國中數學5 3 2外心、內心、重心

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3−2 外心、內心、重心

本節課程學習重點: ◎能理解任一個三角形必有外心。 ◎能理解直角三角形斜邊中點是此三角形的外心。 ◎能理解任一個三角形必有內心,且三角形的內心在三角形的內部。 ◎能理解三角形的內心至各邊等距離。 ◎能理解若△ABC 周長為 s,內切圓半徑為 r,則△ABC 的面積=1 2sr 。 ◎能理解直角三角形中,內切圓半徑 r= 2 − 兩股和 斜邊 。 ◎能理解三角形的重心為三中線的交點。 ◎能理解三角形的重心到一頂點距離等於過該頂點之中線長的2 3。 ◎能理解三角形的重心與三頂點的連線段將三角形的面積三等分。 ◎能理解三角形的三中線將三角形的面積六等分。 一、三角形的外心: (1)外心是三角形三邊中垂線的交點,同時也是三角形外接圓的圓心。 (2)外心到三角形的三頂點等距離。 如右圖,若 O 點為△ABC 的外心,則 OA = OB = OC 。 (3)三角形外心位置: 銳角三角形的外心在三角形內部; 鈍角三角形的外心在三角形外部; 直角三角形的外心在斜邊中點上。(直角三角形斜邊中點到三頂點等距離) ◎三角形三中垂線交於一點: 已知:如右圖,△ABC 中,L、M、N 分別為 AB 、 BC 、 CA 的中垂線。 求證:(1)L、M、N 交於一點。 (2)L、M、N 的交點到△ABC 三頂點的距離相等。 想法:證明兩邊中垂線的交點,也在第三邊的中垂線上。 證明:(1)設 L、M 相交於 O 點,連接 OA 、 OB 、 OC 。 ∵O 在 AB 的中垂線 L 上,∴ OA = OB ……○1 ∵O 在 BC 的中垂線 M 上,∴ OB = OC ……○2 由○1 、○2 知 OA = OC , ∴O 必在 AC 的中垂線 N 上,故 L、M、N 交於一點 O。 (2)由(1)可知 OA = OB = OC ,即 L、M、N 的交點到△ABC 三頂點的距離相等。 【觀念釐清】找三角形的外心時,只要作兩個邊的中垂線,再找到其交點即可。 ◎利用尺規作圖找出直角三角形、鈍角三角形的外心: C A N L B M A N L B M C O A B C O

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◎外心到三角形三頂點的距離相等: 【說明】分別對△ABC 是銳角、鈍角、直角三角形,找到外心位置,並且畫出它們的外接圓。 A B C O A C B O A C B O 銳角三角形 鈍角三角形 直角三角形 從直角三角形的外接圓可以發現,直角所對的弦為直徑,所以直角三角形的斜邊即為 外接圓的直徑,直徑的中點即為圓心,故可知直角三角形的外心為斜邊中點。 ◎外心的性質:(圓O為△ABC的外接圓,O為外心。) (1)如下左圖,∠A為銳角,則∠BOC=2∠A。 (2)如下右圖,∠A為鈍角,則∠BOC=360°-2∠A。 B C A O B C A O D

【說明】(1)∵∠BOC是 BC 所對的圓心角,∠A是 BC 所對的圓周角,∴∠BOC=BC=2∠A。 (2)∵∠A 為 BDC 所對的圓周角,∴︵BDC=2∠A,又∠BOC 為 BAC 所對的圓心角, ∴∠BOC= BAC=360°-︵BDC=360°-2∠A。

練習 1:如右圖,在銳角△ABC 中,O 點為外心, 若∠BAC=65°,則∠BOC 的度數為何?

練習 2:如右圖,在銳角△ABC 中,O 點為外心,若∠AOC=100°,則 (1)∠ABC 的度數為何? (2)若∠ABO=30°,則∠AOB 的度數為何? (3)承(2),∠ACB 的度數為何? B C A O B C A O

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練習 3:如右圖,在鈍角△ABC 中,O 點為外心, 若∠BAC=110°,則∠BOC 的度數為何?

練習 4:在△ABC 中,O 點為外心,若∠BOC=140°,則∠BAC 的度數為何? (Hint:需考慮外心在三角形的內部或外部) 練習 5:如右圖,直角△ABC 中,∠C=90°,若 AC =8、 BC =6, 則其外接圓半徑為多少? 練習 6:如右圖,直角△ABC中,∠C=90°,O點為外心, 若 OC = BC =6,則△ABC 的面積為多少? 練習 7:如右圖,O 點為鈍角△ABC 的外心,若 AB = AC =13、 BC =24,則其外接圓半徑為多少? 練習 8:如右圖,O 點為等腰△ABC 的外心, AB = AC =5, BC =6,則其外接圓半徑為多少? B C A O A B C A O C B 5 A C O B A C O B

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二、三角形的內心: (1)內心為三角形三內角平分線的交點,同時也是三角形內切圓的圓心。 (2)內心到三角形的三邊等距離。 (3)三角形面積=1 2×三角形周長×三角形內切圓半徑。 (4)直角三角形中,內切圓半徑=兩股和-斜邊 2 。 ◎三角形三角平分線交於一點: 已知:如右圖,△ABC 中,L、M、N 分別為三內角的角平分線。 求證:(1)L、M、N 交於一點。 (2)L、M、N 的交點到△ABC 三邊的距離相等。 想法:證明兩個角的角平分線交點,也在第三個角的角平分線上。 證明: (1)設 L、M 相交於 I 點,過 I 分別作三邊的垂線, 交 AB 、 BC 、 CA 於 P、Q、R 三點, ∵I 在∠BAC 的角平分線 L 上,∴ IP = IR ……○1 ∵I 在∠ABC 的角平分線 M 上,∴ IP = IQ ……○2 由○1 、○2 知 IR = IQ ,

∴I 必在∠ACB 的角平分線 N 上,故三條角平分線 L、M、N 交於一點 I。 (2)由(1)可知 IP = IQ = IR ,即 I 到△ABC 的三邊等距離。 【觀念釐清】找三角形的內心時,只要作兩個角的角平分線,再找到其交點即可。 ◎利用尺規作圖找出直角三角形、鈍角三角形的內心。 ◎內心到三角形三邊的距離相等: 【說明】分別對△ABC 是銳角、鈍角、直角三角形,找到內心位置,並且畫出它們的內切圓。 因為內心為三角形內切圓的圓心,所以內心一定都在三角形的內部。 銳角三角形 鈍角三角形 直角三角形 I A B ×× C I A B C × × I A B ×× C N M A B C L P R Q I L N M A B C

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◎內心的性質:若 I 為△ABC 的內心,則∠BIC=90°+1 2∠A。 【說明】∵ BI 、 CI 分別平分∠ABC、∠ACB, 得∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB, ∴∠BIC=180°-(∠1+∠2)=180°-1 2(∠ABC+∠ACB) =180°-1 2(180°-∠A)=90°+ 1 2∠A。 練習 9:如右圖,在△ABC 中,I 點為內心,若∠A=80°,

則∠BIC 的度數為何?

練習 10:(1)在△ABC 中,I 點為內心,若∠A=100°,則∠BIC 的度數為何? (2)在△ABC 中,I 點為內心,若∠BIC=150°,則∠BAC 的度數為何?

◎內心性質的應用:若 I 點為△ABC 的內心,則△AIB:△BIC:△CIA=¯AB : ¯BC : ¯CA 。 已知:I 點為△ABC 的內心,設△AIB、△BIC、△CIA 的面積分別為 a、b、c。

求證:a:b:c=¯AB : ¯BC : ¯CA 。 證明:設△ABC 的內切圓半徑為 r, 則△AIB 面積=a= 1 2ׯAB ×r △BIC 面積=b= 1 2ׯBC ×r △CIA 面積=c= 1 2ׯCA ×r 故 a:b:c=( 1 2ׯAB ×r):( 1 2ׯBC ×r):( 1 2ׯCA ×r) =¯AB : ¯BC : ¯CA 。 練習 11:如右圖,若 I 點為直角△ABC 的內心,且∠C=90°, ¯AB =10, ¯BC =8,則△ABI 的面積為多少? A I B C A I 1 2 B C B C A I r r r B C A I A I C B

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◎三角形面積公式:

如右圖,I 點為△ABC 的內心,s 為△ABC 的周長,r 為△ABC 的內切圓半徑, 則△ABC 面積=1

2×s×r。 【說明】連接 IA 、 IB 、 IC ,

則△ABC 面積=△AIB 面積+△BIC 面積+△CIA 面積 =1 2× AB ×r+ 1 2× BC ×r+ 1 2× CA ×r 12×( AB + BC + CA )×r=12×s×r。 練習 12:如右圖,△ABC 中, AB = AC =10、 BC =12, 則其內切圓半徑為多少? ◎直角三角形內切圓的半徑: 如右圖,直角△ABC 中,∠C=90°,I 點為內心, 則直角△ABC 內切圓半徑=BC + AC - AB 2 。 【說明】(1)如右圖,設 P、Q、R 為△ABC 三邊與內切圓 I 的切點, 設內切圓半徑為 r,在四邊形 PIQC 中, ∵∠PCQ=∠IPC=∠IQC=90°, ∴∠PIQ=360°-3×90°=90°, 又 IP = IQ =r,∴四邊形 PIQC 為正方形。 (2)由圓的切線性質可知: AP = AR 、 QB = BR 、 PC = CQ =r, ∴ AC + CB = AP + PC + CQ + QB = AR +r+r+ BR = AB +2r, 得內切圓半徑 r= BC + AC - AB 2 。 【觀念釐清】如右圖,若直角三角形的斜邊長為 c,兩股長為 a,b, 且直角三角形內切圓半徑為 r,則 c+2r=a+b。 練習 13:如右圖,直角△ABC 中,∠B=90°,若 AB =10, AC =26, 則內切圓半徑為多少? B I C A B I C A r B C A A C B I A C B P R Q I a b c r A B C I

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三、三角形的重心: (1)重心為三角形三中線的交點。 (2)重心到一頂點的距離等於過該頂點之中線長的 2 3 如右圖,G 點為△ABC 的重心, 則 AG =2 3 AD , BG = 2 3 BE , CG = 2 3 CF 。 (3)三角形的重心與三頂點的連線段將此三角形的面積三等分。 (4)三角形的三中線將此三角形的面積六等分。 【觀念釐清】對於一個線對稱圖形,因為對稱軸兩邊圖形的大小一樣,所以它的重心會落在對稱軸上。 例如:(1)材質均勻分布的圓形木板,重心就在圓心上。 (2)材質均勻分布的菱形木板,重心就在對角線的交點。 ◎三角形三中線交於一點: 已知:如右圖,在△ABC 中,D、E、F 分別為 BC 、 AC 、 AB 三邊的中點。 求證:(1) AD 、 BE 、 CF 相交於一點 G。 (2) AG =2 GD 、 BG =2 GE 、 CG =2 GF 。 證明:(1)如右圖,連接 AD 、 BE ,設交於 G 點。 連接 DE ,∵D、E 分別為 BC 、 AC 中點, 則 DE // AB ,且 DE : AB =1:2, 在△DEG 和△ABG 中, ∵ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ ∠1=∠2 ( 內錯角相等) ∠3=∠4 ( 內錯角相等) ∴△DEG~△ABG (AA 相似), 因此 DG : AG = EG : BG = DE : AB =1:2, 得 AG =2 3 AD 。 如右圖,連接 CF 、 AD ,設交於 G' 點, 同理,也可以得到 AG' =2 3 AD 。 所以 G 與 G' 為同一點,因此三中線 AD 、 BE 、 CF 會相交於一點。 (2)由 DG : AG =1:2,可知 AG =2 GD ,同理可得 BG =2 GE 、 CG =2 GF 。 【觀念釐清】找三角形的重心時,只要作兩個邊的中線交點即可。 ◎利用尺規作圖找出各△ABC 兩條中線的圖形,可發現三角形的重心一定在三角形的內部。 B C G A B C G A B C G A 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 A B E F D C A B G E 1 3 2 4 D C A B G' D F C A B D F E C G

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◎重心的性質:(1)三角形的重心與三頂點的連線段將此三角形的面積三等分。 (2)三角形的三中線將此三角形的面積六等分。 【說明】(1)已知:如右圖,G 點為△ABC 的重心。 求證:△ABG 面積=△BCG 面積=△ACG 面積。 證明:延長 CG 交 AB 於 F 點, ∵ CF 為中線,∴ AF = BF , 得△ACF 面積=△BCF 面積 (等底同高), 同理可得△AGF 面積=△BGF 面積, ∴△ACF 面積-△AGF 面積=△BCF 面積-△BGF 面積, 即△ACG 面積=△BCG 面積, 同理可得△BCG 面積=△ABG 面積, 故△ABG 面積=△BCG 面積=△ACG 面積。 (2)已知:如右圖,G點為△ABC的重心。 求證:△GBD 面積=1 6△ABC 面積。 證明:∵G 為△ABC 的重心,∴△GBC 的面積=1 3△ABC 的面積, 又 BD =1 2 BC ,∴△GBD 的面積= 1 2△GBC 的面積, 故△GBD 的面積=1 2× 1 3△ABC 的面積= 1 6△ABC 的面積。 練習 14:如右圖,△ABC 的三中線 AD 、 BE 、 CF 相交於 G 點, 若 AD =18、 BE =12、 CF =15,則 AG + BG + CG 為何? 練習 15:如右圖,直角△ABC 中,∠B=90°,G 點為中線 ¯AD 、 ¯CE 之交點, 若¯AB =8、 ¯AC =10,則△ACG 面積為多少? 練習 16:如右圖,△ABC 中,G 點為中線 ¯AD 、¯BE 之交點, 若¯AB = ¯AC =5, ¯BC =6,則△AGE 面積為多少? A D F E G C B A B D E C G A B D E C G A B C G A B C G F A B D F E C G

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練習 17:如右圖,四邊形 ABCD 為平行四邊形,¯AC 與 ¯BD 為平行四邊形的對角線,交點為 O, E 為 ¯BC 的中點,¯AE 與 ¯BD 相交於 M,且¯OM =5,則 (1) ¯BD 為多少? (2)△AMO 的面積為平行四邊形 ABCD 面積的幾分之幾? 練習 18:如右圖,四邊形 ABCD 為平行四邊形,¯AC 與 ¯BD 為平行四邊形的對角線,E 為 ¯CD 的中點, ¯AE 與 ¯BD 相交於 O 點。若△ODE 的面積為3 平方公分,則平行四邊形 ABCD 的面積為何? ◎特殊三角形的三心關係: (1)等腰三角形:如下左圖,等腰△ABC 頂角平分線 ¯AD 不僅是角平分線,也是對邊 ¯BC 上的中線 以及中垂線,所以等腰三角形的外心、內心與重心都會落在 ¯AD 上,即等腰三角形 的外心、內心與重心三心共線。 (2)正三角形:如下中圖,正△ABC 中,各邊的中垂線 ¯AD 、 ¯BE 、 ¯CF 同時也是各邊的中線及各角 的角平分線,因此正三角形的外心、內心與重心為同一點 P,即正三角形的外心、 內心與重心三心共點。 (3)直角三角形:如下右圖,直角△ABC 中,∠B=90°,O、D 分別為 ¯AC 、 ¯BC 之中點, ¯AD 、 ¯BO 相交於 G 點,所以 O 點為△ABC 的外心,G 點為△ABC 的重心,也就是直角三角形 的外心和重心同時在中線 ¯BO 上,即直角三角形的外心和重心共線。

練習 19:如右圖,O 為正△ABC 的外心,且 ¯OD =4,則△ABC 面積為多少?

A D B E C O M A D B C E O A B D C I O G A D B F E C P A B D C O O B D O G C A

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練習 20:如右圖,O、G 兩點分別為直角△ABC 的外心及重心。 若 ¯AC =24,則 ¯OG 長度為多少? 練習 21:如右圖,O、G 兩點分別為直角△ABC 的外心及重心。 若 ¯OG =5,則△ABC 的外接圓面積為多少? 四、多邊形的外心與內心: ◎多邊形的外接圓與外心: 如果一個多邊形的每個頂點都剛好在同一個圓上,則 (1)此多邊形稱為這個圓的圓內接多邊形。 (2)這個圓稱為此多邊形的外接圓,圓心稱為此多邊形的外心。 如下圖,O1、O2、O3分別為各多邊形的外心。

O1 O2 O3 圓內接三角形 圓內接四邊形 圓內接五邊形 【說明】圓內接多邊形的各邊都是該圓的弦,由「一弦的垂直平分線必通過其 所在圓的圓心」可知圓內接多邊形每一邊的垂直平分線會交於一點, 此交點為多邊形的外心,如右圖。反之,若多邊形各邊的垂直平分線 同時交於一點,依「垂直平分線性質」可知此多邊形每一個頂點都與 該交點等距離,即此多邊形為圓內接多邊形,而各垂直平分線的交點 就是多邊形的外心。 【觀念釐清】多邊形不一定有外心。 【說明】考慮右圖中的平行四邊形 ABCD 是否有外心? 如右圖,先分別作 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的 中垂線 L1、L2、L3、L4。 ∵ AD // BC ,∴L2//L4;∵ AB // CD ,∴L1//L3。 可知四邊的中垂線 L1、L2、L3、L4不會同時交於一點, 所以此平行四邊形 ABCD 沒有外心。 B D O G C A B D O G C A O A D L1 L2 L3 L4 B C A D B C

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練習 22:判斷下列各多邊形是否有外心?若有外心,請找出外心並畫出外接圓。 (1) (2) ◎多邊形的內切圓與內心: 如果一個多邊形的內部有一個圓,且多邊形每邊都與此圓相切,則 (1)此多邊形稱為這個圓的圓外切多邊形。 (2)這個圓稱為此多邊形的內切圓,圓心稱為此多邊形的內心。 如下圖,O1、O2、O3分別為各多邊形的內心。

O1 圓外切三角形 圓外切四邊形 圓外切五邊形 O2 O3 【說明】圓外切多邊形的各邊都是該圓的切線,如右圖,由「圓心到切線的距離等於圓的半徑」 可知:內心到此多邊形各邊的距離相等。 再由角平分線的性質「到此角兩邊等距離的點會落在角平分線上」 可知:圓外切多邊形每一角的角平分線會交於一點,此交點為多邊形的內心。 【觀念釐清】多邊形不一定有內心。 【說明】考慮右圖中的長方形ABCD是否有內心? 如右圖,分別作∠A、∠B、∠C、∠D 的角平分線 L1、L2、L3、L4。 ∵∠B=∠D=90°,∴∠1=∠2=45°, 又 AD // BC ,得∠1=∠3, 可知∠2=∠3,即 L2//L4。同理,L1//L3。 因此四個內角的角平分線 L1、L2、L3、L4不會同時交於一點, 所以此長方形 ABCD 沒有內心。

I

L3 L2 L4 L1 A D B C 2 3 1 A D B C

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練習 23:判斷下列各多邊形是否有內心?若有內心,請找出內心並畫出內切圓。 (1) (2) ◎正多邊形的外心與內心:(利用正多邊形的對稱軸來討論它的外心與內心) ◎正多邊形:如果一個多邊形的所有邊都等長,而且所有內角都相等,則稱為正多邊形。 【觀念釐清】正多邊形都有外心與內心,且外心與內心是同一點。 【說明】(1)如下圖左,先摺出正五邊形ABCDE的五條對稱軸,觀察可知這些摺痕交於一點,且此交點 為正五邊形ABCDE各邊中垂線的交點,也是各內角角平分線的交點。其中五條對稱軸既是 各邊的中垂線,也是各內角的角平分線。所以這五條對稱軸的交點,是正五邊形的外心, 也是它的內心,也就是說,正五邊形有外心與內心,且外心與內心是同一點。 (2)如下圖右,先摺出正六邊形 ABCDEF 的六條對稱軸,觀察可知這些摺痕交於一點,且此 交點為正六邊形ABCDEF各邊中垂線的交點,也是各內角角平分線的交點。其中三條是 各邊的中垂線,其交點是正六邊形的外心。另外三條是各內角的角平分線,其交點是 正六邊形的內心,而正六邊形的外心與內心是同一個點。 ◎正多邊形的對稱軸: (1)若正多邊形邊數是奇數時,其對稱軸是各邊的中垂線,也是各內角的角平分線。 (2)若正多邊形邊數是偶數時,其對稱軸是各邊的中垂線或各內角的角平分線。 ◎正六邊形的性質:正六邊形可等分成六個正三角形。 【說明】如右圖,已知 O 為正六邊形 ABCDEF 的內心。 連接 OC 、 OD 、 OE 、 OF , ∵O 為內心,∴ OE 、 OD 分別平分∠FED、∠EDC, 又正六邊形的內角皆為 120°,則∠1=∠2=∠3=∠4=60°, 得△DOE 為正三角形,同理可知: △COD、△EOF、△FOA、△AOB、△BOC 也是正三角形。 練習 24:如右圖,設一正六邊形 ABCDEF 邊長為 1, 求此正六邊形內切圓及外接圓的半徑。 A B E C D A F C B E D A F C B E D O 1 2 43 B C F E D A

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練習 25:如右圖,已知正六邊形 ABCDEF 外接圓的直徑為 8 公分, 求此正六邊形的周長。 ◎補充:尤拉線(Euler Line) 尤拉(Leonhard Euler,1707~1783,瑞士)是一位很優秀的數學家,在他諸多的論述中, 有一個「尤拉線」性質,內容是:「任意三角形的外心、重心、垂心會在同一條直線上, 這條直線稱為此三角形的尤拉線。」其中所謂的垂心,是指三角形三高的交點。 A C B O H L G 如上圖,△ABC 中,O 點為外心、G 點為重心、H 點為垂心,通過此三心的直線 L 就是 尤拉線。其中,重心與垂心的距離等於重心與外心的距離的兩倍。 自我評量 1. 若 O 點為△ABC 的外心,已知 ¯OA =5x-8、 ¯OB =3x+8,則 (1) x=? (2) ¯OC 為多少? 2. 直角△ABC 中,∠B=90°、 ¯AB =6、 ¯BC =8,則其外接圓半徑為多少?內切圓半徑為多少?

3. 等腰△ABC 中,¯AB = ¯AC =10,若 G 點為重心,且¯AG =4,則△ABC 和△ABG 面積分別為多少? B C F E D A

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4. 如右圖, ¯AB 為圓 O 的直徑,D、E 分別為 ¯AC 、 ¯BC 中點,

¯AE 、 ¯BD 相交於 G 點,若圓 O 面積為12π,則 ¯OG 長度為多少?

5. △ABC 中,∠A=90°, ¯AB =12、 ¯AC =9,D、E 分別在 ¯AB 、 ¯AC 上,P 為 ¯CD 、 ¯BE 的交點,則 (1)如圖(a),若 P 點為重心,則四邊形 AEPD 的面積為多少?

(2)如圖(b),若 P 點為內心,則△BEA 面積比△BEC 面積的比值為多少?

6. 如下圖,四邊形 ABCD 為等腰梯形,其中 ¯AD // ¯BC , ¯AB = ¯CD ,求作此等腰梯形 ABCD 的外心。

7. 如右圖,正六邊形 ABCDEF 與正△FCG 的面積比為何?

習作

1. 如右圖,在銳角△ABC 中,∠A=80°,且 O 為△ABC 的外心, 則∠BOC 的度數為何? C O A B A C B O D G E B C A E D P 圖(a) B C A E D P 圖(b) B C D A B C A E D G F

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A D E  H  F  G  C  B  2. 如右圖,△ABC 中,∠A=45°、∠B=90°, 若 AB =8,則△ABC 的外接圓面積為多少? 3. 若 I 為△ABC 的內心,¯AB : ¯BC : ¯AC =3:6:7。 已知△AIB 的面積為 21,則△ABC 的面積為何?

4. 如右圖,△ABC 中,∠A=100°,且 I 為△ABC 的內心, 則∠BIC 的度數為何? 5. 如右圖,△ABC 中,∠A=60°、∠B=90°, 若 AB =6,則△ABC 的內切圓半徑為多少? 6. 如右圖,G 點為直角△ABC 的重心,且 O 為斜邊

AC

¯

的中點, 若¯AB =10 公分, ¯BC =24 公分,則 GO 長度為何? 7. 如右圖,△ABC 中,三中線 ¯AD 、¯BE 、 ¯CF 交於 G 點,H 點在直線 CF 上, 且 ¯CG = ¯GH 。若四邊形 AHBG 的面積為48,則 (1)求證: ¯GF = ¯FH 。 (2)△ABG 的面積為多少? (3)△ABC 的面積為多少? A C B B C A I A G D O B C A C B   B C I

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8. 若正△ABC 的邊長為 12,則其內切圓面積與外接圓周長分別為何? 9. 若直角三角形外心與重心的距離為 4,且兩股長之和為 30,則此直角三角形的內切圓面積為多少? 10.

如下圖,請利用尺規作圖判斷,菱形 ABCD 是否有內心?是否有外心?

A B C D A B C D 11. 如右圖,△ABC 中,¯AB = ¯AC , ¯BD 、¯CE 為中線, 且 ¯BD ⊥¯CE ,若 ¯BC = 2 公分,則¯CE 長度為何? 12. 如右圖,等腰△ABC 中,¯AB = ¯AC =13、 ¯BC =10,若 G、O 兩點 分別為△ABC 的重心及外心,則 ¯GO 的長度為何? 類題補充 1. 已知 O、G、I 三點分別為直角三角形 ABC 的外心、重心與內心,兩股長 AB =18, BC =24,則 (1) GO =? (2) IO =? C A D B E C O G A B

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2. 如圖,圓 O 為△ABC 的內切圓, AH 為 BC 上的高,已知 AB =14, AC =10, BC =12, △ABC 面積=24 6 ,求圓 O 半徑為何? A O C B H 3. 如圖,G 點為△ABC 的重心, AG =12, BG =15, CG =9, 若延長中線 AD 至 K,使 KD = GD ,連接 BK 。則 (1) AB =? (2)△ABC 面積=? 4. 如圖,G 點為直角△ABC 兩中線的交點,∠ACB=90°, AB =30, BC =18, 且四邊形 BDCG 為平行四邊形,求 (1)四邊形 BDCG 面積=? (2)G 點到 BC 的距離=?

5. 如圖,O、G 兩點分別為直角△ABC 的外心與重心,∠ABC=90°, 若 OG =4, BC =8,求

(1) AC =?

(2) △AOG 的面積=?

6. 在△ABC 中, AB = AC =10, BC =12,若 O、G 兩點分別為△ABC 的外心與重心,則 OG =? A C E B D F G K A C B D G A C B G O

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7. 如圖,D、E 兩點分別為 AB 、 BC 之中點,若 AF =2x-4, FE =10-x, DF =x-2,則 x= ; CD = 。

8. △ABC 中,∠A=90°,∠B=60°,I 點為內心,若△AIC 面積為 5 3 平方單位,則△BIC 面積=?

9. 在坐標平面上有 A(-2 , 6)、B(-2 , -2)、C(4 , -2)三點,若 O 點為△ABC 的外心,則 O 點的坐標 為何?

10. 如下圖,△ABC 中,I 點為內心, ID ⊥ BC , IE ⊥ AC , IF ⊥ AB 。 已知△ABC 的面積為 60 平方公分,則

(1)若 ID =3 公分,則△ABC 的周長為多少公分?

(2)若 5 AC =6 AB ,2 BC =3 AC ,則△AIB 面積:△BIC 面積:△CIA 面積=?

11. 如右圖,直角△ABC 中,∠C=90°,若 AB =10 公分, BC =8 公分, 則△ABC 的重心 G 到其它三邊距離的和為多少公分? A F C E B D B F I E D C A B F G E D C A

(19)

加強練習

1. 若 O 點為△ABC 的外心, OA =5x-3, OC =-2x+11,則 OB =?

2. 若 I 點為△ABC 的內心, AB =5, BC =7, CA =9,則下列何者的面積最大? (A)△AIC (B)△AIB (C)△BIC (D)三者一樣大

3. △ABC 的三中線 AD 、 BE 、 CF 相交於 G 點, AG =8, CF =9, GE =2,則下列何者錯誤? (A) AD =12 (B) BG =6 (C) GF =3 (D) AD + BE + CF =27

4. 若 O 點為△ABC 的外心,∠A=60°,∠C=70°,則∠AOB= 度,∠AOC= 度。 5. 若 I 點為△ABC 的內心,∠A=60°,∠C=70°,則∠AIC= 度。 6. 下列關於三角形內心的敘述何者錯誤? (A)內心就是三角形三內角角平分線的交點 (B)等腰三角形的頂角愈小,則其頂點離內心愈遠 (C)若△ABC 的內心為 I 點,則 IA = IB = IC (D)若三角形的內心與外心在同一直線上 則此三角形必為等腰三角形 7. 由尺規作圖得知正三角形的外心、內心、重心均在同一點,則正三角形的外接圓的半徑是其內切圓 半徑的多少倍? (A) 2 (B) 4 (C) 3 2 (D) 2 3

8. 在△ABC 中,∠ACB=30°,∠ABC=110°,O 點為外心,則∠AOC= 度。 9. 在△ABC 中,I 點為其內心,且∠A=80°,則∠BIC= 度。

10. 直角△ABC 中,∠C=90°,G 點為重心,若 AB =15,則 CG =? 11. 右圖是由三條道路圍成的三角形小鎮 ABC,若要在小鎮中建一道路救援中心, 使其到三條道路之距離皆相等,則此救援中心應建在三角形小鎮的何處? (A)內心 (B)外心 (C)重心 (D)不一定 12. 右圖為一三角形公園,頂點 A、B、C 為三個出入口,今要在公園內建造公廁, 使其到三個出入口的距離相等,則公廁應建在三角形公園的何處? (A)內心 (B)外心 (C)重心 (D)不一定 13. 在一塊均勻的三角木板上,若想要在板上穿一條線,使它水平懸在空中, 則此線應穿在三角木板上的什麼位置? (A)內心 (B)外心 (C)重心 (D)不一定 14. 若 G 點為正△ABC 的重心, AD 、 BE 、 CF 為中線,若 AB =12,則 (1) DG + EG + FG = 。(2) △AGE 面積= 平方單位。 15. 如右圖,正△ABC 的三中線 AD 、 BE 、 CF 交於 G 點, 且其邊長為 4 公分,則△AFG 的面積為多少? 16. △ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,I 點為內心, 則△AIB:△BIC:△CIA= 。

17. △ABC 為正三角形,O 點為外心,若 AO =4,則△ABC 之周長為 。 18. △ABC 中∠A:∠B:∠C=5:6:7,則外心 O 會落在△ABC 的 。

B C A B C A B F G E D C A

(20)

Ans:1. 7;2.(A);3.(B);4. 140,100;5. 115;6.(C);7.(A);8. 140;9. 130;10. 5;11.(A);12.(B); 13.(C);14.(1) 6 3 ,(2) 6 3 ;15.2 3

3 ;16. 2:1: 3 ;17. 12 3 ;18.內部。 心得筆記

數據

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參考文獻

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