教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽 參考解答

教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽 參考解答

【獨立研究一】第一題

給定一個三角形ABC，並以邊 BC 為直徑作一圓。設此圓與B、 C 的平分 線分別交於點M 、N ，又與B、 C 的外角平分線分別交於點M、 N。設 直線MN 與直線AC、 AB 分別交於點 X 、Y ，又設直線 M N 與直線AC、 AB 分別交於點X、Y。令 D 表示直線XY與直線X Y 的交點。

(1) 試證：X 、Y 、X、Y四點共圓。

(2) 設圓XYX Y 的圓心為點 K 。試證：直線 KY 與 ADY 的外接圓切於點Y 。

【解】

Q P

I

K D

I' Y'

X' Y

X

M'

C

N' N

M A

B

設 ABC



(1) 因為點 B、C、M、N 共圓，所以，XM I與 BCI 相等或互補。因為CI是 BCX

的 分 角 線 ， 所 以 ，BCI  ICX ， 進 一 步 知 點 I 、 C 、 X 、 M 共 圓 。 於 是 ， 90

IXC IMC BMC

      ，由此知點 X 是△ ABC 的內切圓與 AC 的切點。同理，

點 Y 是△ ABC 的內切圓與 AB 的切點。仿此可證：點X、Y分別是△ ABC 的的旁切 圓I與射線AB、 AC 相切的切點。於是，可知：AX  AY 及AXAY。進一步知：

XY與X Y 都與AI垂直，XY與X Y 平行，XYY X 是等腰梯形。因此，X、Y、X、 Y四點共圓。

(2) 要證明直線 KY 與△ ADY 的外接圓切於點 Y，只須證明KA KD KY²。 因為點 K 是圓XYY X 的圓心，所以，兩弦XX與YY'的垂直平分線相交於點 K。

因為AX AY 且AXAY，所以， A 的分角線垂直平分XY及X Y 。由此可知：圓 XYY X 的圓心 K 在 A 的分角線上。於是，點 I、點I點與點 K 共線。

因為IX 、I X 都與XX的垂直平分線平行，所以，XX的垂直平分線必通過II的中 點，亦即：點 K 是II的中點。

設△ ABC 的三邊長如下： BC a 、 CA b 、 ABc，並令s(a b c) 2及 (1 2) BAC

  。 因為△ ABC 的內切圓 I 與邊AC 相切於點 X，旁切圓I與射線AC相 切於點X，所以，可知

1( )

AX  AY 2     a b c s a，

1( )

CX BY 2 a b c   s c，

1( )

CX BY  2 a b c   s b。 由此可得

¹( ) ¹( )

2 2

XXCX CX a b c   a b c  a，

1 1

( ) ( )

2 2

AXAX XX b c a   a a b c  s。 因為點 K 是II的中點，所以，可得

1 1 2

( ) ( ) sec sec

2 2 2

s a

AK  AIAI  AXAX  ^ 。 因為XY與X Y 平行，所以，可知△ AXY 與△ AX Y 相似。由此可得

XY AX s a X Y AX s

  

   。

過點 D 作一直線與XY平行，設此平行線與AY交於點 P，則可得 YP YD XY s a

Y P X D X Y s

   

    。

因為YY BCa，所以，可得

^{( )}

2 2

s a a s a

YP YY

s a s a

  

  

  ，

( ) ^{( ) 2 ( )}

2 2

a s a s s a AP AY YP s a

s a s a

 

     

  ，

c o s ^{2 ( )} c o s 2

s s a A D A P

s a

 ^ 

 

 。

設點 Q 是YY的中點，則得

2 2 YY a YQ 

  ，

¹( ) ¹(( ) )

2 2 2

AQ AYAY  s   a s s a，

( )= 2

KA KD AK AKAD AK AKAD ( ) sec^{2 2} ( )

2

s a  s s a

   

2

2 2

( ) tan

2 4

a a

s 

  

 AQ²tan²YQ² =KQ²YQ² =KY 。 ²

【獨立研究一】第二題

試求所有可能的正整數 , ,a b c ，使得 1 1 1 (b )(c )(a )

a b c

   為整數。

【解】所有的解為 (1,1, )c 或(2,3,5) 的所有排列。

不妨設a b c，展開原式後有abc ab( 1)(bc1)(ca1)， 亦即abc ab bc ca(   1)，故

1 3

abcab ac bc ab bc cabcbcbc bc。 因此，a3。底下就a之值討論：

(1) 若a1，則bc b c(  1)。因此，bc  b c 1，故 0b c   b c 1 ( b 1 ) (c ， 1 )

故b1或c1，此時，a b 1。得到可能的解為 ( , , ) (1,1, )a b c  c 。 (2) 若a2，則 2bc bc( 2b2c1)，故

b c2 b2 c 1 2b2c， 4c 故b4。

(i)若b2，有 4 (4c c3)，不可能。

(ii)若b3，有 6 (5c c5)，故c5；逐個驗證得到僅有c5。 因此，所有的解為 (1,1, )c 或 (2,3,5) ，及其所有的重排。

【獨立研究一】第三題

設 n 為給定的正整數。試找出最大的正整數 m ，使得集合 {1,2,3, , }n 中有m 個子集

1, 2, , _m

A A A 滿足：任兩集合A A 的交集都恰含一個或幾個連續的整數。 _i, _j

【解】設集合 {1,2,3, , }n 中有 f n 個子集( ) A A₁, ₂, ,A_{f n( )}滿足：任兩集合A A 的交_i, _j 集都恰含一個或幾個連續的整數。以下證明：

( 1 )2

4 , m a x ( )

( 2 ) 4 ,

n n

f n n n

n

 

  



當 為奇數 當 為偶數

。

令 max ( )f n m，則集合 {1,2,3, , }n 中有m 個非空的子集合 A A₁, ₂, ,A 滿足： _m 任兩集合A A 的交集都恰含一個或幾個連續的整數。設_i, _j maxA_i a_i, minA_i b_i， 並令集合B 表示由_i a 至_i b 的連續整數所組成，則_i A_i B_i且集合B B₁, ₂, ,B 也滿 _m 足：任兩集合B B 的交集都恰含一個或幾個連續的整數。由此可得： _i, _j

m a x_i m i n_i

i

i a  b (即得

1 m

i i

B



 )。

可令

1 m

i i

b B



 。對k1, 2,3, ,n，設集合B B₁, ₂, ,B 中恰含 k 個連續整數有_m f b _k( ) 個，則

1

( )

n k k

m f b







(1) 當n2p時，

1

( ) 1 2 ( 1) ( 1) 2 1

n k k

m f b p p p p







2

2 2

4 n n p p 

   。 等號於 b p 或b p 1時成立，故

2 2

max ( )

4 n n f n m 

  。

(2) 當n2p1時，

1 1

( ) ( 1)

n n

k k

k k

m f b f p

 







  1 2 p (p 1 ) p  2 1

2

2 ( 1 )

( 1 ) 4 p n

   。

等號於b p 1時成立，故

( 1)2

max ( )

4 f n m n

  。