行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告
關於規則網路的支配問題之研究(2/3)
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC92-2213-E-011-005-
執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學資訊管理系
計畫主持人： 王有禮
報告類型： 精簡報告
處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 93 年 4 月 16 日
行政院國家科學委員會專題研究計劃期中進度報告 關於規則網路的支配問題之研究
A Study on Domination in Regular Networks 計劃編號：NSC 91-2213-E-011-044
執行期限：92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日
一、 中英文摘要
(一) 中文摘要
在分散式系統中，為了要讓所有的處理器，都能在一個單位時間內，獲得相 同的資料，因此資料必須被以分散的方式儲存在一些資料伺服器中，而儲存資料 的資料伺服器之選擇，即為支配集合(minimum dominating set)。而在網路上作資 料的繞送(routing)方面，則是最短路徑的支配(geodetic set)問題。倘若對於不同之 網路節點與邊的關聯配對，給予限制需使用不同頻率時，可變化成關聯著色問題 (incidence coloring)。由此可見，研究最短路徑的支配集合及關聯配對數問題，有 其符合實務需求的必要性。在本計劃中，我們將探討互連網路，連線方式較為規 則的幾個網路拓樸，其中包括有環狀圖(cycles)、區塊仙人掌圖(block-cactus graphs) 及網格圖(meshes)…等等。在此，我們將上述之網路拓樸統稱為規則網路(regular networks)。在本研究計劃的第二年，我們不但延續了第一年之研究成果，更將前 一年之結果與以擴大，而在一些規則網路上提出決定最短路徑支配集合之最小及 最大強迫數的演算法，另外，並給予一簡單公式來計算一些規則網路的最小關聯 著色數。
關鍵詞：最短路徑支配集合，關聯著色，互連網路。
(二) 計畫英文摘要
In a distributed system, the copies of data are always stored on nodes of a dominating set. In this way, the other nodes can receive the data within one unit of transmission time. Consider routings in networks, the nodes on some shortest path of a routing are decided by a geodetic set. On the other hand, the incidence coloring problem is another issue which related to the constraints between a dominating set and its neighbors of a network. Therefore, the study on geodetic set and minimum incidence coloring numbers is especially important. In this study, several network topologies, called regular networks, are discussed. Regular networks consist of cycles, block-cactus graphs, meshes…etc. During the second year of the study, we expand the previous work and explore the forcing geodetic numbers and incidence coloring numbers in such networks.
Keywords: Geodetic sets, Incidence coloring numbers, Interconnection networks.
二、 前言與研究目的
規則網路在網路拓撲的領域，一直被廣泛地運用，其主要因素是規則網路具 有以下共同之特微：(1) 連線的規則性； (2) 易於擴充，甚至具備遞迴成長的特 性； (3) 強固性，具有高度的點或線之容錯能力 [1,4,17,30,35,39]。相對地，資 料在規則網路上的傳輸，在時效性的要求上也非常高。因此，如何將實務應用的 問題，另以圖論的模式來定義，並配合有效之演算法來解決，是迫切地需要。目 前已有不少的文獻，對於規則網路之支配相關問題予以探討。而對於最短路徑支 配集合(geodetic set)之研究，近年來在一些規則網路上又再度被熱烈地探討，且 持續有更新的結果被建立，而且這個問題若是被加入強迫數的觀念，則在規則網 路圖形如 trees, cycles, hypercubes 和 bipartite graphs 上多有討論。至於最短路徑 支配集合，則是始於前年才被熱烈地探討。
目前是本計劃的第二年執行階段，我們依計劃的預期進度，在規則網路上從 事支配相關問題的研究。其緣由如下：(1) 結合支配問題的觀念及最短路徑之要 求，決定最小的最短路徑支配集合，並更進一步探討其最小強迫數，有其重要性；
(2) 在支配與被支配者之間，若是賦予一些限制，則可以變化成著色問題。而重 要的是，著色問題在任務分派、暫存器之配置以及印刷電路板的測試等等上有許 多的重要應用。
我們首先以 hypercubes 和 cycles 為例來描述最短路徑支配問題。圖一(a)是 維度為三的 hypercubes，每一個節點有著個別不同的編號，如果我們假設節點 000 為其最小的最短路徑支配集合的一員的話，那麼此圖之最小的最短路徑支配集合 必定是{000, 111}，則我們稱節點 000 強迫節點 111，也就是說，此圖之最小強迫 數為 1。同樣地，集合{001, 110}, {010, 101}等等皆為此圖的最小的最短路徑支配 集合。同時，此圖之最大強迫數亦為 1。然而，並非所有的圖之最小強迫數與之
最大強迫數都相等。以圖一(b)為例，如果節點集合{1, 2}為此圖最小的最短路徑 支配集合的子集合的話，則節點 6 必定與{1, 2}形成最小的最短路徑支配集合，
所以強迫數是 2；另一種情況是，若是節點集合{1, 3}為此圖最小的最短路徑支 配集合的子集合的話，那麼我們可以發現，節點 6 或是節點 7 都可以和{1, 3}結 合成最小的最短路徑支配集合，而此情況下，強迫數是 3。因此圖一(b)之最小強 迫數為 2，而最大強迫數為 3。
(a) A hypercube. (b) A cycle.
圖一、最短路徑支配集合。
接著，我們以圖二為例來介紹最小關聯著色數問題。最小關聯著色問題是對於每 一個節點與邊之關聯配對如（配對(v1, e1)稱之為關聯配對）給予一種顏色，而且
圖二、關聯著色數問題。
不同的關聯配對間需設定不同之顏色。圖二含有六個節點 v1, v2, · · · , v6 以及七 個邊 e1, e2, · · · , e7。我們可以對於 (v1, e1) 給予顏色c4，對 (v1, e3) 塗以c3，而對
(v2, e1) 塗上 c1，並依此類推。所以圖二需要四種顏色，則我們稱此圖的最小關 聯著色數為4。
三、 研究方法與結果
本計劃計分三年執行。針對規則網路，我們已於第一年的執行階段提出：(1) directed split-stars 之支配集合的唯一性； (2) undirected star graphs 的回饋節點集 合之最小性； (3) meshes, tori 及 complete n-partite graphs 的最短路徑支配集之強 迫性等成效。目前係為第二年執行階段，我們持續擴大此計劃之成果，計已提出 下列期中成效：(1) 尋找 block-cactus graphs 的最短路徑支配集之最小及最大強 迫數的演算法； (2) 決定 square meshes, hexagonal meshes 及 honeycomb meshes 等規則網路的最小關聯著色數之通式解法。。
首先，我們介紹最短路徑支配集之最小強迫數問題。植基於計畫第一年在規 則網路中求解支配集合以及在 meshes, tori 及 complete n-partite graphs 的最短路徑 支配集之強迫性等成效的經驗，再進一步深入地推廣、應用在求解 block-cactus graphs 的最短路徑支配集之最小及最大強迫數問題。在此研究中，我們先在 cycles, trees 上獲得決定最短路徑支配集之最小強迫數，接著在其更一般化的圖形 cactus graphs 上求得一個有效率之解法。更進一步地，我們結合在 block graphs 上之 cut vertices 的決定方法，最後在一種又更一般化的圖形 block-cactus graphs 上提出一 個最短路徑支配集之最小強迫數的演算法。
在期中進度結果的第二部分，我們在另一類型之規則網路 meshes 上，提出 演算法，以用來決定關聯著色之著色數。在本研究中，我們先探討了此問題在其 他圖形上的相關研究。在過去的文獻，對於關聯著色之求解，多限制於圖形之最 大分支度，學者 Brualdi 和 Masseymeshes 等人提出一猜測指出：「所有的圖形可 以用∆+2 種顏色完成關聯著色。」，其中∆表示圖形的最大分支度 [3]。但是，另 一位學者 Guiduli 舉出反証 [19]。顯然這個問題很難，幸運的是在最近此問題在 一種規則網路圖形 cubic graphs 得到一個解法，所以，我們研讀該文獻之做法，
因而萌生一些不錯的想法。在本研究中，我們針對 square meshes, hexagonal meshes 以及 honeycomb meshes 等規則網路用一種更加一般化的公式來呈現，於 是，讓整個求解變得非常簡單。
四、討論
植基於本計畫第一年的基礎研究，在計畫的第二年，我們更進一步地將支配 問題之定義推廣，著手研究規則網路上的兩個主題：(1) 最短路徑的支配問題以 及其最小強迫數的探討；(2) 關聯著色(incidence coloring)問題。分述其初步成果 如下：
(1) 最短路徑支配問題，在去年的文獻中，有學者 Zhang 提出了相關的強迫性 觀念 [40]，文獻裡導入了最大強迫最短路徑支配參數。我們在此研究裡，
相對地提出最短路徑支配集合之最小強迫參數，並且也獲得了預期的成效，
因此，在接續的第二年研究中，我們投入了主要之人力將此項結果更為擴 大。對於 block-cactus graphs 的最短路徑支配集合之研究，我們參閱過去的 文獻，尚未有相關的成果。在本研究中，我們首先決定 cycles 和 block graphs 的最短路徑支配集合，並運用此些結果去分別求解其最短路徑支配集合之最 小以及最大強迫數。我們在此研究裡，再次獲得了預期的成效，因此，我們 預計在其他相關規則網路上，繼續再深入其有關的研討，並將此項成果再予 以發揚光大。
(2) 關聯著色問題，學者 Shiu 等人在西元 2002 年證明了在 cubic graphs 上可以 用∆+2 種顏色完成關聯著色 [34]。我們在此計劃的第二年研究裡，有藉於對 於一些規則網路之瞭解，並把握住有關規則網路 meshes 的一些特性，於是 提出一簡單的公式，使得某些變形 meshes 的關聯著色問題，可以在常數時 間就被決定。而此項結果屬本計劃之另一萌芽研究，因此，我們預計在其他 相關規則網路的研究能將此項結果更為擴大。
此些成果符合本計劃之預期，也帶給我們接續第三年的後續研究一個明確可 行的方向。因此，未來我們急於獲知的是，(1) 比 block-cactus graphs 更大的圖，
是否亦存在一有效率之演算法，可決定其最短路徑支配集合之最小或最大強迫 數？(2) 對於其他的眾多規則網路裡，有哪些規則網路的最短路徑支配集合之最 小或最大強迫數，是可以被有效率地決定？(3) 我們於此研究中所提出適用在 square meshes, hexagonal meshes 以及 honeycomb meshes 等規則網路上之關聯著 色的公式解法，是否可以被更進一步地應用在 general meshes 上的通式解法？有 鑒於支配集合之相關研究有許多的變化且多具有實際之應用性，本計劃將在後續 一年的執行過程，繼而做更為深入且廣泛地探討。
五、計劃成果
本研究之部分結果已發表於國際學術期刊 Information Processing Letters 一 篇[37] 及 Computers & Mathematics with Applications 一篇[25], 另發表於第二十 屆組合數學與計算理論研討會一篇[36]及 2003 年全國計算機會議一篇[38]，並已 投寄國際學術期刊 European Journal of Operational Research [38]。
六、參考文獻
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