第十章機率與統計

(1)

第十章機率與統計

10-1 樣本空間與事件

集合的基本概念

1. 集合與元素：

(1)集合是由一些明確而且可辨認的事物所組成的群體，組成這個群體的每一個事物，稱為這個集合的元素。

(2)通常以大寫字母 A 、 B 、C、…等表示集合，以小寫字母a、b、c、…等表示元素。

(3)若a是集合 A 中的一個元素，則以符號「a∈A」表示，讀作「a屬於 A 」。

(4)若a不是集合 A 中的一個元素，則以符號「a∉A」表示，讀作「a不屬於 A 」。

2. 集合的表示法：

(1)列舉法：將集合中的每一個元素，逐一列在一個大括號{ }內，重複的元素列舉一次即可，且各元素之先後順序無關。

例如：{ , , } { , , } { , , , }a b c = c a b = a a b c 均表示同一集合。

(2)構式法：將集合以符號{ |x x具有的特性}來表示。

例如：{ | 0x < <x 1 ，x∈R}表示介於₀到₁之間所有實數所成之集合。

3. 子集（部分集合）：

(1)若集合 A 中的每一個元素都是集合 B 的元素，則稱 A 為 B 的「子集」，以符號「 A⊂B」 表示，讀作「 A 包含於 B 」。

(2)不含任何元素的集合稱為「空集合」，以符號_{{ }}或φ^{表示。規定}φ^{為任何集合的子集。}

(3)任一集合A為其本身的子集，即 A⊂A。 (4)若集合 A 有n個元素，則 A 的子集共有2ⁿ個。

4. 集合的相等：

若集合 A 、 B 含有完全相同的元素，則稱此兩集合相等，以符號「 A B= 」表示。

即「 A⊂B且 B⊂ A ⇔ A=B」。

★ 子集合 ★

試寫出A={ , , }a b b 的所有子集合。

集合A={ , }a b （重複算1個）

集合A的子集有：

φ^{、{ }}a 、{ }b 、{ , }a b

∴ 子集合有₂² =₄個

試寫出A={1, 2, 2, 3}的所有子集合。

集合A={1, 2, 3}（重複算1個）

集合A的子集有：φ^、{1}^、{2}、{3}^、 {1, 2}、{2, 3}、{1, 3}、{1, 2, 3}

∴ 子集合有2³ =8個

(2)

★ 集合的相等 ★ 設A={x+1, 2x−y}、B={x−2, 3}，若 A B= ，

試求_x₊_y之值。

∵ A=B又x+ ≠ −1 x 2

⇒ ¹ ³

2 2

x

x y x

 + =

 − = −

 ⇒ ²

4 x y

 =

 =



∴ x+y=6

設A={x+1, 7}、B={x+2 , 2}y ，若 A B= ，試求_x₊_y之值。

∵ A=B又7≠2

⇒ ¹ ²

2 7

x x y

 + =

 + =

 ⇒ ¹

3 x y

 =

 =



∴ x+y=4

集合的運算

1. 聯集：由集合 A 與 B 中所有元素所成的集合，

稱為 A 與 B 的「聯集」，

記為A∪B=_{{ |}x x∈A或x∈B_}。

2. 交集：由集合 A 與 B 中共同元素所成的集合，

稱為 A 與 B 的「交集」，

記為A∩B={ |x x∈A且x∈B}。

3. 差集：屬於集合 A 但不屬於 B 之所有元素所成的集合，

稱為 A 與 B 的「差集」，

記為A B− ={ |x x∈A但x∉B}。 A−B≠B−A。

4. 宇集：在集合的問題中，若每一個集合都是某一固定集合的子集，則稱此固定集合為「宇集」，以符號「_U」表示。

5. 補集：若集合 A 為宇集U的子集，

則_U ₋_A稱為集合 A 的「補集」，

記為A′ ={ |x x U∈ 但x∉A}。 A−B=A∩B′。 6. 笛摩根定理：

(1)(A∪B)′=A′∩B′。 (2) (A∩B)^′ = A′∪B′。

7. 集合的元素個數計數：設 ( )n A 表示集合 A 的元素個數 (1)n A( ∪B)=n A( )+n B( )−n A( ∩B)。

(2)n A( ∪ ∪B C)=n A( )+n B( )+n C( )−n A( ∩B)−n B( ∩C)−n A( ∩C)+n A( ∩ ∩B C)。 (3)n A( ∩B')=n A B( − )=n A( )−n A( ∩B)。

(3)

★ 集合的運算與狄摩根定理 ★ 設U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}、 A={1, 3, 5, 7, 9}、

{1, 2, 3, 4, 5}

B= 、C={2, 4, 6,8}，試求：

(1)(A∪B)−C (2)(A∪B ′) (3)A′∩B′。 (1)A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

(A∪B)−C

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} {2, 4, 6,8}

= −

{1, 3, 5, 7, 9}

=

(2)A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

(A∪B ′) ={6,8}

(3)A′={2, 4, 6,8}，B′={6, 7,8, 9}

{6,8}

A′∩B′=

設U ={0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}、A={1, 2, 3, 4, 5}、 {4, 5, 6, 7}

B= 、C={1, 3, 5, 7}，試求：

(1)A∪(B∩C) (2)(A∩B ′) (3)A′∪B′。 (1)B∩C={5, 7}

( )

A∪ B∩C

{1, 2, 3, 4, 5} {5, 7}

= ∪ ={1, 2, 3, 4, 5, 7}

(2)A∩B={4, 5}

(A∩B ′) ={0,1, 2, 3, 6, 7,8}

(3)A′={0, 6, 7,8}，B′={0,1, 2, 3,8}

{0,1, 2, 3, 6, 7,8}

A′∪B′=

★ 集合的運算 ★

設A={3, 4, 2a+1}、B={5, 5b−2, 7}，若A∩B={3, 7}，試求_a、_b之值。

∵ A∩B={3, 7}

∴ ² ¹ ⁷ 5 2 3

a b

 + =

 − =



⇒ _a₌₃，b=1

設A={1, 3,x+2}、B={2, 6, 2y−3}，若A∩B={3, 6}，試求_x、 y 之值。

∵ A∩B={3, 6}

∴ ² ⁶ 2 3 3 x

y

 + =

 − =



⇒ _x₌₄，y=3

★★ 集合的元素個數計數 ★★

某班有40位學生，若期中考數學及格的有20 位，英文及格的有22位，英、數兩科皆及格的有13位，則數學或英文及格的有幾位？

A：數學及格 ⇒ n A( )=20 B：英文及格 ⇒ n B( )=22

A∩B：兩科皆及格 ⇒ n A( ∩B)=13

( ) ( ) ( ) ( )

n A∪B =n A +n B −n A∩B 20 22 13 29

= + − = （位）

全班40位學生，若某次考國文、數學兩科皆及格的有18位，兩科皆不及格的有8位，則恰有一科及格的有幾位？

A：國文及格，B：數學及格

A∩B：兩科皆及格 ⇒ n A( ∩B)=18

∵ n A( ′∩B′)=n U( )−n A( ∪B)

⇒ 8=40−n A( ∪B)

⇒ n A( ∪B)=32

∴ 恰有一科及格=n A( ∪B)−n A( ∩B) 32 18 14

= − = （位）

(4)

樣本空間與事件

1. 樣本空間：在一個隨機試驗中，所有可能發生的結果所成的集合，稱為此試驗的樣本空間，以_S表示。樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本點。

2. 事件：樣本空間_S的每一個子集，稱為樣本空間_S的一個事件。

設 A 、 B 為樣本空間S的二事件，則

(1)全事件：樣本空間_S是本身的子集，稱_S為全事件（必然事件）。 (2)空事件：φ^為S的子集，稱φ為空事件（不可能事件）。

(3)和事件： A B∪ 稱為 A 與 B 的和事件。

(4)積事件： A B∩ 稱為 A 與 B 的積事件。

(5)餘事件： A′ 稱為事件 A 的餘事件。

(6)互斥事件：若 A B∩ = ，則稱 A 與 B 為φ 互斥事件。

★ 樣本空間與事件 ★

擲一枚均勻硬幣三次，試求：

(1)樣本空間_S。

(2)出現二正面一反面的事件 A 。 (3)至少出現二正面的事件 B 。

(1)S ={(正正正₎、₍正正反₎、₍正反正₎、 (反正正₎、₍正反反₎、₍反正反₎、 (反反正₎、₍反反反_)}

(2)A={(正正反₎、₍正反正₎、₍反正正_)}

(3)B={(正正反₎、₍正反正₎、₍反正正₎、 (正正正_)}

擲一枚均勻硬幣二次，試求：

(1)樣本空間_S。

(2)出現一正面一反面的事件 A 。 (3)至少出現一正面的事件 B 。

(1)S={(正正₎、₍正反₎、₍反正₎、₍反反_)}

(2)A={(正反₎、₍反正_)}

(3)B={(正反₎、₍反正₎、₍正正_)}

★ 樣本空間與事件 ★

擲一顆公正的骰子三次，試求：

(1)點數和為₅的事件 A 。 (2)點數均相同的事件 B 。

(1)A={(1,1,3)、_(1,2,2)、_(1,3,1)、_(2,1,2)、 (2,2,1)、_(3,1,1)}

(2)B={(1,1,1)、_(2,2,2)、_(3,3,3)、_(4,4,4)、 (5,5,5)、_(6,6,6)}

擲一顆公正的骰子兩次，試求：

(1)點數和為₆的事件 A 。

(2)第一次點數小於第二次點數的事件 B 。 (1)A={(1,5)、_(2,4)、_(3,3)、_(4,2)、_(5,1)}

(2)B={(1,2)、_(1,3)、_(1,4)、_(1,5)、_(1,6)、

(2,3)、_(2,4)、_(2,5)、_(2,6)、_(3,4)、 (3,5)、_(3,6)、_(4,5)、_(4,6)、_(5,6)}

(5)

( Ａ_{) 1.}設A={1, 2,{1, 2}}，則下列敘述何者錯誤？ _(A){1}∈A (B){1}⊂A (C){1, 2}∈A (D){1, 2}⊂A。

2. 設A={1, 2, 3, 3}，則 A 的子集共有 8 個。

3. 設A={2y+1,x−3}，B={x−1,y−2}，若 A B= ，則x+y= −1 。 4. 設A={1, 2, 3, 4, 5}，，，，B={2, 3, 4}，C={3, 4, 5}，則

(1)A∩(B∪C)= {2, 3, 4, 5} ，(2)(A∪B)−C= {1, 2} ，(3)C−(A∩B)= {5} 。

5. 某班有50位學生，參加會計學測驗，通過學科有35位，通過術科有31位，同時通過學、

術科的有20位，則

(1)學、術科至少通過一科，有 46 位。

(2)通過學科但術科沒有通過，有 15 位。

6. 擲一顆公正的骰子一次，則

(1)出現偶點數的事件 A = {2, 4, 6} ，(2)出現奇數點的事件 B = {1, 3, 5} ， (3)點數大於3的事件C= {4, 5, 6} ，(4)事件 A 和事件 B 是否互斥？ 是， (5)事件 A 和事件C是否互斥？不是。

1. 在₁到₂₀₀的自然數中，

(1)是₄或₆的倍數共有 ₆₇ 個。

(2)是₄的倍數，但不是₆的倍數共有 ₃₄ 個。

(3)不是₄的倍數，且不是₆的倍數共有 ₁₃₃ 個。

(6)

10-2 求機率問題

古典機率

機率的定義：設一隨機試驗的樣本空間_S為有限集合，_S中的每一個樣本點出現的機會均等，若A⊂S為一事件，則事件 A 發生的機率為 ( )

( ) ( ) n A A

P A = n S = S的元素個數的元素個數。

★ 機率 ★

擲一枚均勻硬幣三次，試求出現一正面二反面的機率。

設A：出現一正面二反面 ( ) 2 2 2 8

n S = × × =

A={(正反反₎、₍反正反₎、₍反反正_)}

⇒ n A( )=3 ( ) 3 ( ) ( ) 8 P A n A

= n S =

擲一枚均勻硬幣二次，試求出現一正面一反面的機率。

設A：出現一正面一反面

S ={(正正₎、₍正反₎、₍反正₎、₍反反_)}

⇒ n S( )=4

A={(正反)、(反正)} ⇒ n A( )=2 ( ) 2 1

( ) ( ) 4 2 P A n A

= n S = =

★★ 機率 ★

擲一顆公正的骰子三次，試求點數和為 5 的機率。

設A：點數和為5 ( ) 6 6 6 216 n S = × × =

A={(1,1,3)、(1,2,2)、(1,3,1)、(2,1,2)、 (2,2,1)、_(3,1,1)}⇒ n A( )=6

( ) 6 1

( ) ( ) 216 36 P A n A

= n S = =

擲一顆公正的骰子兩次，試求點數和為 7 的機率。

設A：點數和為7 ( ) 6 6 36 n S = × =

A={(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)}

⇒ n A( )=6

( ) 6 1 ( ) ( ) 36 6 P A n A

= n S = =

★★ 機率 ★★

甲、乙、丙、…等 ₇ 人排成一列，試求甲、

乙相鄰的機率。

P(甲乙相鄰) 6! 2! 2 7! 7

= × =

甲、乙、丙、…等₇人圍圓桌而坐，試求甲、

乙相鄰的機率。

P(甲乙相鄰) 5! 2! 1 6! 3

= × =

(7)

★★ 機率 ★★

袋中有 ₃ 紅球、₅ 白球，今隨機一次取出三球，試求：

(1)取到三球同色的機率。

(2)取到一紅球二白球的機率。

(1)P(三同₎

3 5

3 3

8 3

11 56 C C

C

= + =

(2)P(一紅二白₎

3 5

1 2

8 3

30 15 56 28 C C

C

= × = =

自裝有₄白球、₃紅球、₂黑球的袋中，任取三球，每球被取到的機會均等，試求：

(1)取到三球異色的機率。

(2)取到一白球二紅球的機率。

(1)P(三異₎

4 3 2

1 1 1

9 3

24 2 84 7

C C C

C

× ×

= = =

(2)P(一白二紅₎

4 3

1 2

9 3

12 1 84 7 C C

C

= × = =

機率的性質

設 A 、 B 、C為樣本空間S的三事件，則 1. 全事件的機率： ( ) 1P S = 。

2. 空事件的機率： ( ) 0Pφ = 。

3. 任一事件 A 的機率範圍： 0≤P A( )≤ 。1 4. 機率的單調性：若 A⊂B，則 ( )P A ≤P B( )。 5. 和事件的機率：

(1)P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B)。

(2)P A( ∪ ∪B C)=P A( )+P B( )+P C( )−P A( ∩B)−P B( ∩C)−P A( ∩C)+P A( ∩ ∩B C)。 6. 餘事件的機率：₍₁₎P A( ′ = −) 1 P A( )。

₍₂₎P A( ′∩B′)= −1 P A( ∪B)。 ₍₃₎P A( ′∪B′)= −1 P A( ∩B)。

7. 互斥事件的機率： A B∩ =φ ⇒ P A( ∩B)= ，即 (0 P A∪B)=P A( )+P B( )。 8. 差事件的機率： (P A B− )=P A( ∩B′)=P A( )−P A( ∩B)。

★ 餘事件的機率 ★

擲一枚均勻硬幣三次，試求至少出現一反面的機率。

設S：樣本空間 ⇒ n S( )= × × =2 2 2 8 A：出現₀反面

A={(正正正)} ⇒ n A( )=1

P(至少一反面) 1 7 1 ( ) 1

8 8

= −P A = − =

擲一顆公正的骰子兩次，試求點數和小於 ₁₀ 的機率。

設 S：樣本空間 ⇒ n S( )= × =6 6 36 A：點數和_≥₁₀

A={(4,6)、_(5,5)、_(5,6)、_(6,4)、_(6,5)、 (6,6)} ⇒ n A( )=6

P(點數和<10) 6 5 1 ( ) 1

36 6

= −P A = − =

(8)

★ 機率的性質 ★ 設 A 、 B 為二事件，若 ( ) 0.3P A = 、

( ) 0.6

P B′ = 、 (P A∩B)=0.2，試求：

(1)P B ( ) (2)P A( ∪B) (3)P A( ′ ∩B)。 (1)P B( )= −1 P B′( )=0.4

(2)P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B) 0.3 0.4 0.2 0.5

= + − =

(3)P A( ′ ∩B)=P B( )−P A( ∩B) 0.4 0.2 0.2

= − =

設 A、B 為二事件，若 1 ( ) 2

P A = 、 1 ( ) 3 P B = 、 ( ) 1

P A∩B =4，試求：

(1)P B′ ( ) (2)P A( ∪B) (3)P A( ∩B′)。 (1)

( ) 1 ( ) 2 P B′ = −P B = 3

(2)P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B) 1 1 1 7

2 3 4 12

= + − = (3)P A( ∩B′)=P A( )−P A( ∩B)

1 1 1 2 4 4

= − =

★ 互斥事件 ★

設 A 、 B 為互斥事件，且 1 ( ) 2 P A = ， ( ) 3

P B′ = 4，試求 (P A∪B)。

∵ A、B為互斥事件 ∴ P A( ∩B)=0

又 1

( ) 1 ( ) P B = −P B′ =4

( ) ( ) ( ) ( )

P A∪B =P A +P B −P A∩B

1 1 3

2 4 0 4

= + − =

設 A 、 B 為互斥事件，且 ( ) 0.6P A′ = ， ( ) 0.3

P B = ，試求 (P A∪B)。

∵ A、B為互斥事件 ∴ P A( ∩B)=0 又P A( )= −1 P A′( )=0.4

( ) ( ) ( ) ( )

P A∪B =P A +P B −P A∩B 0.4 0.3 0 0.7

= + − =

★★ 機率的應用 ★★

從 1 到 100 的自然數中，任取一數，每個數被取到的機會均等，試求取到 2 或 3 的倍數之機率。

設_S：樣本空間 ⇒ n S( )=C₁¹⁰⁰ =100 A：2的倍數 ⇒ 100

( ) [ ] 50 n A = 2 = B：₃的倍數 ⇒ 100

( ) [ ] 33 n B = 3 = A∩B：6的倍數 ⇒ 100

( ) [ ] 16 n A∩B = 6 = 故取到₂或₃的倍數之機率為

( ) ( ) ( ) ( )

P A∪B =P A +P B −P A∩B 50 33 16 67 100 100 100 100

= + − =

某公司徵求三名員工，有甲、乙、丙、丁、

戊、己等 6 人應徵，每個人被錄取的機會均等，試求甲或乙被錄取的機率。

設_S：樣本空間 ⇒ n S( )=C₃⁶ =20 A：甲被錄取 ⇒ n A( )=C₁¹×C₂⁵ =10 B：乙被錄取 ⇒ n B( )=C₁¹×C₂⁵ =10 A∩B：甲乙均錄取 ⇒ n A( ∩B)=C₁⁴ =4 故甲或乙被錄取的機率為

( ) ( ) ( ) ( )

P A∪B =P A +P B −P A∩B 10 10 4 4 20 20 20 5

= + − =

(9)

1. 投擲兩公正骰子，其點數和等於₆的機率為 ⁵ 36 。

2. 若同時丟擲兩個公正骰子一次，則出現最大點數小於或等於3的機率為 ¹

4 。

3. 由「1、2、3、4、5、6、7、8」八個數中任選二數，則 (1)其和是偶數的機率為 ³

7 。 ₍₂₎其積為偶數的機率為 ¹¹ 14 。

4. 擲一枚均勻硬幣五次，則

(1)恰出現三正面的機率為 ⁵

16 。 (2)至少出現一正面的機率為 ³¹

32 。 (3)至少出現三正面的機率為 ¹

2 。

5. 一袋中有相同的5紅球、3白球，2黑球，設每球被取出的機會相等，則

(1)一次取出₁球，取得紅球的機率為 ¹ 2 。 (2)一次取出2球，2球同色之機率為 ¹⁴

45 。 (3)一次取出₂球，₂球異色之機率為 ³¹

45 。 (4)一次取出3球，3球同色之機率為 ¹¹

120 。 (5)一次取出₃球，₃球異色之機率為 ¹

4 。

(6)一次取出3球，取出為1紅球、2白球的機率為 ¹ 8 。 (7)一次取出₃球，至少含₁紅球的機率為 ¹¹

12 。 (8)一次取出3球，至少含2紅球的機率為 ¹

2 。 6. 設 A 、 B 為樣本空間S中的二事件，已知 1

( ) 3

P A = 、 1 ( ) 4

P B = 、 5

( )

P A∪B =12，則 (1)P A( ∩B)= ¹

6 ；(2)P A( ∩B′)= ¹

6 。

(10)

7. 設 A 、 B 為樣本空間中S的兩互斥事件，且 1 ( ) 3

P A = 、 1 ( ) 4 P B = ，則 (1)P A( ∩B)= 0 ；(2)P A( ∪B)= ⁷

12 。

1. 甲、乙、丙₃人合住一室，每天抽籤決定₁人打掃，則在₆天中，恰好每人各打掃₂天的

機率為 ¹⁰ 81 。

2. 甲、乙二袋中各有15個球，分別標記1、2、3、…、15等號碼，今隨機從兩袋中各取一球，

則₍₁₎此二球數字最大者為₁₀的機率為 ¹⁹

225 。 (2)此二球數字之和為10的機率為 ¹

25 。 (3)此二球數字之差為₁₀的機率為 ²

45 。

3. 甲、乙、丙、…等7人排成一列，則甲排在乙、丙左邊的機率為 ¹

3 。

4. 袋中有9顆球，分別編號為1 到9號，且每一球被取出之機會均，若第一次取出的球編號

為_a，然後將球放回袋中，再將第二次取出的球編號為_b，則a 1

b ≥ 的機率為 ⁵

9 。

(11)

10-3 數學期望值

數學期望值

1. 分割：

設A 、₁ A 、₂ A 、…、₃ A 為樣本空間_k S的_k個非空事件，且滿足 (1)A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k =S。

(2)A_i∩A_j = ， iφ ≠ j (i 、 j= 1、₂、₃、…、_{k )}。則稱_{A A A₁_, ₂_, ₃_,_,A_k_}為樣本空間_S的一個分割。

若{ ,A A A₁ ₂, ₃,,A_k}為樣本空間 S 的一個分割，

則P A( )₁ +P A( ₂)+P A( ₃)++P A( _k)=1。

2. 數學期望值：

(1)事件的期望值

設事件 A 發生的機率為 P ，若事件 A 發生可得m元，則_{m P}_× 稱為事件 A 的數學期望 值，簡稱期望值，以「 E 」表示，即E=m P× 。

(2)隨機試驗的期望值

設{A A A₁, ₂, ₃,,A_k}為樣本空間_S的一個分割，且事件A 發生的機率為_i P ，若事件_i A 發_i 生可得m 元_i (i=1、₂、₃、…、_{k )}，則E=m₁×P₁+m₂×P₂++m_k×P_k稱為此隨機試驗的數學期望值，簡稱期望值。

數學期望值即加權平均值。

★★ 期望值 ★★

設袋中有50元硬幣3枚，10元硬幣5枚，5 元硬幣 2 枚，今自袋中任取 1 枚硬幣，試求幣值的期望值。

硬幣 50 元 10 元 5 元

金額＄ 50 10 5

機率P 3

10

5 10

2 10 期望值

3 5 2

50 10 5 21

10 10 10

E= × + × + × = （元）

擲一公正骰子一次，若出現奇數點可得 10 元，若出現2點或4點可得20元，若出現6 點要賠40元，試求此試驗的期望值。

點數奇數點 2 或 4 點 6 點

金額＄ 10 20 −40

機率P 3

6

2 6

1 6 期望值

3 2 1

10 20 ( 40) 5

6 6 6

E= × + × + − × = （元）

(12)

★★ 期望值 ★★

自裝有3紅球、2白球的袋中，任取二個球，

若二球同色可得 100 元，若二球不同色可得 50元，試求此試驗的期望值。

顏色 2 紅或 2 白 1 紅 1 白

金額＄ 100 50

機率 P

3 2

2 2

5 2

2 5 C C

C

+ =

3 2

1 1

5 2

3 5 C C

C

× =

期望值 2 3

100 50 70

5 5

= × + × = （元）

某機構發行每張100元的公益彩券2000張，

其中特獎1張獎金10萬元，頭獎2張獎金各 1萬元，貳獎100張獎金各200元，試求購買一張獎金的期望值。

彩券獎金的期望值

1 2 100

100000 10000 200

2000 2000 2000

E= × + × + ×

=70（元）

★★ 期望值 ★★

設袋中有₅元硬幣₄枚，₁₀元硬幣₆枚，今自袋中任取₂枚硬幣，試求幣值的期望值。

硬幣 5+5 5+10 10+10

金額＄ 10 15 20

機率 P

4 2 10 2

6 45 C C =

4 6

1 1

10 2

24 45 C C

C

× =

6 2 10 2

15 45 C C =

期望值

6 24 15

10 15 20 16

45 45 45

E = × + × + × = （元）

另解：

先算取₁枚的期望值為 4 6

5 10 8

10 10

× + × =

故取2枚的期望值為8 2× =16（元）

(1)求擲一公正骰子一次出現點數的期望值。

(2)求擲二顆公正骰子出現點數和的期望值。

(1) 點數 1 2 3 4 5 6

機率P 1

6 1 6

1 6

期望值 1 7

(1 2 3 4 5 6)

6 2 E= + + + + + × = (2)擲一顆骰子的期望值 7

= 2 擲二顆骰子的期望值 7

2 7

= 2× =

★★ 期望值 ★★

已知單一選擇題每題有 ₄ 個選項，其中只有一個選項是正確的，若每題答對可得 ₄ 分，

則答錯應倒扣幾分才公平？

公平 ⇒ 期望值為0 P(答對) 1

=4，P(答錯) 3

= 4 設答錯倒扣x分，則

1 3

4 ( ) 0

4 4

E = × + × −x =

⇒ 4 x=3

∴ 答錯應倒扣4

3分才公平

擲一枚均勻硬幣二次，若出現二正面可得₂₀₀ 元，若出現一正面可得 ₁₀₀ 元，若無正面出現，則須付出多少元才公平？

公平 ⇒ 期望值為₀ P(二正面) 1

= 4，P(一正面) 1

= 2， P(無正面₎ 1

= 4

設無正面出現應付_x元，則

1 1 1

200 100 ( ) 0

4 2 4

E= × + × + × −x =

⇒ _x₌₄₀₀

∴ 無正面出現應付400元才公平

(13)

1. 摸彩箱中有1000元的禮券1張，500元的禮券4張，100元的禮券5張，今自摸彩箱中任取一張禮券，則所得獎金的期望值為 350 元。

2. 甲、乙二人玩猜謎遊戲，答對的機率分別為1

4、1

3，今二人合作解謎題，若將謎題解出可得獎金₃₀元，解錯則需賠償₁₀元，則此遊戲的期望值為 ₁₀ 元。

3. 某人射飛鏢的命中率為2

3，今連射2支飛鏢，若2支全中可得20元，只中1支可得10元，

2支都沒中則賠30元，則此遊戲的期望值為 10 元。

4. 擲一顆公正的骰子兩次，若出現點數和大於9，則可得600元，否則賠60元，則此試驗的

期望值為 50 元。

5. 擲一枚均勻硬幣三次，若出現三正面可得30 元，出現二正面可得20 元，出現一正面可得

10元，若無正面出現則須付出 120 元才公平。

1. 箱子內有₁₀個燈泡，其中有₃個是壞的，今隨機取出₃個，則取到壞燈泡個數的期望值為

9

10 個。

2. 擲兩枚公正的硬幣，若出現x個正面，則得x元，若皆反面，則輸3元，則此試驗的期望值

為 ¹

4 元。

(14)

10-4 抽樣方法與圖表編製

抽樣方法

1. 統計的意義：

統計學是在面對不確定的情況下，協助我們做出合理明智決策的一門科學。其內容包括資料的蒐集、整理、歸納、解釋與分析。

2. 母群體與樣本：

(1)母群體：針對某一統計問題研究對象的全體，稱為「母群體」。 (2)樣本：全體研究的對象中被抽出代表性的元素，稱為「樣本」。 (3)抽樣：抽出樣本的全部過程，稱為「抽樣」。

3. 資料調查的方法：

(1)普查：針對母群體中的每一個元素，逐一加以調查，稱為「普查」。例如：人口普查、工商普查。

(2)抽查：針對母群體中的一部分元素（樣本）加以調查，稱為「抽查」。例如：收視率調查、民意調查。

4. 抽樣調查的方法：

(1)簡單隨機抽樣：抽樣時不加入人為因素，每一個元素被選取的機會相同，具有簡單性、

客觀性。方法為將每一個元素編號，利用卡片或隨機號碼表，隨機抽出一部份號碼為樣本。

(2)系統抽樣：將母群體中的每一個元素編號或排列，經由隨機抽樣選取第一個樣本，以後每隔一定間隔，選取一個元素為樣本，直到取得所需樣本數為止。如下圖所示：

(3)分層抽樣：將母群體依某種衡量標準分成若干不重疊的子群體，稱為層，依照每一層在母群體中所佔的比例，隨機抽取若干元素為樣本，再把所得各層樣本合起來。

(4)部落抽樣：將母群體依某種衡量標準分成若干兩兩不相交的子集，稱為部落，隨機抽取若干部落為樣本，再將這些部落做全面性的調查。

分層抽樣與部落抽樣的區別：

分層抽樣：層間差異大，層內差異小。

部落抽樣：層間差異小，層內差異大。

(15)

★ 抽樣調查的方法 ★

某校學生共 500 人，其中男生有 300 人，女生有200人，為瞭解學生對兩性關係的看法，

準備抽取 100 位學生進行問卷調查。先將全體學生編號，從 1 號到 500 號，大雄的編號為201，若以編號作簡單隨機抽樣，試求大雄被抽到的機率為何？

因每位學生被抽中的機率相等故大雄被抽到的機率為 100 1

500=5

某連鎖便利商店共有 100 家分店，分散全國各地。今該連鎖便利商店制定新的員工工作守則，且想盡快了解全體員工的執行能力，

試問該連鎖便利商店應採取何種抽樣調查？

基本上，各家分店的組織結構都相似，因此每一家分店都可以當成全體連鎖便利商店的縮影，故可以隨機抽取一家分店或少數幾家分店，然後再對這些分店作全面性的調查，即為部落抽樣。

某高中共有₁₀₀₀名學生，若高一學生有₃₃₀ 人，高二學生有350人，高三學生有320人。

今學校欲了解全校學生的平均身高，按年級人數比例作分層抽樣，共抽取 ₁₀₀ 位學生為樣本，試求各年級學生應抽出多少人？

高一學生抽出人數為 330

100 33 1000× = 人高二學生抽出人數為 350

100 35 1000× = 人高三學生抽出人數為 320

100 32 1000× = 人

某校三年級學生共有 ₃₀₀ 人，其中商經科有 150人，國貿科有50人，會計科有100人。

若學校想要了解三年級學生的體能狀況，按科別人數比例作抽樣調查，共抽取₆₀位學生為樣本，試求各科學生應抽出多少人？

商經科學生抽出人數為150

60 30 300× = 人國貿科學生抽出人數為 50

60 10 300× = 人會計科學生抽出人數為100

60 20 300× = 人

某條路上共有 ₄₀ 戶人家，門牌號碼為 ₁ 至40，今里長欲訪視其中的8戶，先抽中 3 號，若採系統抽樣法，則被抽中的門牌號碼為哪幾號？

[40] 5

8 = ，每隔5戶選1戶

⇒ 抽中的號碼為

³，₈，₁₃，₁₈，₂₃，₂₈，₃₃，₃₈

某公司有員工₅₀位，編號為₁至₅₀，年終尾牙抽取₅位員工贈送10張公司股票，若採系統抽樣法，先抽中9號，則被抽中的5位員工為哪幾號？

[50] 10

5 = ，每隔10人選1位

⇒ 抽中的號碼為₉，₁₉，₂₉，₃₉，₄₉

(16)

資料整理與圖表編製

1. 資料整理的目的：將原本雜亂無章的原始資料，能夠以簡單而且有條理的呈現，就是資料整理的目的，即將所得資料系統化、簡單化。

2. 資料整理的步驟：

(1)分類：將資料依特性分門別類，以減少資料的差異性。

(2)歸類：將資料依其特性規入應歸屬的類別，使複雜的資料簡化。

(3)列表：將資料編製成統計表，使資料系統化，便於作統計分析。

(4)繪圖：用統計圖可以簡單而清楚的表達統計表內的數值資料。

3. 次數分配表的編製：

(1)求全距：資料中最大值與最小值的差稱為全距，即全距＝最大值－最小值。

(2)定組數：將資料進行分類稱為分組，分組的數目稱為組數。一般分組的組數不宜過多或過少，以5～15組之間較恰當。

(3)定組距：每一個分組的區間長度稱為組距，組距＝全距

組數（取整數）。

(4)定組限：每一組中的最大值與最小值稱為組限，最大值稱為上限，最小值稱為下限，

上下限的平均數稱為組中點。規定每一組資料均大於或等於下限，但小於上限。

(5)歸類畫記：將原始資料在所屬組內，以「||||」或「正」畫記。

(6)計算次數：歸類畫記完成後，計算各組次數並記載於次數欄內，求得總和，此總和應與原始資料的個數相符。

4. 次數分配直方圖：以連續長條的長短來表示分類資料中各類別次數的分配情形，橫坐標為各組資料的組限，縱坐標為次數。

5.次數分配曲線圖：以各組資料的組中點為橫坐標，該組所對應的次數為縱坐標，描出各點所在位置，並在第一組之前與最後一組之後各增加一點，由左而右依序連接起來所得的曲線。

6. 累積次數分配圖表：

(1)以下累積次數分配表：就由小到大的組別而言，將次數分配表內各組的次數，由上而下依序累加後，將所得的數值記載於「以下累積次數」欄內。

(2)以上累積次數分配表：就由小到大的組別而言，將次數分配表內各組的次數，由下而上依序累加後，將所得的數值記載於「以上累積次數」欄內。

(3)以下累積次數分配曲線圖：以各組的上限為橫坐標，該組所對應的以下累積次數為縱坐標，描出各點所在位置，並增加第一組下限所對應的點，由左而右依序連接起來所得的曲線。

(4)以上累積次數分配曲線圖：以各組的下限為橫坐標，該組所對應的以上累積次數為縱坐標，描出各點所在位置，並增加最後一組上限所對應的點，由左而右依序連接起來所得的曲線。

(17)

★★ 圖表編製 ★★

某班40位同學的數學成績次數分配表如下：

成績(分) 人數 40～50 4 50～60 5 60～70 8 70～80 10 80～90 7 90～100 6

(1)試作以下、以上累積次數分配表。

(2)試作次數分配直方圖及曲線圖。

(3)試作以下、以上累積次數分配曲線圖。

(1)以下、以上累積次數分配表成績(分) 人數 ^以下累

積次數

以上累積次數 40～50 4 4 40 50～60 5 9 36 60～70 8 17 31 70～80 10 27 23 80～90 7 34 13 90～100 6 40 6 (2)次數分配直方圖及曲線圖

(3)以下累積次數分配曲線圖（實線）

以上累積次數分配曲線圖（虛線）

某路段40輛汽車的時速如下：（公里）

速度(km/hr) 車輛數 60～70 4 70～80 5 80～90 9 90～100 14 100～110 6 110～120 2

(1)試作以下、以上累積次數分配表。

(2)試作次數分配直方圖及曲線圖。

(3)試作以下、以上累積次數分配曲線圖。

(1)以下、以上累積次數分配表速度

(km/hr) 車輛數 ^以下累_積次數 ^以上累_積次數 60～70 4 4 40 70～80 5 9 36 80～90 9 18 31 90～100 14 32 22 100～110 6 38 8 110～120 2 40 2 (2)次數分配直方圖及曲線圖

(3)以下累積次數分配曲線圖（實線）

以上累積次數分配曲線圖（虛線）

(18)

★ 累積次數分配曲線圖 ★

某班數學成績的以上累積次數分配曲線圖如下，試求：

(1) 60 分以下有多少人？

(2) 80～90 分有多少人？

(3) 80～90 分佔全班人數的百分比？

(4)哪一組的人數最多？

(1)∵ 60 分以上有 32 人

∴ 60 分以下有50 32− =18人 (2) 80～90 分有13 6− =7人 (3) 7

100 14 50× ％= ％

(4)50～60 分的人數最多，

共有45 32− =13人

某班英文成績的以下累積次數分配曲線圖如下，試求：

(1) 80 分以上有多少人？

(2) 70～80 分有多少人？

(3) 70～80 分佔全班人數的百分比？

(4)哪一組的人數最多？

(1)∵ 80 分以下有 42 人

∴ 80 分以上有50−42=8人 (2) 70～80 分有42 32− =10人 (3)10

100 20 50× ％= ％

(4) 60～70 分的人數最多，

共有32 18− =14人

( Ｃ ) 1. 將全部資料編號後，每隔若干個抽取一個樣本者為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽樣。

( Ａ ) 2. 某班學生有 40 人，籤筒中有編號 1～40 號的籤，從籤筒中任意抽出 10 位學生，則此抽樣方法為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽樣。

( Ｂ ) 3. 某校為了解學生的身高分布情形，從高一、高二、高三的學生中依人數比例來抽取樣本，則此抽樣方法為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽樣。

( Ｄ ) 4. 某研究人員想了解臺灣地區男女人口的比例，只針對某一縣市做調查，則此抽樣方法為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽樣。

(19)

( Ｂ ) 5. 將母群體分為三層，第一層個數為 25000，第二層個數為 20000，第三層個數為 5000，

今欲以分層抽樣抽取 300 個為樣本，則下列何者正確？ (A)第一層抽樣數 160 (B)第二層抽樣數 120 (C)第二層抽樣數 90 (D)第三層抽樣數 50。

( Ｃ ) 6. 右圖為某次數學競試甲、乙兩班成績的累積次數分配曲線圖，下列敘述何者正確？

(A)甲班人數比乙班人數多

(B)乙班在 30～40 分這一組共有 2 人 (C)乙班及格人數較甲班及格人數多 (D)甲班在 60～70 分這一組的人數最多。

7. 下表是全班 42 位同學，體重次數分配表：

體重（公斤）次數（人）以下累積次數（人）

45～50 2 2

50～55 x y

55～60 12 19

60～65 16 35

65～70 z 39

70～75 3 42

則x+ + =y z 16 。

8. 某班英文成績的以下累積次數分布曲線圖如右，

則及格者有 32 人。

9. 承上題，80 分以上者有 13 人。

10. 某班某次數學考試成績的以上累積次數分配曲線圖如右，若以 60 分為及格標準，則及格者有 32 人。

11. 承上題，80～90 分有 7 人。

12. 某班學生數學成績的次數分配直方圖如右，則全班共有 50 人。

13. 承上題，至少 60 分以上有 23 人。

(20)

10-5 統計資料分析

算術平均數、中位數與百分等級 1. 算術平均數x X( )：

(1)未分組資料：

設一群數值為x 、₁ x 、…、₂ x ，則其算術平均數_n X 定義為

1 2

1

1 1

( )

n

n i

i

X x x x x

n n ₌

= + ++ =

∑

^。

(2)已分組資料：

設一群具有n個數值的資料，依序分為k組，各組次數為 f 、₁ f 、…、₂ f ，對應的組中_k 點分別為x 、₁ x 、…、₂ x ，且_k f₁+ f₂++ f_k =n，則其算術平均數 X 定義為

1 1 2 2

1

1 1

( )

k

k k i i

i

X f x f x f x f x

n n =

= + ++ =

∑

^。

2. 加權平均數(W)：

設w 、₁ w 、…、₂ w 分別為一群數值_n x 、₁ x 、…、₂ x 的權數， _n

則這一群數值的加權平均數W定義為 ^{1 1} ² ² ¹

1 2

1 n

i i

n n i

n n

i i

w x w x w x w x

W w w w

w

=

+ + +

= =

+ + +

∑

。

3. 中位數(M_e)：將一群數值由小而大排列為x₁≤x₂ ≤≤x_n，則 (1)若n為奇數時，中位數 ₁

2

e n

M =x ₊ （最中間的那一個數）。 (2)若n為偶數時，中位數

1

2 2

1( )

e 2 n n

M x x

+

= + （最中間兩個數的平均）。 4. 眾數(M₀)：一群數值中出現次數最多的數值，稱為眾數。

5. 百分等級：

當某個資料數值，在整體資料中有 k％的資料數值小於或等於它，而且有 (100−k)％的資料數值大於或等於它，我們稱這個資料數值的百分等級為k，k取整數，記作PR=k。

★ 算術平均數、中位數 ★

有 8 位學生的體重分別為：60，73，56，61，

59，62，67，50（公斤），試求：

(1)算術平均數 (2)中位數。

由小到大排列：

50、56、59、60、61、62、67、73 (1)算術平均數

50 56 59 60 61 62 67 73 8

+ + + + + + +

=

=61（公斤）

(2)∵ 8 位學生為偶數

∴ 中位數 60 61 2 60.5

= + = （公斤）

有 9 位學生的數學成績分別為 32，40，60，

50，70，85，46，93，55（分），試求：

(1)算術平均數 (2)中位數。

32、40、46、50、55、60、70、85、93 (1)算術平均數

32 40 46 50 55 60 70 85 93 9

+ + + + + + + +

=

=59（分）

(2)∵ 9 位學生為奇數

∴ 中位數=55（分）

(21)

★ 算術平均數、中位數 ★

某公司 40 位職員的月薪分配如下表：

月薪（元） 20000 25000 30000 35000

人數 10 10 12 8

試求：₍₁₎算術平均數 ₍₂₎中位數。

(1)算術平均數

20000 10 25000 10 30000 12 35000 8 40

× + × + × + ×

= 27250

= （元）

(2)∵ 40位職員為偶數

∴ 中位數 25000 30000

27500 2

= + = （元）

調查50個家庭的子女數分配表如下表：

子女數 0 1 2 3 4 次數 4 9 28 6 3

試求：₍₁₎算術平均數 ₍₂₎中位數。

(1)算術平均數

0 4 1 9 2 28 3 6 4 3 50

× + × + × + × + ×

=

=1.9（人）

(2)∵ 50個家庭為偶數

∴ 中位數=2（人）

★★ 分組算術平均數 ★★

某公司20名員工的年齡分配如下表：

年齡 20～30 30～40 40～50 50～60 60～70

人數 4 9 5 1 1

試求該公司員工的平均年齡。

平均年齡

25 4 35 9 45 5 55 1 65 1 20

× + × + × + × + ×

=

=38（歲）

設30位同學的數學成績分配如下表：

成績 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90

人數 2 6 9 10 3

試求₃₀位同學的平均成績。

平均成績

45 2 55 6 65 9 75 10 85 3 30

× + × + × + × + ×

=

=67（分）

★★ 加權平均數 ★★

某人月考各科成績及每週上課時數如下表：

科目數學國文英文歷史地理

時數 3 4 4 2 2

成績 77 82 85 73 85

以上課時數為權數，試求其平均成績。

加權平均數

77 3 82 4 85 4 73 2 85 2 3 4 4 2 2

× + × + × + × + ×

= + + + +

1215 81

= 15 = （分）

某生月考成績及各科學分數資料如下表：

科目國文英文數學物理化學

學分 6 4 4 3 3

成績 76 82 70 72 80

以學分數為權數，試求其平均成績。

加權平均數

76 6 82 4 70 4 72 3 80 3 6 4 4 3 3

× + × + × + × + ×

= + + + +

1520 76

= 20 = （分）

(22)

★★ 百分等級 ★★

設參加模擬考試共有2000人，小華排名為第 188名，試求其百分等級。

贏過的人數為2000 188− =1812人 1812 100 90.6

2000× ％％

∵ 贏過_90.6％的人數 ∴ _PR₌₉₀

某人在一項 5000 人參加的馬拉松路跑比賽中，排名為第142名，試求其 PR 值。

贏過的人數為5000 142− =4858人 4858 100 97.2

5000× ％％

∵ 贏過_97.2％的人數 ∴ _PR₌₉₇

★★ 百分等級 ★★

某校新生共有₁₀₀₀名學生作智力測驗，小華 的 PR 值為75，試求排名約在第幾名到第幾名之間？

小華的PR值為 ₇₅ 未達 ₇₆，表示小華的成績介於₂₄％到₂₅％的學生之間

1000 24× ％+ =1 241 1000 25× ％=250

排名約在第₂₄₁名到第₂₅₀名之間

亞洲歌唱大賽共有₁₅₀₀名參賽者，小明的 PR 值為 ₉₅，試求排名約在第幾名到第幾名之間？

小明的PR值為 ₉₅ 未達 ₉₆，表示小明的成績介於₄％到₅％的參賽者之間

1500 4× ％+ =1 61 1500 5× ％=75

排名約在第₆₁名到第₇₅名之間

四分位距

1. 離差：用來表示一群資料彼此相差或分散的程度，稱為離差。離差小，表示資料集中，平均數的代表性愈高；離差大，表示資料分散，平均數的代表性愈低。常用的離差有全距、

四分位距與標準差。

了解一群資料集中趨勢為平均數、中位數、眾數；了解一群資料離散趨勢為全距、四分位距與標準差。

2. 全距：一群數值資料最大數與最小數的差稱為全距，以符號 R 表示。

3. 四分位距：將一群數值由小而大排列為x₁≤x₂ ≤≤x_n，則 (1)第₁四分位數Q ：中位數₁ M Q_e( ₂)之前所有數值的中位數。

(2)第₃四分位數Q ：中位數₃ M Q_e( ₂)之後所有數值的中位數。

(3)四分位距：第₃四分位數Q 與第₃ 1四分位數Q 的差距，以符號₁ IQR 表示，

即IQR=Q₃−Q₁。

(23)

★ 四分位距 ★

某班 8 位同學的體重資料為：38，50，45， 54，71，80，63，41（公斤），試求：

(1)全距 (2)中位數 (3)四分位距。

38、41、45、50、54、63、71、80 (1)全距=80 38− =42（公斤）

(2)中位數 50 54 2 52

= + = （公斤）

(3) ₁ 41 45 2 43

Q +

= = （公斤）

3

63 71 2 67

Q +

= = （公斤）

四分位距IQR=67−43=24（公斤）

某班9位同學的數學成績分數為：72，78，64， 86，80，79，82，80，86（分），試求：

(1)全距 (2)中位數 (3)四分位距。

64、72、78、79、80、80、82、86、86 (1)全距=86 64− =22（分）

(2)中位數=80（分）

(3) ₁ 72 78

2 75

Q +

= = （分）

3

82 86 2 84

Q +

= = （分）

四分位距IQR=84 75− =9（分）

變異數與標準差

1. 離均差：

設一群資料數值為x 、₁ x 、…、₂ x ，其算術平均數為 X ，則第 i 個數值_n x 的離均差定義為_i xi−X ，離均差總和

1

( ) 0

n i i

x X

=

− =

∑

^。

2. 變異數與標準差：

(1)一群資料數值中，離均差平方和的算術平均數即為變異數，而其正平方根為標準差。

(2)母群體變異數與標準差：

設母群體數值為_x₁、_x₂、…、_x_N，其算術平均數為

1

1 ^N

i i

N x µ

=

∑

^，則

母群體的變異數定義為 ² ² ² ²

1 1

( ) ( )

N N

i i

x x

N N

σ µ µ

= =

=

∑

− =

∑

− ^，

母群體的標準差定義為 ² ² ²

1 1

( ) ( )

N N

i i

x x

N N

σ µ µ

= =

=

∑

− =

∑

− ^。

(3)樣本變異數與標準差：

設一群數值為_x₁、_x₂、…、_x_n，其算術平均數為

1

1 ⁿ

i i

X x

n ₌

=

∑

^，則

樣本的變異數定義為 ² ² ² ²

1 1

( ) ( )

1 1

n n

i i

S x X x n X

n = n =

= − = −

−

∑

−

∑

^，

樣本的標準差定義為 ² ² ²

1 1

( ) ( )

1 1

n n

i i

S x X x n X

n ₌ n ₌

= − = −

−

∑

−

∑

^。

(24)

★★ 母體標準差 ★★

某生5次數學小考成績如下：（單位為分）

79，77，75，83，86

試求該生數學小考成績的母群體標準差。

5次成績的算術平均數為

1(79 77 75 83 86) 80 µ =5 + + + + = 母群體變異數為

2 1 2 2 2

[(79 80) (77 80) (75 80)

σ =5 − + − + −

2 2

(83 80) (86 80) ]

+ − + − 80

5 16

= =

∴ 母群體標準差為σ = 16=4（分）

設一組母群體資料數值如下：

9，6，1，4，10，6

試求母群體變異數與標準差。

6個數值的算術平均數為 1(9 6 1 4 10 6) 6 µ= 6 + + + + + = 母群體變異數為

2 1 2 2 2 2

[(9 6) (6 6) (1 6) (4 6) σ = 6 − + − + − + −

2 2

(10 6) (6 6) ]

+ − + − 54

6 9

= =

∴ 母群體標準差為σ = 9 =3

★★ 樣本標準差 ★★

某班抽樣6人體重如下：（單位為公斤）

65，₅₁，₅₆，₅₇，₄₈，₅₉ 試求樣本變異數與標準差。

樣本平均數為

1(65 51 56 57 48 59) 56 X = 6 + + + + + = 樣本變異數為

2 1 2 2 2

[(65 56) (51 56) (56 56)

S =6 1 − + − + −

−

2 2 2

(57 56) (48 56) (59 56) ]

+ − + − + −

180 36

= 5 =

∴ 樣本標準差為_S ₌ ₃₆₌₆（公斤）

設一組樣本資料數值如下：

1，₁₅，₁₁，₆，₂，₅，₉ 試求樣本變異數與標準差。

樣本平均數為

1(1 15 11 6 2 5 9) 7 X =7 + + + + + + = 樣本變異數為

2 1 2 2 2

[(1 7) (15 7) (11 7) S =7 1 − + − + −

−

2 2 2 2

(6 7) (2 7) (5 7) (9 7) ]

+ − + − + − + −

150 25

= 6 =

∴ 樣本標準差為_S₌ ₂₅ ₌₅

(25)

平均數與標準差的線性變換

設一群樣本數值 X ：x₁、_x₂、…、_x_n，其算術平均數為 X ，樣本標準差為S_x。 另一群樣本數值Y ：y₁、_y₂、…、_y_n，其算術平均數為Y ，樣本標準差為S 。_y 若y_i =ax_i+b，i=1、2、3、…、n， a b、為實數且^a^≠⁰，則

(1)Y a X= +b (2)S_y= |a S| _x。

設y_i=ax_i+ ，b i= 、2、3、…、 n 。 1 資料平移 b ：平均數平移 b ，標準差不變。

資料伸縮 a ：平均數伸縮 a ，標準差伸縮| |a 。

★★ y=ax b+ 線性變換 ★★

設x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的算術平均數為12，標準差為 6，試求 −2x₁+5 、 −2x₂+5 、

2x3 5

− + 、−2x₄+5、−2x₅+5的算術平均數及標準差。

由Y a X= +b、S_y= |a S| _x的性質知：

平均數_{= − ×}_{2 12 5}_{+ = −}₁₉ 標準差= −| 2 | 6× =12

設一群資料 X 的算術平均數為15，標準差為 5，若另一群資料Y 滿足Y_i =2X_i+5的條件，

試求資料Y 的算術平均數及標準差。

2 5

i i

Y = X + ，X =15，S_X =5 則資料Y的算術平均數為

2 5 2 15 5 35 Y = X + = × + = 資料Y的標準差為

2 2 5 10

Y X

S = S = × =

★★★ y=ax b+ 線性變換 ★★★

某班學生數學成績的算術平均數為₃₀分，標準差為 ₆ 分，若老師將每位學生的成績分別乘以_1.5倍，再加10分作調整（調整後無人成績超過₁₀₀分），試求調整後成績的算術平均數及標準差。

設原始成績為X_i，調整後為Y_i =1.5X_i+10 30

X = ，S_X =6

則調整後成績的算術平均數為 1.5 10 1.5 30 10 55

Y = X + = × + = （分）

調整後成績的標準差為 1.5 1.5 6 9

Y X

S = S = × = （分）

某班學生數學期中考成績不盡理想，老師將每位學生的成績分別乘以_0.8 倍，再加₂₀分作調整，若調整後成績的算術平均數為 60 分，標準差為 ₈ 分，試求原始成績的算術平均數及標準差。

設原始成績為X_i，調整後為_Y_i ₌_0.8_X_i₊₂₀

60

Y = ，_S_Y ₌₈

∵ Y =0.8X +20

⇒ ₆₀₌_0.8_X₊₂₀ ⇒ _X ₌₅₀

∴ 原始成績的算術平均數為50（分）

∵ S_Y =0.8S_X ⇒ ₈₌_0.8_×_S_X

⇒ _S_X ₌₁₀

∴ 原始成績的標準差為₁₀（分）

(26)

解讀信賴區間與信心水準

1. 常態分配：

當一群數值大部分集中在平均數附近，且均勻分配在平均數的左右兩邊，極端數值不多，

其分配曲線呈現鐘型且左右對稱時，稱為常態分配。

2. 68－95－99.7規則：

若一群數值為x₁、x₂、…、x_n，其算術平均數為 X ，標準差為S，則 (1)約有68％的數值落在距離平均數一個標準差的範圍內，

即數值在 (X −S X, +S)內，約占₆₈％。

(2)約有95％的數值落在距離平均數兩個標準差的範圍內，

即數值在 (X −2 ,S X+2 )S 內，約占₉₅％。

(3)約有99.7％的數值落在距離平均數三個標準差的範圍內，

即數值在 (X −3 ,S X +3 )S 內，約占_99.7％。

3. 信賴區間：

由母群體中抽取樣本來推估母群體的未知參數，勢必會有誤差，因此提供一個可容許的誤差範圍區間，此區間稱為信賴區間。

4. 95％信心水準：

從樣本數值所計算出來的信賴區間，會隨著抽取樣本數值的不同而有所改變，而 ₉₅％信心水準是指所有可能的樣本數值所計算出來的信賴區間，有 ₉₅％的信賴區間會包含母群體的參數。

5. 95％信心水準的信賴區間：

針對一次抽樣所計算出來的信賴區間，我們有₉₅％的信心會包含母群體的參數。

6. 信賴區間長度大小、信心水準高低與抽樣的樣本大小三者之間的關係：

(1)在相同的樣本數下，信賴區間長度愈大，則抽樣誤差就愈大，信心水準愈高。

(2)在相同的信賴區間長度下，樣本數愈大，則信心水準愈高。

(3)在相同的信心水準下，樣本數愈大，則抽樣誤差就愈小，信賴區間長度愈小。

(27)

★★ 常態分配 ★★

某校學生1000人，數學成績呈現常態分配，

平均分數50分，標準差10分，試求：

(1)成績低於60分約有多少人？

(2)成績高於70分約有多少人？

(1)X =50分，_S ₌₁₀分

在(50 10,50 10)− + =(40, 60)內，

約占₆₈％

成績低於60分者約占(1 16− ％)=84％約有_{1000 84}_× ％₌₈₄₀人

(2)在(50 2 10, 50− × + ×2 10)=(30, 70)內，

約占₉₅％

成績高於₇₀分者約占_2.5％約有_{1000 2.5}_× ％₌₂₅人

某校學生2000人參加模擬考試，成績呈現常態分配，平均分數65分，標準差5分，試求：

(1)成績低於60分約有多少人？

(2)成績高於75分約有多少人？

(1)X =65分，_S ₌₅分

在(65 5, 65 5)− + =(60, 70)內，

約占₆₈％

成績低於₆₀分者約占₁₆％約有_{2000 16}_× ％₌₃₂₀人

(2)在(65 2 5, 65− × + ×2 5)=(55, 75)內，

約占₉₅％

成績高於₇₅分者約占_2.5％約有_{2000 2.5}_× ₌₅₀人

★ 信賴區間 ★

某報社針對大學學費是否太高作民意調查，

有效訪問₉₈₅位目前在學的大學生，在₉₅％的信心水準下，有 ₆₅％的大學生認為大學學費太高，抽樣誤差為正負三個百分點，試求大學生認為大學學費太高的信賴區間。

65％−3％=0.62，₆₅％₊₃％₌_0.68 在₉₅％的信心水準下，大學生認為大學學費太高的信賴區間為[0.62, 0.68]

某民調中心針對政府的某一政策作民意調查，有效訪問₁₂₁₅位₂₀歲以上的台灣民眾，

在₉₅％的信心水準下，有₅₈％的民眾支持這項政策，抽樣誤差為正負_2.8個百分點，試求民眾支持這項政策的信賴區間。

58％−2.8％=0.552，₅₈％₊_2.8％₌_0.608 在₉₅％的信心水準下，民眾支持這項政策的信賴區間為[0.552, 0.608]

第十章 機率與統計