到兩焦點距離和大於橢圓上的點到兩焦點距離和(即長軸長) 情況(1) 點 P 在 ABCD 內部 (如圖(1))

以 ,A B 為焦點， PAPB為長軸長的橢圓₁，設分別交AD BC 於點, K K, 。以 ,C D 為焦點， PCPD為長軸長的橢圓₂，設分別交AD BC 於點, M M, 。 注意：過點 P 作 AB 的平行線 L ，則K K, 在 L 的下方，M M, 在 L 的上方。

因此， AD AKKMMD。於是可得：

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P A P B P C P D P A P B P C P D K A K B M C M D K A K M M B M C M D K A K M M D M B M C

          

         

 A D( M B M D ) A D ( M M )B D  AD(ABAC) ABACAD 。

【註】情況(1)的另一證明：設平行線 L 交 AD 於點 P，則 P在 ,K M 之間，得知 P

在兩橢圓₁與₂的外部。因此， PA PB P A P B   且PCPDP C P D ； 於是， PA PB PCPDP A P B   P C P D ，再由情況(2)即可得證。

情況(2) 點 P 在腰 AD 或 BC 上 (如圖(2))

依對稱性可設P AD 。若 P 為頂點 A 或 D ，命題顯然成立；故僅須考慮 P 不為頂點的情況。過點 P 作 AB 的平行線，交 BC 於點 E ，則

P B P C A E P C A C P E A C 。 A B

因此， PA PB PCPDAD(PBPC) AD(ACAB)  A B A C A D 。

(2)

圖(1) 圖(2) 情況(3) 點 P 在上底 CD 上 (如圖(3))

以 ,A B 為焦點，PAPB為長軸長作橢圓₁，此橢圓與梯形都以 AB 的中 垂線為對稱軸，依對稱性可知：點 C 在₁上或外部，故

P A P B A C B C A C 。 A D

因此，PA PB PCPD (PA PB )CD(ACAD)CD (ACAD)AB ABACAD 。 情況(4) 點 P 在下底 AB 上 (如圖(4))

以 ,C D 為焦點， PCPD為長軸長作橢圓₂，此橢圓與梯形都以 CD 的 中垂線為對稱軸，依對稱性可知：點 A 在₂上或外部，故

P C P D A C A D。

因此，PA PB PCPD  AB(PCPD) AB(ACAD)  A B A C A D 。

圖(3) 圖(4)

(3)

【筆試二】第二題

設n 為給定的正整數且n2。若^A^



^{1, 2,3,} ^{, 2}ⁿ



的子集合 B 滿足以下的性質：

『若 ,a bA， a b ，且 a b 為 2 的冪次，則 ,a b 之中恰有一數在集合 B 中』， 則稱 B 為A 的一個「好子集」。試問集合^A^



^{1, 2,3,} ^{, 2}ⁿ



^{中有多少個好子集？}

【解】以下用數學歸納法證明：可能的 B 有2^n¹個。

(1) n2時，A{1, 2,3, 4}。由 1 3 4  得知：子集合 B 必包含 1 或 3 中的一個數，

且不能同時包含此二數。故好集合有以下82^{2 1}^ 個：

{1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{1,2,4}、{3,2}、{3,4}、{3,2,4}。

(2) 設nk時的好集合有2^k¹個。以下證明：

每一個nk的好集合B 都恰對應到兩個_k n k 1時的好集合B_k_₁，且每個B_k_₁也對應到某個B 。 _k

任取一個nk的好集合B 。對任意_k a{1, 2,3, , 2 }^k ：

(i) 若a2^k 1且aB_k，則取aB_k_₁ (即2^k^¹ a B_k_₁)。

(ii) 若a2^k1且aB_k，則取2^k^¹ a B_k_₁ (即aB_k_₁)。

(iii) 若a2^k且aB_k，則取aB_k_₁。 (iv) 若a2^k且aB_k，則令aB_k_₁。 (v) 可自由選擇2^k¹是否在B_k_₁中。

2 3

{1} {1,5, 6}

{1,5, 6,8}

{1, 2} {1, 2,5}

{1, 2,5,8}

{1, 4} {1, 4,5, 6}

{1, 4,5, 6,8}

{1, 2, 4} {1, 2, 4,5}

{1, 2, 4,5,8}

B B

因此，每一個nk的好集合B 都恰對應到兩個_k n k 1時的好集合B_k_₁，且每個B_k_₁也對應到某個B ，故_k n k 1時的好集合B_k_₁恰有2 2 ^k^¹2^k^²個，得證。

(4)

【筆試二】第三題

設有m個相異的正偶數與n個相異的正奇數之總和小於2015。對於所有此種正整數m 與 n ，試求 3m4n的最大值。

【解】

因為任意 m 個相異正偶數與任意 n 個相異正奇數的和之中，值最小的是 (2 4 6 ... 2 ) (1 3 5 ... (2    m      n1))m m(  1) n2

所以，若m m(  1) n² 2015，則得

2 2

1 1

( ) 2015

2 4

m n  。另一方面，根據柯西不等式，可得

2 2 2 2 2 2

1 3 1 3 1 3

3 4 3( ) 4 (3 4 ) ( ) 5 ( )

2 2 2 2 2 2

m n m  n    m n   m n 

 

1 3 3 3 1

5 2015 5 45 225 223

4 2 2 2 2

        。

(1) 3m4n223的正整數解為 ( , ) (1 4 ,55 3 )m n   k  k ，0 k 18。這組解所對應的m m(  1) n²之值為

m m(  1) n²  (1 4 )(2 4 ) (55 3 )k  k   k ²

² 159 ² 25281 25281

25 318 3027 25( ) 3027 3027 2015

25 25 25

k k k

          。

也就是說，3m4n223的正整數解都不滿足m m(  1) n² 2015，亦即：

滿足m m(  1) n² 2015的正整數m與n都不滿足3m4n223。

(2) 3m4n222的正整數解為 ( , ) (2 4 ,54 3 )m n   k  k ，0 k 17。這組解所對應的m m(  1) n²之值為m m(  1) n²  (2 4 )(3 4 ) (54 3 )k  k   k ²

² 1 5 2² 2 3 1 0 4 1 5 2² 4 2 9

2 5 3 0 4 2 9 2 2 2 5 ( ) 2 9 2 2 2 5 ( ) 2 0 1 5

2 5 2 5 2 5 2 5

k k k k

          。

當k 6 (6 是與152

25 最接近的整數) 時，對應的解為m26，n36，而

2 2

( 1) 26 27 36 1998 2015 m m n      。

這表示確實有 26 個相異的正偶數與 36 個相異的正奇數之總和小於 2015，

例如：從 2 至 52 等 26 個正偶數及由 1 至 71 等 36 個正奇數。因此，3m4n 的最大值為 222。

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