單元

單元 _12: 連鎖法則

( 課本 x 2.5)

一 _. 連鎖法則

一種求合成函數的導函數的方法_. 設

y = f(u) 為 _u 的可微函數_, 亦即_,

dy du 存在_, 且

u = g(x) 為 _x 的可微函數_, 亦即_,

du dx 存在_, 則

y = f(g(x)) 是 _x 的可微函數且

dy

dx = dy

du
du dx

或

d

dx[f(g(x))] = f⁰(g(x))g⁰(x)

註 _1.

成品對原料的變化率

= (成品對半成品的變化率_)
(半成品對原料的變化率₎ 以數學式子表示_, 得

dy

dx = dy

du
du dx 亦相當於

d

dx[f(g(x))] = f⁰(g(x))g⁰(x)

註 _2.

d

dx[f(g(x))]

= (外部函數的導函數_, 代入內部函數_, 半成品₎
(內部函數的導函數₎

也就是說_,

d

dx[f(g(x))] = f⁰(g(x))g⁰(x) 切不可代入內部函數的導函數_, 如

d

dx[f(g(x))] 6=f⁰(g⁰(x))g⁰(x)

註 _3.

d

dx[f(g(x))] 6=f⁰(g⁰(x))

註 _4.

x + 1 的形成過程為

x ! u = x + 1 ! y = 1

x + 1 = 1 u 故

u = x + 1

且

y = 1

u = u ¹

因此_, 根據連鎖法則及冪次法則_, 在逐項微分下_, dy

dx = dy

du
du

= ( u dx²)(1)

= 1

(x + 1)²

其中最後一個等號成立乃是將半成品 _u 以 _{x + 1} 取代_, 而表成原料 _x 的式子_, 因為題意是求成品 _y 對原料 _x 的 變化率_, 故須表成原料 _x 的式子_. 又例如

y = ^q3x² x + 1 的形成過程為

x ! u = 3x² x + 1

! y = ^q3x² x + 1 = p u 故

u = 3x² x + 1 且

y = p

u = u¹⁼²

因此_, 根據連鎖法則及冪次法則_, 在逐項微分下_, dy

dx = dy

du
du dx

= ^1

2u ^1=2(6x 1)

= 6x 1

2^q3x² x + 1

二 _. 廣義冪次法則

y = [u(x)]ⁿ 其中

u(x) 為 _x 的可微函數_, 亦即_,

du

dx = u⁰(x) 存在_, 且 _n 為一實數_, 則

dy

dx = n[u(x)]^{n 1}du dx 或

d

dx[uⁿ] = nu^{n 1}
u⁰

<證_> 因為函數

y = [u(x)]ⁿ 的形成過程為

x ! u = u(x) ! y = [u(x)]ⁿ = uⁿ 故

u = u(x) 且

y = uⁿ

因此_, 根據連鎖法則及冪次法則_, 亦即_, d

dx[xⁿ] = nx^{n 1} 得

dy

dx = dy

du
du

dx (連鎖法則₎

= d

du[uⁿ]
du dx

= nu^{n 1}
du

dx (冪次法則₎

= n[u(x)]^{n 1}du dx

註 _.

d

dx[u(x)]ⁿ = n[u(x)]^{n 1}
u⁰(x)

例 _1.

(b) y = 3 x² + 1

(c) y = 1 (1 x)⁵

(d) g(x) = ^q4 (2x 1)³

(e) h(x) =

px p3

1 2x

(f) y = x^2q1 x²

(g) y = ^3x 1 x² + 3

₂

<解_> 解題技巧_: 將各項先改寫成 _c[u(x)]ⁿ 的型式後_, 再根據廣義冪次法則求導函數_.

(a) 因為原式已是 _c[u(x)]ⁿ 的型式_, 故直接根據廣義冪 次法則_, 得

f⁰(x) = 3(3x 2x³)²
(3x 2x³)⁰

= 3(3x 2x³)²(3 6x²)

(b) 首先_, 可將 _y 改寫成

y = 3(x² + 1) ¹ 故根據廣義冪次法則_,

y⁰ = 3( 1)(x² + 1) ²
(x² + 1)⁰

= 3(x² + 1) ²(2x)

= 6x

(x² + 1)²

(c) 經由改寫_, 得

y = (1 x) ⁵ 故根據廣義冪次法則_,

y⁰ = 5(1 x) ⁶
(1 x)⁰

= 5(1 x) ⁶( 1)

= 5

(1 x)⁶

(d) 改寫後_,

g(x) = (2x 1)³⁼⁴ 故根據廣義冪次法則_,

g⁰(x) = 3

4(2x 1) ¹⁼⁴
(2x 1)⁰

= 3

4(2x 1) ¹⁼⁴(2)

= 3

2(2x 1) ¹⁼⁴

= 3

2p⁴

2x 1

(e) 因為乘積法則較分式法則單純_, 故可將 _h(x) 改寫成 h(x) = x¹⁼²(1 2x) ¹⁼³

因此_, 根據乘積法則及廣義冪次法則_,

h⁰(x) = ^x^1=20 (1 2x) ¹⁼³ +

x^{1=2 h}(1 2x) ¹⁼³ⁱ⁰

= 1

2x ¹⁼²(1 2x) ¹⁼³ + x^{1=2 } 1

3

(1 2x) ⁴⁼³( 2)

接著_, 經由將各同類項的最小次方因式提出後的化簡_, 得 h⁰(x) = 1

6x ¹⁼²(1 2x) ⁴⁼³[3(1 2x) + 4x]

= 3 2x

6x¹⁼²(1 2x)⁴⁼³

=或 3 2x 6p

x^q3 (1 2x)⁴

(f) 因為原式可改寫成

y = x²(1 x²)¹⁼² 故根據乘積法則及廣義冪次法則_,

y⁰ = (x²)⁰(1 x²)¹⁼² + x^{2 h}(1 x²)¹⁼²ⁱ⁰

= 2x(1 x²)¹⁼² + x^{2 }1

2

(1 x²) ¹⁼²( 2x)

最後_, 將各同類項的最小次方提出並化簡_, 得

y⁰ = x(1 x²) ¹⁼²[2(1 x²) x²]

= x(2 3x²)

q1 x²

(g) 將小括號內的分式視為一整體_, 則根據廣義冪次法則 及分式法則_, 得

y⁰ = 2 ^3x 1 x² + 3


^3x 1 x² + 3

₀

= 2 ^3x 1 x² + 3



3(x² + 3) (3x 1)(2x) (x² + 3)²

= 2 ^3x 1 x² + 3


3x² + 2x + 9 (x² + 3)²

= 2(3x 1)( 3x² + 2x + 9) (x² + 3)³

三 _. 微分法則摘要

(1) 常數法則_:

d

dx[c] = 0

(2) 純量乘積法則_:

d

dx[cu] = cdu dx

(3) 加減法則_:

d

dx[u  v] = du

dx  dv dx

(4) 乘積法則_:

d

dx[uv] = u⁰v + uv⁰

(5) 分式法則_:

d dx

u v



= u⁰v uv⁰ v²

(6) 冪次法則_: d

dx[xⁿ] = nx^{n 1} (簡單型₎ 以及

d

dx[uⁿ] = nu^{n 1}
u⁰ (廣義型₎

(7) 連鎖法則_:

dy

dx = dy

du
du dx