教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽 參考解答

教育部 104 學年度高級中學數學能力競賽決賽 參考解答

【獨立研究二】第一題

設 ABCD 為凸四邊形，其頂點

A x y 

1

,

1

  , B x y

2

,

2

  , C x y

3

,

3

  , D x y

4

,

4



的算術平均點 O 之坐 標

^{O x y}  ^, 

^{定義成 1 2 3 4}

4

x x x x

x   



, ^{1 2 3 4}

4

y y y y

y   



。對 ABCD 內或邊上的任意點

P ，定義 ^{f P}   ^{ PA}

²

^{ PB}

²

^{ PC}

²

^{ PD}

^2。試求

^{f P}  

的最小值與最大值(以 ABCD 的邊長 及對角線長或 O 到頂點的距離來表示)。

【解】

答：最小值為 ¹ ( )² ( )² ( )² ( )² ( )² ( )² 4 AB  BC  CD  DA  AC  BD ，

最大值 = 最小值+4PO , 其中²

^PO

²

 ^max  AO BO CO DO

²

^,

²

^,

²

^,

²



。 示意圖如下：

圖(1)

令二元二次函數f x y( , )(PA)²+(PB)²+(PC)²+(PD)²= ^{4 2}

1

( _i)

i

x x





 ^{+ 4 2}

1

( _i)

i

y y





 ^{代表 P 點到}

四頂點的距離平方和，則 ^{f( ,x y)}

4

2 2

1

( 2 _{i i} )

i

x x x x



 



^{+ 4 2 2}

1

( 2 _{i i} )

i

y y y y



 



=

4 4

2 2

1 1

4 2 _{i i}

i i

x x x x

 

 

 



 



^{+ 2 4 4 2}

1 1

4 2 _{i i}

i i

y y y y

 

 

 



 



^。

經由配方法得到

2 2

4 4 4

4

2 1 1 2 1

1

( , ) 4 2 4

4 4 4

i i i

i i i

i i

x x x

f x y x ^ x ^ x ^



       

       

       

    

       

       

 

  



2 2

4 4 4

4

2 1 1 2 1

1

4 2 4

4 4 4

i i i

i i i

i i

y y y

y ^ y ^ y ^



       

       

       

    

       

       

     

 

  



^。

令

4

1

4

i i

x x  

^

，

4

1

4

i i

y y  

^

，則

^{f( ,x y}=^{) 2}

   

^{2 4 2}

 

²

1

4 2 _i 4

i

x x x x x x



    

 

 



^{+ 2}

   

^{2 4 2}

 

²

1

4 2 _i 4

i

y y y y y y



    

 

 



=

 

^{2 4 2}

 

²

1

4 _i 4

i

x x x x



 



 ⁺

 

^{2 4 2}

 

²

1

4 _i 4

i

y y y y



 





=^4_

  

^{xx 2 yy}



^2_^{+ 4 2}

 

²

1 i 4

i

x x





 ^{+ 4 2}

 

²

1 i 4

i

y y





 ^。

其中， ^{4 2}

 

²

1 i 4

i

x x







=x₁²x₂²x₃²x₄² 1 ₁² ₂² ₃² ₄² _{1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4}

( 2 2 2 2 2 2 )

4 x x x x x x x x x x x x x x x x

         

= 1² 2² 3² 4² 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1(3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 )

4 x  x  x  x  x x  x x  x x  x x  x x  x x

= 1 2 ² 1 3 ² 1 4 ² 2 3 ² 2 4 ² 3 4 ²

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 x x  x x  x x  x x  x x  x x 

= ²

1 < 4

1 ( )

4 i j ^{i j}

x x

 

 

  





^。

同理， ^{4 2}

 

^{2 2}

1 1 < 4

4 1 ( )

i 4 i j

i i j

y y y y

  

 

    

 

 

^。

故

( , )

f x y =^4_

  

^{xx 2 yy}



^2_^{+ 2}

1 < 4

1 ( )

4 i j ^{i j}

x x

 

 

  





^{+ 2}

1 < 4

1 ( )

4 i j ^{i j}

y y

 

 

  





^；

即

( , )

f x y =^4_

  

^{xx 2 yy}



^2_^{+ 2 2}

1 < 4

1 ( ) ( )

4 i j ^{i j i j}

x x y y

 

     

  





^。

由幾何意義來看，如圖(2)，

( , )

f x y =4(PO)²+¹ ( )² ( )² ( )² ( )² ( )² ( )² 4 AB  BC  CD  DA  AC  BD 。

若以坐標平均點 O 為圓心，OP為半徑作圓，圓周上任意點的 f x y( , )皆與點 P 的

( , )

f x y 相同。由於¹ ( )² ( )² ( )² ( )² ( )² ( )²

4 AB  BC  CD  DA  AC  BD 是定數，PO²愈大，

( , )

f x y 就愈大，故f x y( , )的最小值發生在 P=O 點，此時 O 不一定是四邊形的重心

(若為正多邊形 O 一定是重心)，而最大值發生在 P 為離 O 最遠的頂點 C 時，如圖 (3)所示。

圖(2) 圖(3)

綜合結論：

最小值發生在 P 是算術平均點 O，其值為

2 2 2 2 2 2

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 AB  BC  CD  DA  AC  BD 。 最大值發生在 P 為離最遠的頂點時，如示意圖即為頂點 C，其值為

4(CO)2+¹ ( )² ( )² ( )² ( )² ( )² ( )² 4 AB  BC  CD  DA  AC  BD ， 即



^{2 2 2 2}

 ¹

^{2 2 2 2 2 2}

4 max , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

AO BO CO DO  4   AB  BC  CD  DA  AC  BD  

。

【獨立研究二】第二題

試問是否存在無限多個正整數 n 同時滿足下列兩個條件：

(1) 若

p 是 n 的質因數，則 p 是 n 的因數；

² (2) 若

q 是 n  1

的質因數，則

q 是

²

n 

1的因數。

【解】

稱滿足題設兩個條件的 n 為一個「好數」。

顯然，8 是一個好數(因為8



2³，而

8 1   3

²)。

以下證明：若 n 為一個好數，則

m 

4 (

n n 

1)也是一個好數。

(1) 當

p 是 m 的質因數時， p 

2或 p 是 n 的質因數或 p 是

n 

1的質因數。

若

p 

2，則

p

²



4為 m 的因數。若 p 是 n 的質因數或 p 是

n 

1的質因數，則 因為 n 為一個好數，故

p

²是 n 的因數或

p

²為

n 

1的因數；得知：

p

²為 m 的因數。

(2) 因為

m   1 4 ( n n    1) 1 (2 n  1)

²是一完全平方數，故當 q 是

m 

1的質因數時，

q 也會是

2

m 

1的因數。

因此，有無限多個好數。

例如：

3 2

5 2 2

7 2 2 2

8 2 , 9 3

288 4 8 9 2 3 , 289 17

332928 4 288 289 2 3 17 , 332929 577

 

     

      

。

【獨立研究二】第三題

設

a a

₁

,

₂

, , a

_n1都是正整數，且滿足

a

₁

 a

₂

  a

_n1

 3 n

，其中

n 

1。 試證：存在 {1, 2,3, ,

n 

1}的子集合 S 使得 _i

i S

a n







。

【解】

令

1 k

k i

i

S a

 

 ，

k 

1, 2, ,

n 

1。若存在某

S

_k

 n

，顯然滿足所求；

若存在某

S

_k

 2 n

，則 ^{1 1}

1 1 1

3 2

n n k

i i i

i k i i

a a a n n n

 

 

  



 



  

，亦顯然滿足所求。

現在假設

S

_k

 n n

, 2 ，

k 

1, 2, ,

n 

1，同時假設

S   n S

_1，

S

_m



2

n  S

_m1。 今考慮以下三個集合：

A  { , S S

_{1 2}

, , S }

，

B  { S

_1

 n S ,

_2

 n , , S

_m

 n }

，

C  { S

_m1

 2 , n S

_m2

 2 , n ,

_n

S

_1

 2 }

。

n

顯然，

A  B  C   n

1，而且各集合的元素皆在 1 和 n 之間，由鴿籠原理知道以下三種 情形至少有一種會發生：

(1) A

  B 

，也就是存在

1 i  

和

  

1

j m

使得

S

_i

 S

_j

 m

， 因而

1 j

j i s

s i

n S S a

   

  ，滿足所求。

(2) B

  C 

，也就是存在

  

1 i

m

和

m    

1

j n

1使得

S

_i

  n S

_j



2

n

， 因而

1 j

j i s

s i

n S S a

   

  ，滿足所求。

(3) A

  C 

，也就是存在1 i

 

和

m    

1

j n

1使得

S

_i

 S

_j



2

n

，

因而 ¹ ₁

1 1

( ) 3 2

i n

s s n j i

s s j

a

^

a S

_

S S n n n





 

     

 

，滿足所求。

由(1)、(2)和(3)得證！