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教學重點整理微積分全

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Academic year: 2021

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(1)台北市立建國高級中學 數學―微積分 教學重點整理. 陳. 嘯. 虎. 老師.

(2) 第四章 微分 第一節 泛說 【定義】 1. 切線: 通過 P (a, f (a)) 作一割線,與函數圖形 Γ 交於另一點 Q(a + ∆x, f (a + ∆x)) ,當 Q 點沿著圖形 Γ 漸漸趨近 P 點,割線 PQ 也漸漸繞著 P 點轉動而趨近一個極 限位置,這條極限位置的直線 L ,叫做通過 P 點切線,點 P 稱為切點。. y. Q(a + ∆x, f (a + ∆x)). L. P (a, f (a)) x 2.. 割線斜率: 若 P (a, f (a)) 為函數 y = f ( x) 圖形上的一個固定點,令 Q(a + ∆x, f (a + ∆x)) 為 圖 形 上 趨 近 P 點 的 動 點 , 則 割 線 PQ 的 斜 率 為. f (c + ∆x) − f (c) f (a + ∆x) − f (a ) f (a + ∆x) − f (a) = ,也就是 稱割線斜率。 (a + ∆x) − a ∆x ∆x 3.. 切線斜率: 當 Q 點沿著 y = f (x) 的圖形逐漸趨近 P 點時,若割線 PQ 也非常趨近過 P 點. f (a + ∆x) − f (a) , P 點為切點,而過 P 點 ∆x → 0 ∆x 且 垂 直 此 切 線 的 直 線 稱 為 過 P 點 的 法 線 。 當 ∆x → 0 時 , 函 數 的一條直線,此時切線斜率為 lim. f (a + ∆x) − f (a) 的極限稱為切線斜率,以 f ' (a) 表示。 ∆x 註: f ' (a) 不同的表示法 f ' (a) = lim. ∆x →0. f (a + ∆x) − f (a) f ( a + h) − f ( a ) f ( x) − f (a ) = lim = lim h → 0 h → 0 ∆x h x−a. 1.

(3) y L. f (c + ∆x) − f (c). P. ∆x. x. (1)對於一次函數,可以斜率描述它的傾斜程度,以縱坐標對橫坐標的變化 率表示。 (2)對於二次函數,函數的傾斜程度隨時變化,以導數表示圖形上該點附近 縱坐標對橫坐標的變化率。 【問題】 1. 連續函數上是否每一點的切線斜率都存在? 2. 是否從左側逼近求得的切線斜率與從右側逼近求得的切線斜率都會相同? 【定義】 1. 平均速度: 一個質點在質線上運動時,所走的距離函數 y = f (x) 隨著時間 x 而改變,也 就是距離 y 為時間 x 的函數,則此質點在某一時間點 x0 的平均速度為 4.. f ( x0 + h ) − f ( x0 ) 。 ( x0 + h ) − x0 2.. 瞬時速度: 一個質點在質線上運動時,所走的距離 y = f (x) 隨著時間 x 而改變,也就是 距離 y 為時間 x 的函數,則此質點在某一時間點 x0 的瞬時速度為. lim h→0. 3.. f ( x0 + h ) − f ( x0 ) (注意 h → 0 不包含 h = 0 之情形)。 ( x0 + h ) − x0. 平均變化率: 設函數 y = f (x) 在 x = a 處及鄰近有意義,我們稱. f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) = 為函數 y = f (x) 由 x = a 至 a + h 之間的平 ( a + h) − a h 均變化率(或稱為差商)。. 4.. 瞬時變化率: 設函數 y = f (x) 在 x = a 處及鄰近有意義,當 h 趨近 0 時,若. f ( a + h) − f ( a ) h. f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) 存在,我們稱 lim 為 h →0 h →0 h h 函數 y = f (x) 在 x = a 處的瞬時變化率(或稱為函數 y = f (x) 在 x = a 處的導 的極限值存在,也就是 lim. 2.

(4) 數),以 f ' (a) 表示,即 f ' (a) = lim h →0. f ' (a) = lim x→a. f ( a + h) − f ( a ) 。亦可表成為 h. f ( x) − f ( a ) 。 x−a. 【討論】 對於 lim h →0. f ( x + h) − f ( x ) 而言, ( x + h) − x. 1. 若存在且為有限值,表示有非鉛垂切線。 2. 若等於 + ∞ 或 − ∞ ,表示有鉛垂切線。 3. 若不存在,表在 P 點無切線。. 3.

(5) 第二節 導數的定義 【定義】 導函數的定義:. f ( x0 + h ) − f ( x0 ) 存在又為有限值,稱 h →0 h f (x) 在 x = x0 可微且極限值稱 f (x) 在 x = x0 的導數,記為 f ' ( x0 ) 。. 對於函數 f (x) 在 x = x0 附近都有定義且 lim. 右導數:. f +′ ( x0 ) = lim+ h →0. f ( x0 + h ) − f ( x0 ) 。 h. 左導數:. f ( x0 + h ) − f ( x0 ) 。 h →0 h f (x) 在 (a, b) 可微 ⇔ f (x) 在 (a, b) 中之每一點均可微。. f −′ ( x0 ) = lim− 【符號】 一階導數:. f ′( x0 ) ,. df ( x) dy , Df ( x) x = x , y ′ x = x , 0 0 dx x = x0 dx. x = x0. , Dy x= x. 0. n 階導數:. f ( n ) ( x0 ) ,. d n f ( x) dx n. , D n f ( x) x = x0. x = x0. , y ( n). x = x0. ,. dny dy n. , Dn y x = x0. x = x0. 【應用】 1. 切線方程式: 以 P (a, f (a)) 為切點的切線方程式為 y − f (a) = f ' (a)( x − a) 。. 2.. 法線方程式: 以 P (a, f (a)) 為切點的法線方程式為 y − f (a) =. 【討論】 1. 切線是否與曲線必只交於一點? 2. 直線與曲線交於一點是否必為切線?. 4. −1 ( x − a) 。 f ' (a). 。.

(6) 第三節 微分的基本計算 【重點】 導函數:. 1.. 常數函數 f ( x) = c , c 為常數,則 f ' ( x) = lim. 2.. 函數 f ( x) = x , n 為自然數,. h →0. f ( x + h) − f ( x ) c−c = lim = 0。 h →0 h h. n. 利用二項式定理可知 ( x + h) n = x n + C1n hx n −1 + C 2n h 2 x n − 2 + L + C nn−1 h n −1 x + h n ,. f ( x + h) − f ( x ) ( x + h) n − x n 則 f ' ( x) = lim = lim = nx n −1 。 h →0 h → 0 h h 3.. 多項函數 f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + L a1 x + a 0 的導函數為. f ' ( x) = na n x n −1 + (n − 1)a n −1 x n − 2 + L a1 【性質】 導函數的運算性質: 若函數 f (x) 與 g (x) 的導函數在定義域都存在,則 1. ( f ( x) + g ( x))′ = f ′( x) + g ′( x) 。. (證明) ( f ( x + h) + g ( x + h)) − ( f ( x) + g ( x)) h →0 h. lim. = lim( h→0. f ( x + h ) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) + ) h h. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) + lim h→0 h→0 h h = f ′( x) + g ′( x) ( f ( x) − g ( x))′ = f ′( x) − g ′( x) 。. = lim. 2.. (證明) ( f ( x + h) − g ( x + h)) − ( f ( x) − g ( x)) h→0 h. lim. = lim( h→0. f ( x + h ) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) − ) h h. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) − lim h →0 h →0 h h = f ′( x) − g ′( x) (af ( x))′ = af ′( x) 。. = lim. 3.. (證明) 5.

(7) af ( x + h) − af ( x) h→0 h. lim. a( f ( x + h) − f ( x)) h→0 h. = lim. = (lim a )(lim h →0. 4.. h →0. f ( x + h) − f ( x ) ) h. = af ′(x) 多項函數的導函數: (a n x n + L + a1 x + a0 )′ = na n x n −1 + (n − 1)a n −1 x n − 2 + L + a1 (證明) 利用若 f ( x) = x n , n 為自然數,. ( x + h) n − x n f ( x + h) − f ( x ) = lim = nx n −1 即可。 h →0 h → 0 h h ( f ( x) g ( x))′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) 。. 則 f ′( x) = lim. 5.. (證明) lim h →0. f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x ) h. = lim h→0. f ( x + h) g ( x + h) − f ( x + h) g ( x ) + f ( x + h ) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) h. ( f ( x + h) − f ( x)) g ( x) + ( g ( x + h) − g ( x)) f ( x + h) h →0 h. = lim. g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x ) × g ( x) + × f ( x + h)) h →0 h h (注意個別極限存在) = lim(. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) × g ( x)) + lim( × f ( x + h)) h → 0 h h = f ( x) × g ' ( x) + g ( x) × f ' ( x) f ( x) f ′( x) g ( x) − g ′( x) f ( x) ( )′ = 。 g ( x) ( g ( x)) 2 = lim( h →0. 6.. (證明) f ( x + h) f ( x ) − g ( x + h) g ( x ) lim h →0 h = lim. f ( x + h) g ( x ) − g ( x + h) f ( x ) hg ( x + h) g ( x). = lim. f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − g ( x + h ) f ( x ) hg ( x + h) g ( x). h →0. h →0. 6.

(8) = lim h →0. ( f ( x + h) − f ( x)) g ( x) − ( g ( x + h) − g ( x)) f ( x) hg ( x + h) g ( x). (注意個別極限存在) ( f ( x + h) − f ( x)) g ( x) ( g ( x + h) − g ( x)) f ( x) − lim h →0 h →0 hg ( x + h) g ( x) hg ( x + h) g ( x). = lim. 1 f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) f ( x) × lim − lim × lim h→0 h →0 g ( x + h) h →0 h →0 g ( x + h) g ( x ) h h f ′( x) g ( x) − g ′( x) f ( x) = ( g ( x)) 2 = lim. 7.. 合成函數的導函數(連鎖律(chain rules)): 已知函數 y = f o g ( x) = f ( g ( x)) ,則 y ′ = f ′( g ( x)) g ′( x) 。. (證明一) lim. ∆x→0. f ( g ( x + ∆x)) − f ( g ( x)) ∆x. ⎛ f ( g ( x + ∆x)) − f ( g ( x)) ⎞⎛ g ( x + ∆x) − g ( x) ⎞ ⎟⎟⎜ lim = ⎜⎜ lim ⎟。 ∆x g ( x + ∆x) − g ( x) ⎠ ⎝ g ( x + ∆x )→ g ( x ) ⎠⎝ ∆x→0 = f ′( g ( x)) g ′( x) (證明二) 設 y = f (u ), u = g ( x) 則. 8.. ∆y ⎛ ∆y ⎞⎛ ∆u ⎞ dy du dy = lim = ⎜ lim lim = f ′(u ) g ′( x) = f ′( g ( x)) g ′( x) 。 ⎟ ⎜ ⎟= dx ∆x→0 ∆x ⎝ ∆u →0 ∆u ⎠⎝ ∆x→0 ∆x ⎠ du dx. 微分性質:. dy 1 = dx dx dy. 【討論】 1. 可導函數一定是連續函數?(答:是) 2. 連續函數一定是可導函數?(答:不一定) 【性質】 試證:可微函數必定為連續函數。 證明: 設 f ′( x0 ) = lim h →0. f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h. f ( x0 + h ) − f ( x0 ) → f ′( x0 ) h ⇒ f ( x0 + h) − f ( x0 ) → hf ′( x0 ) 當 h → 0 時, f ( x0 + h) → f ( x0 ). ⇒. 即 lim f ( x0 + h) = f ( x0 ) h →0. 7.

(9) 則 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0. 【應用】 隱微分: 給定方程式 y 4 − x 3 y 3 + yx 2 − 10 = 0 則 4 y 3 y′ − 3x 2 y 3 − 3x 3 y 2 y′ + 2 yx + x 2 y′ = 0 得 y′ =. 3 x 2 y 3 − 2 yx 。 4 y 3 − 3x 3 y 2 + x 2. 8.

(10) 第五章 導數的應用 第一節 初步估計 【性質】 設 f (x) 在 x = x0 可微分, 若 f ′( x0 ) > 0 f ( x0 + h ) − f ( x0 ) 則 f ′( x0 ) = lim >0 h →0 h 當h → 0時 1. 若 h > 0 ⇒ f ( x0 + h) > f ( x0 ) 2. 若 h < 0 ⇒ f ( x0 + h) < f ( x0 ) 即 f (x) 在 x = x0 附近嚴格遞增 【定義】 若 f ′( x0 ) > 0, ∀x ∈ [a, b] 則 f (x) 在 [a, b] 嚴格遞增 以 f (x) ↑ 表示 同理 若 f ′( x0 ) < 0, ∀x ∈ [a, b] 則 f (x) 在 [a, b] 嚴格遞減 以 f (x) ↓ 表示 【意義】 幾何意義: 1. f ′( x0 ) > 0, ∀x ∈ [a, b] 則切線斜率為正 故在 x = x0 附近的走向是由左下至右上的。 f ′( x0 ) < 0, ∀x ∈ [a, b] 2. 則切線斜率為負 故在 x = x0 附近的走向是由左上至右下的。 【符號】 dy : y 在 x 的微分。 dx :變數 x 的微分。 ∆y : y 增量。 ∆x : x 增量。. 【估計】 (證法一) 設 f ′( x0 ) 存在 則當 x → x0 時,. f ( x ) − f ( x0 ) − f ′( x0 ) → 0 x − x0. 此時 f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) (證法二) 9.

(11) dy = f ′( x0 ) 存在 dx ∆y 則當 ∆x → 0 時, − f ′( x0 ) → 0 ∆x 此時 ∆y ≈ f ′( x0 )∆x 設. y Q( x0 + ∆x, f ( x0 + ∆x)) P( x0 , f ( x0 )). dy. ∆y. dx = ∆x. x0. x0 + ∆x. x. 【性質】 1. dy = f ′( x0 )dx 2. dx = ∆x 3. ∆y ≈ f ′( x0 )∆x = f ′( x0 )dx = dy 【方法】 Newton 求根法: 取適當的初值 x0 利用過 ( x0 , f ( x0 )) 的切線方程式 y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 ) 取 x1 = x0 −. f ( x0 ) (切線與軸的焦交點) f ′( x0 ). 依此類推 取 x2 = x1 −. f ( x1 ) f ′( x1 ). … xn = xn−1 −. f ( xn−1 ) f ′( xn−1 ). 若 lim xn = x * n →∞. 則 x* = x* −. f ( x* ) f ′( x * ). 得 f ( x* ) = 0 即 x* 為 f ( x) = 0 之一根 注意:初值要適當的取,否則可能產生發散數列 10.

(12) y. x x1. x0. 11.

(13) 第二節 均值定理 【定義】 臨界點: f (x) 在 x0 可微且 f ′( x) = 0 或 f (x) 在 x0 不可微,稱 x0 是 f (x) 的臨界點。 【定理】 洛爾定理(Rolle’s Theorem): 函數 f (x) 在 [a, b] 連續,且 f (a) = f (b) ,則 f (x) 在 (a, b) 中至少有一個臨界點。 證明: 若 f (x) 在 (a, b) 中某一點不可微,則成立 故設 f (x) 在 (a, b) 中可微, 又 f (x) 在 [a, b] 連續 則 m = min f ( x), M = min f ( x) 都存在 x∈[ a ,b ]. x∈[ a ,b ]. (1)若 m = M 則 f ( x) = m = M , ∀x ∈ [a, b] 故 f ′( x) = 0, ∀x ∈ (a, b) 即 ∀x ∈ (a, b) 皆為臨界點 (2)若 m < M 則 m ≤ f (a) = f (b) ≤ M 左右至少一不相等 不妨設 m ≤ f (a) = f (b) < M = f ( x0 ), x0 ∈ (a, b) (a)若 f ′( x0 ) > 0 ,則 ∃x0 + h(h > 0) ∋ f ( x0 + h) > f ( x0 ) = M →← (b)若 f ′( x0 ) < 0 ,則 ∃x0 − h(h > 0) ∋ f ( x0 − h) > f ( x0 ) = M →← 故 f ′( x0 ) = 0 【定理】 均值定理(Mean Value Theorem): 設函數 f (x) 在 (a, b) 可微, f (x) 在 [a, b] 連續,則至少存在一點 x0 ∈ (a, b) ,使得 f (b) − f (a) = f ′( x0 ) (平均值之意)。 b−a 證明: ⎞ ⎛ f (b) − f (a) 取 g ( x) = f ( x) − ⎜ ( )( x − a) + f (a ) ⎟ b−a ⎠ ⎝ 則 g (a) = g (b) = 0 因 f (x) 在 (a, b) 可微,在 [a, b] 連續 故 g (x) 在 (a, b) 可微,在 [a, b] 連續 由洛爾定理知 ∃c ∈ (a, b) ∋ g ′(c) = 0 f (b) − f (a) 即 = f ′( x0 ) b−a. 12.

(14) 第三節 泰勒公式 【名詞】 為了將一些特殊的函數能以多項式來求近似值,我們將函數 f (x) 表成 Pn ( x) + Rn ( x) 。. f ′(a) f ′′(a) f ( n ) (a) ( x − a) + ( x − a) 2 + L + ( x − a) n 稱為 f (x) 在 1! 2! n! x = a 的 n 階泰勒多項式(nth Taylor polynomial for f at x=a), f ( n+1) (c) ( x − a ) n+1 稱為餘項(Remainder)。若 a = 0 時,稱為 f (x) 在 x = a 的 Rn ( x) = (n + 1)! n 階 Maclaurin 多項式。而 Pn ( x) + Rn ( x) 稱為 f (x) 在 x = a 的 n 階泰勒展開式。 注意:泰勒展開式的目的不在找 c ,而在控制誤差大小,再取適當的 n 值。 【定理】 設函數 f (x) 在區間 I 上有連續的導數 f ′(x) ,並設 f ′(x) 在 I 內各點(端點可能除 外)均為可微。則對於任意 a, b ∈ I ,在 a, b 之間存在一點 c ,使得 f ′(a) f ′′(c) f (b) = f (a) + (b − a) + (b − a) 2 1! 2! 證明: f ′(a) k 取 g ( x) = f ( x) − f (a) − ( x − a) − ( x − a) 2 1! 2! f (b) − f (a) − f ′(a)(b − a) 其中 k = (b − a) 2 2! 則 g (x) 在 I 內可微, I 上連續 又 g (a) = g (b) = 0 由洛爾定理知 ∃c′ ∋ g ′(c′) = 0 又 g ′(a) = 0 且 g ′(x) 在 I 內可微, I 上連續 由洛爾定理知 ∃c ∋ g ′′(c) = 0 又 g ′′( x) = f ′′( x) − k 故 k = f ′′(c) 因 g (b) = 0 f ′(a) f ′′(c) 代回得 f (b) = f (a) + (b − a) + (b − a) 2 1! 2! 其中 Pn ( x) = f (a) +. 13.

(15) 第四節 極大與極小 【性質】 1. 遞增(減)函數與導數的關係: 設 f (x) 在某區間內(開區間、閉區間或半開半閉區間)導函數 f ' ( x) 存在, (1) 若 f ' ( x) ≥ 0 ,則 f (x) 在該區間內為遞增函數。 (2) 若 f ' ( x) ≤ 0 ,則 f (x) 在該區間內為遞減函數。. 2.. 遞增(減)函數與導數的關係: 設 f (x) 在區間 (a, b) 內的導函數 f ' ( x) 存在, (1) 若 f (x) 在區間 (a, b) 內為遞增函數,則對於每一個 x ∈ (a, b) , f ' ( x) ≥ 0 。 (2) 若 f (x) 在區間 (a, b) 內為遞減函數,則對於每一個 x ∈ (a, b) , f ' ( x) ≤ 0 。. 【定義】 1. 最大值(絕對(全部)極大值)(absolute maximum): 若 f (c) ≥ f ( x), ∀x ∈ D 。. 2.. 最小值(絕對(全部)極小值)(absolute minimum): 若 f (c) ≤ f ( x), ∀x ∈ D 。. 3.. 極大值(相對(局部)極大值)(relative maximum): 若 f (c) ≥ f ( x), ∀ | x − c |< δ 。. 4.. 極小值(相對(局部)極小值)(relative minimum): 若 f (c) ≤ f ( x), ∀ | x − c |< δ 。. 【定理】 若 f (x) 在 x = a 有極值產生,且 f ' (a) 存在,則 f ' (a) = 0 。 證明: 不妨設 f (x) 在 x = a 有極大值產生. f ( a + h) − f ( a ) h →0 h (1)若 h > 0 ⇒ a + h > a 當 h → 0 時, f (a + h) ≤ f (a) 則 f ' (a) ≤ 0 又 f ' (a) = lim. (2)若 h < 0 ⇒ a + h < a 當 h → 0 時, f (a + h) ≤ f (a) 則 f ' (a) ≥ 0 由(1)(2)得 f ' (a ) = 0 【問題】 1. 若 f ' (a) = 0 ,則 f (x) 在 x = a 有極值產生?(不一定) 【性質】 極值可能產生在: f ' ( x) = 0 之點。 1. f ' ( x) 不存在之點。 2. 14.

(16) 3. 端點。 【問題】 1. 若 f (x) 在 x = a 附近的導數都存在,且 f ' (a) = 0 ,則何時 f (x) 在 x = a 處有 極值產生? 解: ⎧if x < a ⇒ (1) ⎨ ⎩if x > a ⇒ ⎧if x < a ⇒ (2) ⎨ ⎩if x > a ⇒. f ' ( x) > 0 ⇒ f (x) 在 x = a 處有極大值產生。 f ' ( x) < 0 f ' ( x) < 0 ⇒ f (x) 在 x = a 處有極小值產生。 f ' ( x) > 0. 即 x = a 處兩側之導數異號。 【性質】 1. 若 f ' ' (a) < 0 ,則 f (x) 在 x = a 處凹口向下。 2. 若 f ' ' (a) > 0 ,則 f (x) 在 x = a 處凹口向上。 【性質】 設 f ' (a) = 0, f ' ' (a) ≠ 0, 1. 若 f ' ' (a) < 0 ,則 f (x) 在 x = x0 處有極大值(凹向下)。 2. 若 f ' ' (a) > 0 ,則 f (x) 在 x = x0 處有極小值(凹向上)。 證明: f ' (a) = 0, f ' ' (a) > 0, 2. 則 ∃( x0 − ε , x0 + ε ) ∋ f ′( x) < f ′( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 − ε , x0 ) 且 f ′( x) > f ′( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 , x0 + ε ) 則 f (x) 遞減 ∀x ∈ ( x0 − ε , x0 ) 且 f (x) 遞增 ∀x ∈ ( x0 , x0 + ε ) 得 ∋ f ( x) > f ( x0 ), ∀x ∈ ( x0 − ε , x0 ) 且 f ( x) < f ( x0 ), ∀x ∈ ( x0 , x0 + ε ) 故 x0 為極小點 【例題】 求 f ( x) = x 3 − 3x 的極值。 解: f ( x) = x 3 − 3x ⇒ f ′( x) = 3 x 2 − 3 = 3( x − 1)( x + 1) ⇒ f ′′( x) = 6 x x 0 1 −1. f ′(x) f ′′(x) f (x). +. − | 0 反曲點. | − 2 極大值. 15. |. + +. −2 極小值.

(17) 第五節 描曲線法 【方法】 描曲線時,將下列各項盡量標出: 1. 與軸交點。 2. 端點或臨界點。 3. 遞增、遞減範圍。 4. 極值點。 5. 漸近線。 6. 凹口方向。 【定義】 反曲點(Inflection points): 若 f ′′( x0 ) 在 x0 之前與之後的符號不同(自正變負或自負變正),則曲線的凹口方向 改變,此時在 x0 既不凹向上也不凹向下,我們把 ( x0 f ( x0 )) 這樣的點稱為反曲點(若 f ′′( x0 ) 存在,則必 f ′′( x0 ) = 0 )。. 16.

(18) 第六節 不定型的極限 【定理】 均值定理的推廣: 設函數 f ( x), g ( x) 在 (a, b) 可微,在 [a, b] 連續,則至少存在一點 c ∈ (a, b) ,使得 f ′(c)( g (b) − g (a)) = g ′(c)( f (b) − f (a)) 。 證明: 設 h( x) = f ( x)( g (b) − g (a)) − g ( x)( f (b) − f (a)) 則 h′( x) = f ( x)′( g (b) − g (a)) − g ( x)′( f (b) − f (a)) 且 h(a ) = h(b) = f (a) g (b) − g (a) f (b) 由洛爾定理知 ∃c ∈ (a, b) ∋ h ′(c) = 0 故得證 【定理】 羅必達法則(L’Hospital Theorem): 設函數 f ( x), g ( x) 在 (a, b) 可微,並設 lim+ f ( x) = 0 及 lim+ g ( x) = 0 。如果對於 x→a. ∀x ∈ (a, b) , g ′( x) ≠ 0 ,並且極限 lim+ x→a. x→a. f ′( x) 存在且為 L ,則 g ′( x). f ( x) f ′( x) = lim+ = L。 x → a g ( x) x → a g ′( x ) 證明: 定義 f (a) = lim+ f ( x) = 0 及 g (a) = lim+ g ( x) = 0 lim+. x→a. x→a. 對於 ∀x ∈ (a, b) f ( x) f ( x) − f (a) f ′(c) = = ∃c ∈ (a, b) ∋ g ( x) g ( x) − g (a) g ′(c) f ( x) f ( x) − f (a) f ( x) − f (a) f ′(c) f ′( x) = lim+ 則 lim+ = lim+ = lim+ = lim+ x → a g ( x) x→a g ( x) − g (a ) x→a g ( x) − g (a ) c → a g ′(c ) x → a g ′( x ) 故得證. 17.

(19)

參考文獻

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