95 年度指定科目考試數學乙試題解答第壹部分﹕選擇題（佔

(1)

95

年度指定科目考試數學乙試題解答

第壹部分﹕選擇題（佔74 分）

一﹑單選題（18%）

說明﹕第1 至 3 題為單選題，每題選出一個最適當的選項。每題答對得 6 分，答錯或劃記多於一個 選項者倒扣1.5 分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不倒扣分數。

1. 在坐標平面上，選出與圓 (x3)²(y4)²5² 相切的直線：

(1) 3x4y 　(2) 35 x4y 　(3) 40 x3y 　(4) 45 x3y 　(5) 40 x3y1

【解答】(2)

【詳解】圓的圓心^G



^{3 , 4}



^，半徑5，設 L 為一直線，令d G L 表圓心 G 到直線 L 的距離



^,



(1)L₁: 3x4y  時，5 0



^, ₁



^{3 3 4 4 5}₂ ₂ ²⁰ ^{4 5}

3 4 5 d G L    

   



(2)L₂: 3x4y 時，0



^, ₂



^{3 3 4 4}₂ ₂ ²⁵ ⁵

3 4 5 d G L   

  



(3)L₃: 4x3y  時，5 0



^, ₃



^{4 3 3 4 5}₂ ₂ ¹⁹ ⁵

3 4 5 d G L    

  



(4)L₄: 4x3y 時，0



^, ₄



^{4 3 3 4}₂ ₂ ²⁴ ⁵

3 4 5 d G L   

  



(5)L₅: 4x3y  時，1 0



^, ₅



^{4 3 3 4 1}₂ ₂ ²³ ⁵

3 4 5 d G L    

  

 所以，L 與圓相切。₂

2. 某大學數學系甄選入學的篩選方式如下：

先就學科能力測驗國文、英文和社會這三科成績（級分）加總做第一次篩選。

然後從通過篩選的學生當中，以自然科的成績做第二次篩選。

最後再從通過的學生當中，以數學科的成績做第三次篩選，選出一些學生參加面試。

現在有五位報名該系的學生的學科能力測驗成績如下表：

學生國文級分英文級分數學級分社會級分自然級分

甲 13 8 14 15 11

乙 12 12 12 12 12

丙 9 13 15 8 15

丁 11 12 13 10 13

戊 13 15 11 7 12

已知這五位學生當中，通過第一次篩選的有四位，通過第二次篩選的有三位，通過第三次篩選可以參加面試的只剩下一位。請問哪一位學生參加面試？

(1)甲　(2)乙　(3)丙　(4)丁　(5)戊

【解答】(4)

【詳解】第一次篩選以國文、英文、社會級分之和比較：

(2)

甲乙丙丁戊級分和 36 36 30 32 35

所以第一次甲，乙，丁，戊四人通過。

第二次篩選，比較甲，乙，丁，戊的自然級分：丁＞乙＝戊＞甲，所以第二次乙，丁，戊三人通過。

第三次篩選，比較乙，丁，戊的數學級分：丁＞乙＞戊，

所以第三次丁通過可參加面試

3. 假設   a b c, , 是空間中三個向量， r 是一個實數。已知 a (1,1, 0), b(0,1,1) 且   a b c, , 滿足 , , 0

a b r c 

   ，那麼 r 不可能等於下列哪一個數值：

(1)  2 　(2)0　(3)1　(4)  （圓周率）　(5)10¹⁰⁰

【解答】(2)

【詳解】由 a  b r c 0得^rc^^{  }



^{a b}^{ }



^，又^{a b}^{ }^{ }

^

^{1,1, 0}

^{ }

^ ^0,1,1

^{ }

^ ^{1, 2,1}

^

^，因此^rc^^{ }

^

^{1, 2,1}

^

當r 時，0 ^rc^{ }^{  }⁰



^{1, 2,1}



當r 時，0 ^c ¹



^{1, 2,1}



r



 ，當 r 確定時， c必存在

所以，只有(2)r 時，等式恆不成立0

二﹑多選題（32%）

說明﹕第1 至 3 題，每題各有 4 個選項，其中至少有一個是正確的，選出正確選項。每題 8 分，各 選項獨立計分，每答對一個選項，可得2 分，每答錯一個選項，倒扣 2 分，完全答對得 8 分；整題 未作答者，不給分亦不倒扣分數。在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣2 分。倒扣到本大題之實 得分數為零為止。

1. 嘌呤是構成人體基因的重要物質，它的化學結構式主要是由一個正五邊形與一個正六邊形構成（令它們的邊長均為1）的平面圖形，如下圖所示：

試問以下哪些選項是正確的？

(1) BAC  　(2) O 是 ABC54 △ 的外接圓圓心　(3) AB 3　(4) BC2sin 66

【解答】(2)(3)(4)

【詳解】 正五邊形的每個內角108 ，正六邊形的每個內角120

 ¹



¹⁸⁰ ¹⁰⁸



³⁶

CAO 2

       （見右圖）

(3)

　 ¹



¹⁸⁰ ¹²⁰



³⁰

BAO 2

       　所以BAC     30 36 66

△ ABC 中，OA OB OC   ；因此 O 為△ ABC 的外心1

△ AOB 中（如右圖）， 3

2 2 3

AB AH  2 

   

 

△ ABC 中，由正弦定理知 2 sin

BC R

BAC 



　（R 為△ ABC 的外接圓半徑，即AO ）1 　所以BC2sinBAC2sin 66

2. 一個「訊息」是由一串 5 個數字排列組成，且每位數字都只能

是0 或 1，例如 10010 與 01011 就是兩個不同的訊息。兩個訊息的「距離」定義為此兩組數字串相對應位置中，數字不同的位置數。例如，數字串10010 與 01011 在第 1，2 及 5 三個位置不同，所以訊息 10010 與01011 的距離為 3。

(1)與訊息 10010 相距最遠的訊息為 11101 (2)任兩訊息之間的最大可能距離是 4 (3)與訊息 10010 相距為 1 的訊息恰有 5 個 (4)與訊息 10010 相距為 2 的訊息恰有 9 個

【解答】(3)

【詳解】^{每個訊息都是}5 個數字的字串，與已知字串的每個數字都不同的字串，它們的距離最大所以距離最大為5

(1)與訊息 10010 相距最遠（即最大）為訊息 01101 (2)最大距離為 5

(3)與訊息 10010 的距離為 1 的訊息是恰有一數字不同的訊息，有 5 個

　如右：00010，11010，10110，10000，10011

(4)與訊息 10010 的距離為 2 的訊息是恰有二數字不同的訊息，有 ₂⁵ 5 4 2 10

C    個所以(1)，(2)，(3)，(4)中只有(3)是正確選項

3. 一個函數繪圖軟體的視窗預設的坐標平面之可視範圍為 15  x 15 及 10 y 10，如下圖所示：

當我們把視窗的比例尺調整為原來的二分之一時，視窗的可視範圍變成 30 x 30 及 20  y 20，如下圖所示：

(4)

(1)如果把視窗的比例尺調整為原來的三分之一，那麼視窗的可視範圍變成 45  x 45 及 30 y 30； (2)如果把視窗的比例尺調整為原來的二分之一，那麼坐標平面上任一直線的斜率也變成原來的二分之一；

(3)使用預設的視窗時，只能看到 y x ²30x190 與 y5x60這兩個圖形的一個交點；

(4)如果把視窗的比例尺調整為原來的五分之一，就可以看到 y x ²30x190 與 y5x60這兩個圖形所有的交點。

【解答】(1)(3)

【詳解】^{已知 15}  x 15且 10  y 10 (1)當視窗比例尺縮為原來的 1

3 時，視窗的可視範圍為

　 15 3   x 15 3 且 10 3   y10 3 ，即 45  x 45且 30 y30 (2) x 軸與 y 軸的調整比例相同，所以，坐標平面上的任一直線斜率不變 (3)在預設視窗上，拋物線與直線的交點

2 30 19

5 60 y x x y x

   

  

 的解



^{x y}^,

 

^ ^{10 , 10}^



^，



^{25 , 65}



　其中點



^{10 , 10}^



^{在可見的範圍內，而點}



25 , 65 在範圍外



(4)視窗比例尺調整為原來的 1

5 時，視窗的可視範圍為

　 15 5  x15 5 且 10 5  y10 5 ，即 75 x75且 50 y50 由(3)的結果可知交點



^{10 , 10}^



^{在可見的範圍內，而點}



25 , 65 還是在範圍外



4. 某次數學測驗分為選擇題與非選擇題兩部分。下列的散布圖中每個點 ( , )X Y 分別代表一位學生於此兩部 分的得分，其中 X 表該生選擇題的得分， Y 表該生非選擇題的得分。

設 Z X Y 為各生在該測驗的總分。共有11 位學生的得分數據。

(5)

(1) X 的中位數  Y 的中位數 (2) X 的標準差  Y 的標準差 (3) X 的全距 Y 的全距

(4) Z 的中位數 = X 的中位數 + Y 的中位數

【解答】(1)(2)(3)

【詳解】將散布圖的資料轉化如下：（有些數據以估計值表之，由圖中的左方往右方，由下方往上方將11 個學生編號）

學生編號 X得分 Y 得分 Z得分

1 15 22 37

2 20 26 46

3 25 32 57

4 28 25 53

5 30 27 57

6 35 35 70

7 36 25 61

8 37 36 73

9 41 28 69

10 45 33 78

11 48 36 81

(1)將 X 得分排序：15，20，25，28，30，35，36，37，41，45，48，中位數 35 　將Y 得分排序：22，25，25，26，27，28，32，33，35，36，36，中位數 28 (2)由可知 X 之間的差異較Y 之間的差異大得多，所以 X 的標準差大於Y 的標準差 (3) X 的全距 48 15 33  ，Y 的全距 36 22 14 

(4)將 Z 得分排序：37，46，53，57，57，61，69，70，73，78，81，中位數 61 　X 與Y 的中位數和為 35 28 63 61  

所以選項中(1)(2)(3)正確

(6)

三﹑選填題（24%）

說明﹕1 至 3 各題為選填題，每一題完全答對得 8 分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

1. 一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的出入口，如下圖示。

此農夫所能圍成的最大面積為____________平方公尺。

【解答】289

【詳解】如右圖，設長方形兩邊長 x 公尺，另兩邊長 y 公尺（含下方出入口2 公尺）

則 2x2y 2 66，即y34x 由 2 y 34得 0 x 32

長方形面積^^{xy x}^



³⁴^^x



^{ }



^x²^³⁴^x



^{  }

^

^x ¹⁷

^

²^²⁸⁹

當x17時，長方形面積等於289（平方公尺）最大

2. 某機場基於飛航安全考量，限制機場附近建築物從機場中心地面到建築物頂樓的仰角不得超過8 。某建築公司打算在離機場中心3 公里且地表高度和機場中心一樣高的地方蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的大樓。

在符合機場的限制規定下，該大樓在地面以上最多可以蓋____________層樓。

〔參考數據： sin8 0.1392， cos8 0.9903，^tan8^{ }^0.1405 ^〕

【解答】84

【詳解】如右圖，設大樓的高為 x （公尺）

若tan8

3000

  x ，則x3000 tan8 3000 0.1405 ≒ 421.5

大樓每層5 公尺時，421.5 5 84.3 大樓最多可蓋84 層樓

3. 如下圖所示，某摩天輪等分為 6 個全等區域。為了夜間的燈光造景，6 個區域分別採用不同顏色的燈光裝飾。若有7 種不同顏色的燈光可供使用，則此摩天輪正面的夜間燈光造景共有____________種不同的顏色排列方式。

【解答】840

【詳解】依題意可知，顏色為一種環狀排列，從7 色找 6 色（不同色）排列法有P      ⁶⁷ 7 5 4 3 2 840

(7)

第貳部分﹕非選擇題（佔26 分）

說明﹕本大題共有二題計算證明題，必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末。

1. 珈慶杯撞球大賽的勝負是這樣決定的：裁判將寬 16 公分、

長7 公分的千元鈔票貼邊放置在長方形球台的左下角，如右圖所示。甲、乙兩參賽者分別擊球，球靜止位置離鈔票中心點較近者獲勝。

甲、乙擊球後，裁判拿尺仔細量得甲所擊球停在離球台左緣 23 公分，離球台下邊 39.5 公分處；乙所擊球停在離球台左緣40 公分，離球台下邊 27.5 公分處。

(1)已知 1521 是一個正整數，求此正整數。（3 分）

(2)求甲所擊球停止位置與鈔票中心點的距離。

　（答案必須以最簡單的形式表示）（4 分）

(3)如果你是裁判，你會裁定甲或乙獲勝？理由為何？（6 分）

【解答】(1) 39　(2) 39（公分）　(3)甲勝；因為甲距離較近

【詳解】^{建立坐標系，如右圖}

設 G ，A ， B 分別表示鈔票中心、甲、乙三點的位置，其坐標如圖 (1) 1521 3²13²  3 13 39

(2)^GA^



^{23 8}^

 

²^ ^{39.5 3.5}^



² ^ ¹⁵²^³⁶² ^ ^{3 5}²



²^¹²²



　　 3²13² 39（公分）

(3)^GB^



^{40 8}^

 

²^ ^{27.5 3.5}^



² ^ ³²²^²⁴² ^ ^{8 4}²



²^³²



^ ⁸²^⁵²

　　　  8 5 40（公分）

GA GB ，所以甲獲勝

2. 為預防禽流感，營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養素 A、至少 72 單位的營養素B 和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群。這三種營養素可由兩種飼料中獲得，且知第一種飼料每公斤售價5 元並含有 7 單位的營養素 A，3 單位的營養素 B 與 3 單位的營養素 C；第二種飼料每公斤售價 4 元並含有2 單位的營養素 A，6 單位的營養素 B 與 2 單位的營養素 C。

(1)若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與 y 公斤的第二種飼料就能符合營養師吩咐，則除了 x0， 0

y 兩個條件外，寫下 x， y 必須滿足的不等式組。（3 分）

(2)若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求，則 x， y 的值為何？最少的飼料成本又是多少？（10 分）

【解答】(1)

7 2 84 2 24 3 2 60

x y x y

x y

 

  

  



　(2)x18（公斤），y （公斤）時，飼料3

成本最少為102（元）

(8)

7 2 84 3 6 72 3 2 60

x y x y x y

 

  

  



即

7 2 84 2 24 3 2 60

x y x y

x y

 

  

  





 j k

l (2)將(1)中，，式分別作圖如右

先作L₁: 7x2y84，過點



12 , 0 ，

 

^{0 , 42}



　　L x₂: 2y24，過點



24 , 0 ，

 

^{0 ,12}



　　L₃: 3x2y60，過點



20 , 0 ，

 

^{0 , 30}



由上面L ，₁ L 可得兩線的交點3



^{6 , 21}



由L ，₂ L 可得兩線的交點3



18 , 3 且



L 交 x 軸於2



^{24 , 0}



在題設要求下，欲達營養要求，其可行區為圖中的斜影部分

設f x y 表飼料的成本，（ x ， y 分別表購買第一、第二種飼料的公斤數），則



^,



^{f x y}



^,



^⁵^x^⁴^y

現在欲使成本最少，則必使 f x y 的值最小



^,



由線性規畫原理可知， f x y 的最小值在可行區的邊界端點上；檢驗可得



^,





^{0 , 42}



^{4 42 168}

f   



^{6 , 21}



5 6 4 21 114 f     



^{18 , 3}



5 18 4 3 102 f     



^{24 , 0}



^{5 24 120}

f   

由此可知當x18公斤，y 公斤時，飼料成本為 102 元最少3

95 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 試 題 解 答 第壹部分﹕選擇題（佔

95

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 

 



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

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





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





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 



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

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

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

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

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

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

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 



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 

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 

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 

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95 年度指定科目考試數學乙試題解答第壹部分﹕選擇題（佔

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^{ }

^{ }

^

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^

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