线 性 代 数

线 性 代 数

(Linear Algebra)

陈曦

chenxi0109@bfsu.edu.cn

http://ibs.bfsu.edu.cn/chenxi

什么是“代数” ？

用字母代替数 —— 便于研究量之间的规律。

《线性代数》研究的内容





= +

= +

. ,

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

b x

a x

a

b x

a x

a

用字母代替数组、

11 12 1

1 2

21 22 2

a a b

a a b

β = ^ ^ β = ^ ^ β = ^{ } 

     

( )

( )

1 11 12 1

2 21 22 2

a a b

a a b

α α

=

=

研究数组的运算、关系及其应用的一门学科。

代替数组的组 ，

11 12 1

21 21 2

a a b

A a a b

 

=  

 

例如

序 言

第一章 行列式

本章主要内容：

n阶行列式 定义（§1.1）、

性质（§1.2、§1.3）；

克莱姆法则：

n元线性方程组与n阶行列式的关系（§1.4）

§1.1 n阶行列式

一、二阶、三阶行列式 1．二阶行列式





= +

= +

. ,

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

b x

a x

a

b x

a x

分析二元线性方程组的解 a

1 22 12 2 1

11 22 12 21

b a a b x a a a a

= −

−

11 2 1 21 2

11 22 12 21

a b b a

x a a a a

= −

−

1 1

x D

= D _x2 ^D2

= D

则当 D ≠ 0 ，

11 22 12 21 0

a a − a a ≠

当

1 12

1 1 22 12 2

2 22

b a ,

D b a a b

b a

= = − ₂ ^{11 1} _{11 2 1 21}

21 2

a b

D a b b a

a b

= = −

记 ^{11 12}

21 22

a a

D = a a

对角线法则:主对角线上 两元素乘积减去副对角线 上两元素乘积

11 22 12 21

a a a a

= −

【注】分母都为原方 程组的系数行列式.

【练习】设

2

3 1 D λ λ

=

问λ为何值时D＝0，λ为何值时D≠0？

2

2 2

3 , 3 0, 0, 3.

3 1

(1) 0 3 , 0, (2) 0 3 , 0.

D

D D

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

λ λ

= = − − = = =

= = =

≠ ≠ ≠

解 则

故 当 或 时

当 且 时

例1 利用行列式解二元线性方程组 ^{1 2}

1 2

2 3 8

2 3

x x

x x

+ =

  − = −



2．三阶行列式

希望当 D ≠ 0 也有

D x D

D x D

D

x₁ = D¹ , ₂ = ² , ₃ = ³







= +

+

= +

+

= +

+

; , ,

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

11

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

问题 三阶行列式如何计算，使上面结论成立？

三元线性方程组

33 32

3

23 22

2

13 12

1 1

a a

b

a a

b

a a

b 令 D =

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a D =

3 32

31

2 22

21

1 12

11 3

33 3

31

23 2

21

13 1

11 2

b a

a

b a

a

b a

a D

a b

a

a b

a

a b

a

D = =

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

33 22 11a a

= a

32.

23 11a a

− a

【注】1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号．

2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.

32 21 13a a + a

31 23 12a a + a

31 22 13a a

− a − a₁₂a₂₁a₃₃ 三阶行列式的计算

1 2 3 3 2 1 2 3 1

例2 计算 = 12

【练习】a,b 满足什么条件时有

0

0 0 1 0 1

a b b a

− =

答案：a=0且b=0.

以上方法只适用于三阶行列式的计算.

解 由于方程组的系数行列式

1 1

1

3 1

2

1 2

1

−

−

−

−

D = = ¹×¹×

( )

( ) ( ) ( )

2 1× ×

+ − ¹×¹×

( )

( )

( )

( )

−5

= ≠ 0,

例3 利用行列式解线性方程组

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2

2 3 1

0

x x x

x x x

x x x

− + = −

  + − =

 − + − =



同理可得

1 1

0

3 1

1

1 2

2

1

−

−

−

−

D = _{= −5,}

1 0

1

3 1

2

1 2

1

2

−

−

−

−

D = = −10,

0 1

1

1 1

2

2 2

1

3

−

−

−

D = = −5,

故方程组的解为:

,

1 1

1 = =

D

x D ₂ = ² = 2, D

x D ₃ = ³ = 1. D

x D

n个未知数的线性方程组 令

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

  + + + =

 

  + + + =











11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

a a a

a a a

D

a a a

=





   



1 12 1

2 22 2

1

2

n n

n n nn

b a a

b a a

D

b a a

=





   



11 1 1

21 2 2

2

1

n n

n n nn

a b a

a b a

D

a b a

=





   



11 12 1

21 22 2

1 2

n

n n n

a a b

a a b

D

a a b

=





   



问题 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

n阶行列式如何计算使上述结论成立？

...

希望当 ₁ D¹ , ₂ D² ,..., _n Dⁿ

x x x

D D D

= = =

0

D ≠

二、排列及其逆序数

定义2 在一个排列 中，若数

则称这两个数构成一个逆序.

(

^

^

^

) _i

_{> i}

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，

记作

τ ( i i

   i

i

i

) 或 N i i (

   i

i

i

) .

定义1 把n个不同的数排成一列，叫做这n个数的全排 列（或排列）.

特别：由n个自然数１、２、…、n组成的有序数 组称为一个n级（阶、元）排列.

n级排列共有n!种.

我们规定各数之间有一个标准次序,规定由小到大 为标准次序,若n个不同的自然数按照由小到大排列,称 这样的排列为n元自然序排列.

求排列的逆序数两种思路

排列中比每一元素 p_i 大的且排在 前面的元素个数

τ

τ τ τ

τ

pi

[方法一]

排列中比每一元素 小的且排在 后面的元素个数

，也是这个排列的逆序数。

的总和

pi

pi

τ

τ τ τ

τ

[方法二]

例如：求

τ ^（ 32145 ^）

3 2 1 4 5

0 1 2 0 0 32145 3

τ

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

∴

【法一】

（ ）＝

3 2 1 4 5

2 1 0 0 0

32145 3

τ

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

∴

【法二】

（ ）＝

逆序数为奇数的排列称为奇排列；

逆序数为偶数的排列称为偶排列.

排列的奇偶性

例4 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.

1） ２１７９８６３５４

+4 解：

τ

= 18

故此排列为偶排列.

0 1

0 0

1 3

4 + + + + + + +

2 1 7 9 8 6 3 5 4 5 0 1 0 0 1 3 4 4

[注] 逆序数为0称作偶排列, 例如: .

^τ ( ^123...n )

当 n = 4k,4k + 1 时为偶排列；

当 n = 4k + 2,4k + 3时为奇排列.

(

)

2 1 2

n n − + + + =

(

)

τ

(

)

解 ^{n n}

(

)(

)

0 1 2 n − 3 n − 2 n − 1 2） ^{n n}

(

)(

)

( ) (

) (

) (

) (

)

解

↓

0

↓

1

↓

1

↓

2

↓

2



k2

τ

当

k

当

k

( ) (

) (

) (

) (

)

3）

（k为自然数）

特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.

1、定义 对 换

在一个排列中，将某两个数a,b对调，其余各 数位置不变，这样的变换称为一个对换,记为(a,b).

例如 a₁





1 l b a 1 m

a





1 l 1 m 1 n

a a a b b b c c

1 l 1 m 1 n

a a b b b a c c 1）

2）

定理1 任意一个排列经过一次对换后，改变奇偶性．

证明 1°相邻两个数对换

除

a , b

2．对换与排列奇偶性的关系

m

l ab b b

a

a₁ ₁ a

b

m

l ba b b

a

a₁ ₁

ab ^{（ ， ）} ba

结论 对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.

次相邻对换

m

a

 a

a b b

 b

c

 c

次相邻对换

+

m

a

 a

b b

 b

a c

 c

1 _l

a b

,

a a b bc c

∴   

次相邻对换

1

2m

+ a

 a b

b

 b

ac

 c

,

综上一个排列中的任意两个数对换，排列改变 奇偶性.

n m

l a b b b c c

a

a₁ a ₁ b ₁ 2 °不相邻两个数对换

证明 设这n!个n级排列中共有s个奇排列,t个偶排列，

现证s=t.

故必有 s = t.

奇排列 ^{前两个数对换} 偶排列 所以 s ≤ t

ｓ个 ｓ个

偶排列 ^{前两个数对换} 奇排列 所以 t ≤ s

ｔ个 ｔ个

定理2 n个元素(n＞１)共有n!个n级排列,其中奇、偶 排列各占一半,即各有 n!/ 2 个.

1.分析三阶行列式结果

归纳每项内容及符号的规律

三阶行列式共有

6

3 !

（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．

三、n阶行列式

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

33 22 11a a

= a

32.

23 11a a

− a

32 21 13a a + a

31 23 12a a + a

31 22 13a a

− a − a₁₂a₂₁a₃₃

（2）符号： 当行标按1，2，3^{排列时，每项都可写成}

每项符号决定于列标排列的逆序数，即

( 1) −

其中 j j j_{1 2 3} 为列标全排列.

1 2 3

1j 2j 3j

a a a

综上，三阶行列式

1 2 3

1 2 3

1 2 3

11 12 13

( )

3 21 22 23 1 2 3

( )

31 32 33

( 1)

j j j

a a a

D a a a a a a

a a a

= = ∑ −

为对列标所有全排列求和 .

∑

) ( j₁ j₂ j₃

定义

2. n阶行列式

1°由

_n

a

2°为所有不同行不同列的n个数乘积的代数和，共 n！项 . 3°当行标按1，2，…，n排列时，每项符号决定于列标

排列的奇偶性：偶排列取正号，奇排列取负号.

4 °n阶行列式简记作

det( a

)

( )

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

1 2

1 ⁿ

n n

n

j j j n

j j n j

j j j

n n nn

a a a

a a a

D a a a

a a a

= =

∑





 



【注】 

5 °一阶行列式 a

=

例5 有4阶行列式，分析：

（1）

是否为展开式中的一项，若是，确定其在展开式中 的符号.

22 14

43 32 21 31

14 23 12

14 43 32

21a a a (2)a a a a (3)a a a a a a

11

21 22

1 2 3

0 0 0

0 0

n n n nn

a

a a

a a a a





 



11 22 33

...

=

【注】该行列式中左上角到右下角的对角线称为 主对角线,主对角线上的各元素称为主对角元素.

称左侧的行列式为下三角形行列式，右侧的行列 式为上三角形行列式.

例6 计算n阶行列式(其中 a_ii

≠ 0,

= 1, 2,...

11 12 1

22 2

0

0 0

0 0 ...

n n

nn

a a a

a a

a





 

＝

例7 计算n阶行列式 对角形行列式 ₁

2

0 ... 0

0 0... 0

0 ... 0

0 ... 0 _n

λ

λ

λ



( λ

≠ 0,

= 1, 2,... )

【练习】计算

λn

λ

λ



2

1

1 2 3

...

λ λ λ λ

=

【注】1.三角形行列式及对角形行列式的值均等于主

对角线元素的乘积。

2.由行列式定义知，若有一行（或一列）中的元素都 为0，则此行列式的值为 。

( 1) 2

1 2

( 1)

n n

λ λ λ

= − −  0

确定行列式中各项符号定理

定理3 n阶行列式

D = a

n n n

n i j i j i j

j j

j i

i

i ^{ }

a a  a

2 2 1

1 2

1 2

1 ) ( )

)

1

( −

其中 为行标的n级排列；

为列标的n级排列.

i

i

i



j

j

j



续例5 有4阶行列式，分析 (1) 的符号.

a a a a

推论 对于n阶行列式

1 2

1 2

1 2

( ... )

1 2

( ... )

( 1)

...

n n

i i i

i i i n

i i i

D = ∑ −

a a a

例8 用行列式的定义计算

0 0 0 1 0

0 0 2 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 0

Dn

n

n

=

−





    





解

D

= − ( ) 1

a

a

 a

a

( ) ^{1 1 2}

( ) ^{n 1 n}

= − ⋅  − ⋅

( )

= −

例9 用行列式的定义计算

0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1

(4123)

14 21 32 43

( 1)

a a a a 1

= − = −

【练习】 用行列式的定义计算

1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0

(1243) (1423)

11 22 34 43 11 24 32 43

( 1)^τ a a a a ( 1)^τ a a a a 0

= − + − =

小结

1、行列式是一种特定的算式，计算结果是数值，

它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次 方程组的需要而定义的;

2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;

3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积;

n n

4、 一阶行列式 a

=

5、 的符号为

1 1 2 2 n n

i j i j i j

a a  a ( ) ^{− 1}

^.

思考题

x3

所以 的系数为 解 含 x³的项有两项,即

对应于

( )

( )

− 1.

( )

( )

已知

( )

1 2

1 1

1 2

3

1 1

1

2 1

1

x x x

x x

f −

= ³

求 x 的系数

性质1 行列式与它的转置行列式相等.

行列式 D^T称为行列式 D 的转置行列式.

记

ann

a a



22 11







n n

a a a

2 1 12





2 1

21

n

n a

a

= a

D 





2 1 21

n n

a a a





n

n a

a a

2 1

= 12

DT

ann

a a



22 11

说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

§1.2 行列式的性质

. D D

,

) 1 (

) 1 ( D

) 1 ( D

:

n 2

1 n 2 1

n 2 1

n 2

1 n

2 1

n 2 1

n 2

1 n 2 1

n 2 1

j 2

j 1 j ) j j j ( N j

j j

nj 2j

1j ) j j j ( N j

j j 2

1

2 22

21

1 12

11

i 2

i 1 i ) i i i ( N i

i i 2

1

2 22

21

1 12

11

= ′

−

=

′

′

− ′

=

′

′

′

⋅

⋅

⋅

⋅

′

′

′

′

′

′

′ =

−

⋅ =

⋅

⋅

= ⋅

∑

∑

∑

′ =

因此

而据行列式定义 已知

证明

n a

a

nn n

n

n n

n

nn n

n

n n

a a

a

a a

a a

a a

a a

a

a a

a

a a

a a

a a

a a

a

a a

a

ji ij

































例如

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式的值为零.

, 5 7

1 5

7 1

−

= 2 6

6

8 5

3

. 8 2 5

8 2 5

−

= 3

6 1

5 6 7

5 6 7

3 6 1 2

6 6

8 5

3

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数

k

k

nn n

n

in i

i

n

a a

a

ka ka

ka

a a

a



































2 1

2 1

1 12

11

nn n

n

in i

i

n

a a

a

a a

a

a a

a

k



































2 1

2 1

1 12

11

=

推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到行列式的外面．

推论2 行列式有一行（列）的元素全为零，行列 式值为0 .

推论3 行列式中如果有两行（列）的对应元素成 比例，则此行列式为零．

证明

nn n

n

in i

i

in i

i

n

a a

a

ka ka

ka

a a

a

a a

a



















































2 1

2 1

2 1

1 12

11

nn n

n

in i

i

in i

i

n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

k



















































2 1

2 1

2 1

1 12

11

= = 0.

【思考】若给行列式的每一个元素都乘以同一数k，

等于用 乘以此行列式.

性质4 若行列式的某一行（列）的所有元素都是两数 之和，

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

( )

( )

( )

j j n

j j n

n n nj nj nn

a a a a a

a a a a a

D

a a a a a

+ ′ + ′

=

+ ′

 

 

   

 

则D等于下列两个行列式之和：

11 1 1 11 1 1

21 2 2 21 2 2

1 1

j n j n

j n j n

n nj nn n nj nn

a a a a a a

a a a a a a

D

a a a a a a

′

= + ′

′

   

   

       

   

例如:

性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k, 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．

11 1 1 1

21 2 2 2

1

i j n

i j n

n ni nj nn

a a a a

a a a a

a a a a

  

  

   

  

11 1 1 1 1

21 2 2 2 2

1

( ) ( )

( )

i j j n

i j j n

i j

n ni nj nj nn

a a ka a a

a a ka a a

C kC

a a ka a a

+ + +

+

  

  

   

  

× k 例如:

例1 判断下列各式成立否？

（1）

0 2

0

1 0

1

3 2

1

3 2

1

0 2

0

1 0

1

−

=

（3）

3 3

3

2 2

2

1 1

1

3 3

3

2 2

2

1 1

1

3 3

3 3

3

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1

e c

a

e c

a

e c

a

d b

a

d b

a

d b

a

e d

c b

a

e d

c b

a

e d

c b

a

D = +

+ +

+ +

+ +

=

（4）

12 34

23

2 3 12

34

34 23

12

D =

6 8 9 1 9 6 8 12 8 9 6

=

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3

3 2 1 3 2 1

− = × + − × + × +

（2）

3 3

5 1

1 1

0 2

4 3

1 5

2 1

1 3

−

−

−

−

−

−

= D

例2 计算四阶行列式

利用行列式的性质，把行列式化为上(下)三角形 行列式或对角形行列式，从而算得行列式的值

．

计算行列式的常用方法

【注】以 r_i表示行列式的第i行，以C_i表示第i列.交换 i,j两行记作r_i r_j , 交换i.j两列记作C_i C_j.

2 1

1 2

4 1

3 2

2 3

4 2

4 3

1 3 1 2 1 3 1 2 1 5 3 4 0 8 4 6 0 2 1 1 5 0 2 1 1 5 1 3 3 0 16 2 7 1 3 1 2 1 3 1 2

0 2 1 1 4 0 2 1 1 0 8 4 6 8 0 0 8 10 0 16 2 7 0 0 10 15

1 3 1 2 0 2 1 1

5 / 4 40

0 0 8 10 0 0 0 5 / 2

r r

D C C

r r

r r

r r

r r

r r

↔

− −

− − − −

= ↔ − −

− + −

− − −

− −

− + −

− − − −

− −

−

+ − =

−

－

解

【注】 化为上三角形行列式的基本步骤：

如果第一列第一个元素为0，先将第一行（列）与 其他行（列）交换，使得第一列第一个元素不为0；

然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使 得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为0；

再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低 一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列 式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。

例3 计算行列式

2 10

10 4

4

6 14

7 5

3

1 2

4 0

2

5 9

7 3

3

1 3

2 1

1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

= D