第三章 線性系統
3-1 線性系統
3-2 以消去法解線性聯立方程式 3-3 增廣矩陣與三種基本列運算
3-4 約化列梯形矩陣與線性系統之解
3-1 線性系統
1 2 4 9
, 1 1 1 , , 6
3 1 1 2
x y z
Ax b 其中 A x b
2 4 9
6
3 2
x y z
x y z x y z
3-1-2 線性系統的解
1 2 4 9 1 2 4 9
1 1 1 6 , 1 1 1 6
1 4 2 3 1 4 2
5 3
3
0 1
1 2
5 2
0 1 ,
1 1
t t R
x
1 2 3
1 2 4 9
1 1 1 6
1 4 2 3
x x x
3-1-2 線性系統的解 (2)
5 2
0 1 ,
1 1
t t R
x
線性系統之解特殊解齊次解
5 2
0 , 1 ,
1 1
t t R
特殊解齊次解
2 0
1 0
1 0
1 2 4 1 1 1
1 4 2
3-2 以消去法解線性聯立方程 式
2 2 2
3 6
2 5
x y z
a x y z
x y z
12 12
12
1
4 5
3 4
x y z
a y z
y z
12
5 1
4 8
1 1
8 4
1
x y z
a y z
z
1 1
8 4
5 1 5 1
4 8 4 8
1 1
2 2
2
2 1
1 1 1 2 1
z z
y z
x y z
3-2-2 帶入消去法
9 2 4
3 3 3
6 6 6
x y z
b y z
y z
9 2 4 1
0 0
x y z
b y z
2 4 9
6
4 2 3
x y z
b x y z
x y z
1 ,
1 1
9 2 4 9 2 1 4 7 2
z t t R
y z
y z t
x y z t t t
3-2-3 加減消去法
12 12 12
1
4 5
3 4
x y z
a y z
y z
12
5
18 4
1 1
8 4
1 x y z
a y z
z
2 2 2
3 6
2 5
x y z
a x y z
x y z
1 1
8 4
5 1 5 1
4 8 4 8
1 1
2 2
2
2 1
1 1 1 2 1
z z
y z
x y z
3-2-4 加減消去法 (2)
23 43 93, 2 4 91
6 6 6 0 0
x y z x y z
b y z b y z
y z
2 4 9
6
4 2 3
x y z
b x y z
x y z
1 ,
1 1
9 2 4 9 2 1 4 7 2
z t t R
y z
y z t
x y z t t t
3-2-5 等價系統與基本列運算
2 4 9 2 4 9 2 4 9
6, 3 3 3, 1
4 2 3 6 6 6 0 0
x y z x y z x y z
b x y z b y z b y z
x y z y z
等價系統：有相同解的線性系統。
三種基本列運算：
(1) 將兩等式互換位置；
(2) 將某等式之等號兩邊乘上相同的非零常數；
(3) 將某等式減去另一等式的某個實數倍數後，
以新等式取代原等式。
3-3 增廣矩陣與三種基本列運 算
增廣矩陣
1 2 4 9
, 1 1 1 , , 6
3 1 1 2
x y z
Ax b 其中 A x b
11 12 14 96
3 1 1 2
A b 或
3-3-2 三種基本列運算
1 2
1 2 4 9 1 1 1 6
1 1 1 6 1 2 4 9
3 1 1 2 3 1 1 2
13 2 2 1
1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
1 2 4 9 0 3 3 3 0 1 1 1
3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2
r r
3 3 1 3 2 2
1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
3 1 1 2 0 2 4 16 0 0 6 18
3-3-3 基本列運算矩陣
1 2
1 2
1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
R
1 2
1 2 4 9 0 1 0 1 2 4 9 1 1 1 6
1 1 1 6 1 0 0 1 1 1 6 1 2 4 9
3 1 1 2 0 0 1 3 1 1 2 3 1 1 2
R
3-3-4 基本列運算矩陣 (2)
3 3 1
3 3 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 3 0 1
R
3 3 1
1 2 4 9 1 0 0 1 1 1 6 1 1 1 6
1 1 1 6 0 1 0 1 2 4 9 1 2 4 9
3 1 1 2 3 0 1 3 1 1 2 0 2 4 16
R
3-4 約化列梯形矩陣 與線性系統之解
約化列梯形矩陣
列梯形矩陣
1 0 0 3 9 3 9
0 1 0 2 8 2 8
0 0 1 2 4 2 4
x w
y w
z w
1 1 1 6 6
0 1 1 1 1
0 0 1 3 3
x y z y z z
3-4-2 帶頭一
13 2
2 8 4 6 2 8 4 6
3 12 6 9
1 2 4 9 1 2 4 9
1 4 2 3
0 0 3 9
0 0 2 8
0 0 4
1 1
1 2
1 2 23 2
0 0 0 0
0 2 8 4 6
1 4 2 3 1 4 2 3
1 2 4 9 6 6 6
3-4-3 避免計算錯誤的小技巧
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
12 32 3
3 1
1 2 2
2 2
1 2
3 2
3 1 3 1
2 2 2 2
0 1 4 1
0 1 4 1
1 0
1 0 1 0 2 1
0 1 4 1 0 1 4 1
0 2 0 2 0 0 4 2
0 1 4 1
1 3
2 2
12
3 1
2 2
1 0
3 1
2 2
1 3 3 1
3 1
3 3 3 3 2 2
2 1 0 3 1 1 0
0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1
3 3 2 4 3 3 2 4 0
0
2
12
12
14
0 0 1
0 0 1
-2 -2 -2 -2
1 2 3
4
12
4 4 4 2 4 3
12
3
1 0 2 1
1 0 2 1 1 0 0 2
0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 0 1
0 0 1
0 0 4 2 0 0 1
