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3-1和角公式

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Academic year: 2021

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(1)

3-1.和角公式

[多選題]   1.若 4 3 4      ,則下列何者恆為真? (A) 2 2 sin 2 2 - (B) 2 2 ) cos( 2 2 - - (C) 2 1 cos sin 2 1 - (D)-1tan1 (E) 2 3 2 sin 2 1 [3-1.和角公式][計算題]

  1.設 是銳角,若cos3+cos2+cos+10,試求(1)cos 值 (2) 值。   2.試求:(1)(1+tan1 +)(1 tan44)的值(2)(1+ tan1)(1+ tan2)(1+ tan3)

n 2 ) 44 tan 1 (+ = ,求n 值。

  3.設 cos+sin=0.4,試求(1)cos3+sin3的值。(2)cos3-sin3的值。

  4.直角△ADHAB8,BC6,CD4(1) ∠ 若AHB=∠CHDHD(2)∠AHD+∠BHD ∠ +CHD180°HD   5.求下列各值:(1)sin19°cos79°-sin71°cos11° (2)cos200°cos280°-sin100°sin160° (3)          10 sin 70 sin 10 cos 70 cos 10 sin 130 cos 10 cos 50 sin -

(4)cos(110°+)cos(40°-)-sin(110°+)sin(40°-) (5)      128 cot 83 tan 1 128 cot 83 tan -   6.設 5 3 cos - ,(  2 ),求sin( 6)  - 之值。   7.設 tanx+tany=4,cotx+coty=3,試求 tan(x+y)之值。   8.設 4    - ,求(1+cot )(1- cot)之值。

  9.設

, ,均為正銳角,若tan 1,tan2,tan3,求值。  10.設

5 3 2

cos  ,求 (1)cos4sin4 (2)cos6sin6 (3)cos6sin6 (4)cos8sin8

 11.設 4 1 sin cos-  ,求    sin 2 2 1 2 sin 4 1 2 sin 2 1 1 n n 2 之和。  12.設為一正銳角,acos,試將sin2 , 2 sin ,tan2 , 2 tan 。分別表為a 之函數。

 13.設 2cos2 3sin21,而1,2為滿足此方程式之二角,求tan(1+2)。

 14.在 0

x<2的範圍內,解下列方程式 (1)sin3x=2sinx (2)cos3x-cos2x+cosx=0 (3)csc2x+2cot2x- 5cscx=0 (4)cos2x=cosx(sinx+sinx )。  15.設x 解下列方程式 (1)R 4 1 x cos x sin   (2)cos2x+3sinx+1=0 (3) ) 4 4 tan( ) 4 tan(  - -  。  16.設 0<x<

,試解不等式, 8 7 2 x cos 2 x sin 8 5 4 4

(2)

 17.求 8(cos4+sin4)在區間[ 6  , 12 5 ]上之最大值,最小值。  18.設a=sin35,b=cos25,試求ab 1a2 1b2 之值。  19.設tan+tan=4cot+cot=3,試求tan(+)之值。

 20.設

、 、均為銳角,tan=1,tan=2tan=3,試求++之值。  21.求csc10- 3sec10的值。  22.試求     5 4 sin 5 3 sin 5 2 sin 5 sin 之值。

 23.設sinx+cosx=0.8,試求sin3x-cos3x之值。  24.設 t 1 t cos 2 =+ ,請問t 表示2cos3 。

 25.試求tan9-tan27+tan81-tan63之值。  26.試求sin6sin42sin66sin78之值。

 27.△ABC 中,若 9 7 A tan = , 8 1 B tan = ,試求∠C 的值。  28.已知四邊形 ABCD 中,AB16BC25CD15,<ABC 及 <BCD 皆為銳角,而 sin<ABC= 25 24 ,sin<BCD= 5 4 。 1、求BD之長。2、求AD之長。 [3-1.和角公式][單選題]   1.設

,分別是二、三象限角,且 13 5 sin= , 5 4 sin=- ,求+是 (A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 (E)象限角。   2.設 90°<<180°,且 2 2 tan= ,下列各式中何者最大? (A) 2

sin (B)sin (C)sin2 (D) 

3

sin (E)sin4。

  3.設是銳角,則 1+sin- 1-sin 為 (A)sin (B)cos (C)

2 sin 2  (D) 2 cos 2  (E)   cos sin - 。   4.設 9 1

tan= ,tan(+)=1,則tan的值為 (A)

3 2 (B) 4 3 (C) 5 4 (D) 6 5 (E) 7 6 。   5.設

,分別是一、三象限角,且 13 5 sin= , 5 4 sin=- ,則-是 (A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 (E)是象限角。   6.設 a=sin39° , b=cos21°,則下列各式中何者的值為 2 1 - ? (A)a 1b2 +b 1a2 (B) 2 b 1

a - -b 1a2 (C)ab+ 1a2 1b2 (D)ab- 1a2 1b2 (E)a 1a2 + 2

b 1

b - 。

  7.設  是一銳角,且 sec=3,則下列各式中何者最大? (A)cos (B)cos2 (C)cos3 (D)cos4 (E)cos

2 

(3)

  8.設 sin與 cos是方程式 x2+px+q=0 的二根,則 2cos2 2  (cos 2  +sin 2  )2的值為 (A)p+q (B)1 +p+q (C)1-p+q (D)1+p-q (E)1-p-q。   9.     sin cos 1 sin cos 1 + + + - 可簡化為 (A)sin 2  (B)cos 2  (C)tan 2  (D)cot 2  (E)sec 2  。  10.設 , 分別是第二、四象限,且 sin= 13 5 , sin=- 5 4 ,則-為 (A)第一象限角 (B)第二象 限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 (E)象限角。

 11.sin74°-sin14°等於下列何式 (A)sin60° (B)2cos44°cos30° (C)2cos44°sin30° (D)2sin44°cos30° (E)2sin44°cos30°。  12.tan(x+y)tan(x-y)+1= (A) x sin y cos y sin y cos 2 2 2 2 - - (B) y sin y cos x sin y cos 2 2 2 2 - - (C) y sin y cos y sin x cos 2 2 2 2 -  (D) y sin x cos y sin y cos 2 2 2 2  - (E) y sin x cos x sin x cos 2 2 2 2 - -  13.若 sinθ 為 4x2+4x-3=0 之一根,則 cos2θ 之值為 (A)1 (B) 2 3 (C) 2 2 (D) 2 1 (E)0。 [3-1.和角公式][填充題]   1.△ABC 中,若secA=7, 11 14 B sec = ,則∠C= 。

  2.設tan , tan是方程式2x28x30的兩根,則tan(+ )

  3.設

3 1

tan= ,則sin2+cos2+tan2= 。   4.設 3 2 cos cos+ = , 3 1 cos

cos- = ,則cos3-cos3=

  5.     12 11 sin 12 7 sin 12 5 sin 12 sin4 4 4 4 的值為 。   6.設0 x<2,滿足cos2x+5sinx-3=0時,x= 。

  7.設是第二象限角,且3sin2sincos2cos20,則cos2的值為 。   8.設cos是4x24x30的一根,則cos3的值為 。

  9.設tan , tan是方程式x24xa0的二根,且tan(+)=-4,則a= 。

 10.△ABC 中,tanA= 8 1 , tanB= 9 7 ,則∠C=        。

 11.設 tan , tan是方程式 x2+3x-1=0 的兩根,則 sin2(+)+3sin(+)cos(+)+cos2(+)的 值為        。  12.設 3    3 2 ,則16cos3-12cos的最大值為        。  13.設 sin+sin= 2 1 , sin-sin= 3 1 ,則cos2-cos2的值為        。  14.y=3cos2-2sin+1 的最大值為        。  15.cot9°-cot27°+cot81°-cot63°的值為        。

(4)

 16.設 2 

<x<,滿足 cos3x+2cosx=0 時,x=        。  17.設 sin是 4x2-4x-3=0 的一根,則 sin3的值為        。

 18.設  為一銳角,且 6sin2+sincos-2cos2=0,則 cos2的值為        。  19.設 a=sin35°,b=cos25°,則 ab+ 1a2 1b2  。  20.設 5 4 sin- , 13 12 sin ,且 2 3     , 2 ,則sin(-) ,cos(+) 。  21.設 2 3 2          ,且 5 3 sin , 5 12

tan ,則sin()cot(+) 。  22.ABC中,cosA= 5 3 ,cosB= 13 12 ,則 (1)cosC=  (2)此三角形之形狀為 。  23.設 2 0 , 2

0 ,且tan2,tan3,求(1)tan() (2)  24.若 3 2 sin- ,求 ) 2 8 ( sin ) 2 8 ( sin2  2  之值 。  25.求 3tan74°- 3tan44°-tan74°tan44°之值為 。  26.設 2 3 cos cos  , 2 3 sin sin  ,則cos(-)= 。

 27.設tan , tan2x2-4x+1=0 的二根,則 2sin2(+)-4sin(+)cos(+)+4cos2

) (+ 的值為    。  28.設 2 2 3 , 5 3 cos ,則cos2= ,   2 cos ,   2 5 cos 。  29.設 2 1 cos sin  , 2 2 3 ,求 (1)sin2 (2) 2  )2 2 sin 2 (cos 2 cos 2      (3)            ) 3 2 cos( ) 6 cos( ) 3 2 sin( ) 6

sin( - - -     (4)sin cos-  。

 30.如右圖,已知ADDB且 4 DCBC3ACB90 一有向角,則) 2 2 sin(- 。  31.以 x+sin 18  除8x3-6x+1996 之餘式為    。

 32.設sincos a,則sin3-cos3      。(以 a 表示)  33.4 3 sin310°-3cos10°-3 3 sin10°+4cos310°=    。  34.設 0<x< 4  4 17 x tan 1 x tan   ,則cos2x= 。  35.設tan-2,則(sincos)2 

 36.設 0<x<2

,則方程式sinx+sin2x+sin3x=0 有 個解。

(5)

 38.設ABC為一直角三角形,□BCDE是以BC為一邊向 外作出的正方形,若BC=5CA=4AB=3 cosACD= ACD  39.一盒中有 10 個球,球上分別印有號碼 1 到 10;今由盒中取 4 球,則 4 球之號碼中第二大樹木是 7 的機率為 。  40.(如圖)θ 為一有向角,AB=2,BC=5,則 sin2θ= 。 A B C D θ  41.設 y= 3sinx-cosx+8,且 0<x2

,則當x= 時,y 有最小值。

 42.sin15°+ cos15°+ tan15°+ cot

12

+ sec 12  + csc 12  = 。  43.Sin252.5° - sin27.5° = 。

 44.(1) sin21° cos66° - cos21° sin66° = (2)tan12° tan33°+ tan12°+ tan33° = 。  45.sin (135°+ ) cos (75°- ) + cos (135°+ ) sin (75°- ) = 。

 46.       35 tan 80 tan 1 35 tan 100 tan = 。

 47.tan12° tan33°+ tan12°+ tan33° +1 = 。  48.0<

< 2  , 0<< 2 

, tan

=2 , tan =3,則(1) tan(α+β)= (2)  = 。  49.= 4 7 則 (1-tanα) (1-tanβ) = 。  50.

+= 4 3 ,則 (1-tanα) (1-tanβ) = 。  51.0<α< 2  ,0<β< 2  , sinα= 14 13 ,sinβ=

14

11

,則α+β= 。  52.

2

3

<α<2π,

2

<β<π,cosα= 5 3 ,sinβ= 13 12 ,則 cos (α+β) = 。

(6)

 53.0<A< 2  ,0<B< 2  ,sin A= 14 13 , cos B = 14 3 5 ,則

sin (A+B) = ,A+B = 。  54. 2   χ 2  , 2   y 2  , sin x cos y = 4 1 ,sin y cos x = 4 3 ,則 x = ,y = 。  55. 2  α  ,πβ 2 3 ,cosα = 25 24  , tanβ= 40 9 ,則α-β 在第 象限。  56.0<α< 2  ,0<β< 2  , tanα= 2 1 ,tanβ= 3 1 ,則 tan( ) = 。  57. 2  <α<

,

<β< 2 3 , 2 3 <γ<2

, sin

= 5 3 , tanβ= 12 5 , cosγ= 2 2 ,則 cos ( ) = 。

 58.sin

+ sinβ+ sinγ= 0 , cos

+ cosβ+ cosγ= 0 , 則 cos (α-β) + cos (β-γ)+ cos (γ-α) = 。  59.sinα+ sinβ+ 2 sinγ=0 , cosβ+ 2 cosγ= 0 , 則 cos (α-β) + cos(β-γ) = 。

 60.x+ y = 6 

, 則 cos2 x-sin2y 之最大值為 ,最小值為 。

 61.

- = 60° , 則 cos2

+cos2 之最大值 = , 最小值 = 。

 62.tan

,tan為 x2-px + q = 0 之二根,則 cos2(α+β) + p sin (α+β) cos (α+β) + q sin2 (α+β) = 。  63.△ABC , 若 tanA , tanB 是二次方程式 px2 + qx + r =0 的兩個實根,(p≠r),則 tan C =________(試

表成p,q,r 的式子)。

 64.圖中每一小格皆為正方形 , 則 tan = 。

 65.△ABC 中,∠A = 90°,AB=4AC,且D,E,F 四等分AB,設∠BCD =α,則 tanα = 。

 66.α,β,γ 為一三角形三內角之度量 , cotα+ cotβ+ cotγ= 3 , 則此三角形為 三角形。

 67.0x<2

, 求(1)y = cos2x+ 2 sinx 之最大值 ?(2)此時的 x 值 ?

 68.f (x) = cos22x+ 2 sin2x,且 0≦x≦π,則函數 f (x)的最小值 = ,此時 x 的值 = 。  69. 2 3 <θ<2

,cosθ= 5 3 ,則 cos2θ= , 2 cos = , 2 5 cos  = 。  70. 2  <α<

,sinα + cosα= 5 1

,則 (1)sinα= (2)cosα= (3)sin 2α= (4)tanα+ cotα= (5)cos2α= 。  71. 0<x< 4  ,sinx+cosx= 2 5 ,則 sinx= ,sin2x= 。  72. 4  <θ< 2  , sin2θ= 5 3 , 則 cosθ- sinθ= 。  73. 4  <θ< 2  , sin2θ= 5 4 , 則 tanθ= 。  74.tanθ=-2, 2 3 <θ<2

,則 cos2θ= 。 tan2θ= 。

(7)

 75.tanx= 3 4  , 則 sin2x-sin2x = 。  76.tan (θ+ 4  ) =k, 以 k 表 sin2θ 得=_____。  77.tan 2  = 3 1 , 則 sinθ+cosθ=_____。  78.u=tan 2  ,將3+2cosθ+sinθ 化成 u 的分式 qp((uu)),其中p(u),q(u)為互質的整係數多項式(也不含 非1 之常數公因式),則(1)分子 p(u) = (2)分母 q(u) =  79.tanx+ x tan 1 = 4 17 ( 0<  4  ),則 tan2x=_____。sinx+cosx=_____。  80.cos2θ= t , 則 4 ( cos6θ - sin6θ) =_____。

 81.sinθ+cosθ= 2 1 , 2 3 <θ<2

則 (1)sin2θ =_____。(2)2cos2 2  (cos 2  +sin 2  )2=_____。 (3)sin(θ+ 6  )sin(θ-3 2 )–cos(θ+ 6  )cos(θ-3 2

) =_____。(4) sinθ- cosθ=_____。 (5) cos 2θ=_____。  82.0<α<

2 

, 1sin - 1sin + 2 ( 1cos - 1cos ) = _____。  83.3 sin2θ+ 2 cos 2θ= 3 , 則 tanθ = _____。

 84.2 + 3為x2-(tanθ+cotθ)x+ 1 = 0 之一根,則 sin 2θ =_____。  85.sinθ.cosθ 為 χ2 + pχ+ q = 0 之二根,則:(1)tanθ+cotθ=_____。(2)sin2 2  (cos 2  -sin 2  )²= 。  86.α,β 為方程式 3sinx-cosx+1=之二根,則 tan 2   = 。  87.方程式 x2 + px+q = 0 之二根為 sinθ, cosθ, 試以 p , q 表出 2sin2

2  ( cos 2  -sin 2  )2得 。  88. 2 

<θ<

, 3sin2θ-sinθcosθ-2cos2θ= 0 , 則 sin2θ+cos2θ= 。

 89.sinθ 與 cosθ 為方程式 5x2x+a=0 之二根,0<θ<

,則(1)a =_____。(2)tan2θ =_____。(3)tan

2  =_____。

 90.cos24° cos48° cos96° cos192° =_____。  91.sin 5  .sin 5 2 .sin 5 3 .sin 5 4 =_____。  92.cos 7  .cos 7 3 .cos 7 5 =_____。  93.cos 7 2 .cos 7 4 .cos 7 6 =_____。  94.Cos2 8  + cos2 8 3 + cos2 8 5 +cos2 8 7 = _____。

(8)

 95.α,β 為 sinx- 3cosx-1 = 0 之二根,0≦x≦2

,則(1) tan 2  + tan 2  =_____。 (2) tan 2  .tan 2  =_____。

 96.cos227.5° + cos232.5° + cos287.5° =_____。  97.cos2θ+ cos2 (60°+θ) + cos2 (120° +θ) =_____。  98.sin18°-cos36° =_____。  99.以 x-sin40° 除 f (x) = 3x-4x3的餘式為_____。 100.以 x-sin10° 除 4x³-3x 的餘式為_____。 101.  sin 3 sin -   cos 3 cos = _____。 102.x

R,f(x)=sinxsin(60°-x)sin(60°+x)的最大值為_____。 103.sin 5° sin 25° sin 35° sin 55° sin 85° =_____。

104.(1) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 。(2) cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 。(3) tan 20° tan 40° tan 60° tan 80° = 。 [3-1.和角公式][綜合題]   1.已知三次方程式x3 px2qxr0之三根為 12 sin2 12 3 sin2 12 5 sin2,則 (1)p= (A) 2 3 - (B) 2 3 1 - (C) 2 3 - (D) 2 3 (E) 2 3 。 (2)q= (A) 8 5 - (B) 16 9 - (C) 16 9 (D) 8 5 (E) 4 3 。 (3)r= (A) 8 1 - (B) 16 1 - (C) 32 1 - (D) 32 1 (E) 16 1 。   2.設 E={x︱0<x<2

且tan2x=3tanx},令 a 表集合 E 的元素個數,b 表集合 E 內諸數之算術平均數 (1)a= (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 。

(2)b= (A) 3 2 (B) 6 5 (C)

(D) 9 10 (E)以上皆非。 [3-1.和角公式][證明題]   1.試證: 2 65 16 sin 13 5 sin 5 4 sin-1 -1 -1

  2.請根據 cos3=4cos3-3cos,證明 cos20°是無理數。

  3.設 cos+cos+cos=0,試證 cos3+cos3+cos3=12coscoscos。   4.恆等式之證明:    1tan2 2 sin 1 sin 2 sin 1 cos = + - 。(0 4     )   5.證明:(1)      sin3 4 1 ) 60 sin( ) 60 sin( sin - (2)         cos3 4 1 ) 60 cos( ) 60 cos( cos -

(9)

  7.(1)證明 sin (α+β).sin (α+β) = cos2β-cos2α(2)利用(1)求       5 . 7 cos 5 . 37 cos 5 . 37 sin 5 . 7 sin 之值。   8.

++ =

, 證明 cot 2  cot 2  cot 2  = cot 2  + cot 2  + cot 2  。   9.△ABC 中,若 cot 2  , cot 2  , cot 2 C 成等差,證明cot 2  .cot 2 C = 3。

 10.銳角△ABC 之垂心為 H,設BC= a,CA= b,AB= c,又HA= x,HB= y,HC = z,證明:

tan A + tan B + tanC = tanA tanB tan C。  11.△ABC 中 , 若 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C = 3 , 證明:此三角形為正三角形。

 12.(1)證明:cotθ - tanθ = 2 cot2θ (2)求 tan70°- tan20°- 2 tan40°- 4 tan10° 之值  13.ABC 中,BC =a,CA=b,AB=c,s = 2 1 (a + b + c),證明 sin 2  = bc ) c s )( b s (  

(10)

[3-1.和角公式][多選題]   1.BC [3-1.和角公式][計算題]   1.(1) 2 1 (2) 3    2.(1)2 (2)22  3.(1)0.568(2)1.072  4.(1)6 5(2) 10 2 3   5.(1) 2 3 - (2) 2 1 - (3) 3 (4) 2 3 - (5)1  6. 10 3 3 4    7.-12  8.2  9.

  10.(1) 25 17 (2) 25 13 (3) 125 63 (4) 125 51  11. 17 32  12.(1)2a 1a2 (2) 2 a 1(3) 1 a 2 a 1 a 2 2 2 - - (4) a 1 a 1 2  -  13. 2 6  14.(1)0,

6 7 , 6 11 或 6  , 6 5 (2) 3  , 3 5 , 4  4 7 4 3 4 5 (3) 6  或 6 5 (4) 8  , 8 5 , 4 5 4 7  15.(1) 12 ) 1 ( 2 n x n  n (2)Z ) 6 ( ) 1 ( n x n n (3)Z 6 n x  ,n  16.Z 3 x 6   6 5 x 3 2   17.最大值7,最小值 4 18. 2 3  19.-12 20.π 2 1.4 22. 4 5  23.-1.376 24. 3 3 t 1 t +  25.4 26. 16 1  27.  4 3  28. 20、12 [3-1.和角公式][單選題]   1.A  2.B  3.C  4.C  5.B  6.B  7.E  8.C  9.C 1 0.C 11.C 12.A 13.D [3-1.和角公式][填充題]   1. 3    2.-8  3. 20 43   4. 27 14 -   5. 4 7   6.  6 5 6>   7.13 5    8.-1  9.2 10.  4 3  11.1 12.4 13. 3 1 -  14. 9 38  15.4 1 6.  3 2  17.-1 18. 5 3  19. 2 3  20. 65 56 , 65 63  21. 65 33 , 63 16  22. 65 16 - ,鈍角三角形 23.-1, 4 3  24. 3 1 -  25.1 26. 2 1  27. 17 20  2 8. 25 7 - , 5 5 2 - , 125 5 38 -  29. 4 3 - , 8 9 , 4 3 , 2 7 -  30. 10 1  31.1997 32.2a3-3a 33.0 34. 17 15  35. 5 1  36.5 37. 16 1  38.-5 3 ,8 39. 14 3  40. 29 20   41. 3 5  42. 2 6 5 4  43. 4 6  44.(1) 2 2  (2) 1 45. 2 1   46.-1 47.2 48.(1)-1(2) 4 3  49.2 50.2 51.120° 52. 5 7  

(11)

53.(1) 2 3 (2) 120° 54.x= 6  , y = 3   55.四 56.1 57. 130 2 89  58. 2 3   59.2 60. 2 3 2 3   61. 2 3 , 2 1  62.1 63. pqr  64.﹣ 2 1 65. 13 1  66.正△ 67. 2 3 , 6  , 6 5  68. 4 1 , 6  , 6 5  69.(1) 25 7  (2) 5 2 4 (3) 255 70.(1) 5 4 (2) 53 (3) 2524 (4) 1225 (5) 257  71. 4 3 5 4 1  72. 5 10  73.2 74. 53, 3 4  75. 5 8  76. 1 2 1 2   k k  77. 5 7  78.(1) u2+2u+5 (2) 1+u2  79.(1) 15 8 (2) 17 17 5  80.3t + t3  81.(1) 4 3 (2) 8 9 (3) 4 3 (4) 27(5) 4 7   82.2 cos 2   83.1 或 5 1  84. 2 1  85.(1) q1 (2) 1+ p + q 86. 3 87.1 + p + q 88. 137  89. 125 , 7 24 ,2 90. 16 1  91. 16 5  92. 81 93. 8 1   94.2 95.(1) ( 3+ 1) (2) ( 3+ 2) 96. 2 3  97. 2 3  98. 21 99. 2 1 1 00. 12101.2 102. 4 1 103. 64 1 104.(1) 16 3 (2) 16 1 (3) 3 [3-1.和角公式][綜合題]   1.A,C,C  2.D,C [3-1.和角公式][證明題]   1.略  2.略  3.略  4.略  5.略  6.略  7.(1)略(2)2 25 3   8. 略  9.略 10.略 11.略 12.略,0 13.略 14.(1) 略(2)(14 5)

參考文獻

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