3-1.和角公式
[多選題] 1.若 4 3 4 ,則下列何者恆為真? (A) 2 2 sin 2 2 - (B) 2 2 ) cos( 2 2 - - (C) 2 1 cos sin 2 1 - (D)-1tan1 (E) 2 3 2 sin 2 1 。 [3-1.和角公式][計算題]
1.設 是銳角,若cos3+cos2+cos+1=0,試求(1)cos 值 (2) 值。 2.試求:(1)(1+tan1 +)(1 tan44)的值(2)(1+ tan1)(1+ tan2)(1+ tan3)
n 2 ) 44 tan 1 (+ = ,求n 值。
3.設 cos+sin=0.4,試求(1)cos3+sin3的值。(2)cos3-sin3的值。
4.直角△ADH,如圖,若AB=8,BC=6,CD=4(1) ∠ 若AHB=∠CHD,求HD的長。(2)∠若AHD+∠BHD ∠ +CHD=180°,HD的長。 5.求下列各值:(1)sin19°cos79°-sin71°cos11° (2)cos200°cos280°-sin100°sin160° (3) 10 sin 70 sin 10 cos 70 cos 10 sin 130 cos 10 cos 50 sin -
(4)cos(110°+)cos(40°-)-sin(110°+)sin(40°-) (5) 128 cot 83 tan 1 128 cot 83 tan - 6.設 5 3 cos - ,( 2 ),求sin( 6) - 之值。 7.設 tanx+tany=4,cotx+coty=3,試求 tan(x+y)之值。 8.設 4 - ,求(1+cot )(1- cot)之值。
9.設
, ,均為正銳角,若tan 1,tan2,tan3,求值。 10.設5 3 2
cos ,求 (1)cos4sin4 (2)cos6sin6 (3)cos6-sin6 (4)cos8-sin8
11.設 4 1 sin cos- ,求 sin 2 2 1 2 sin 4 1 2 sin 2 1 1 n n 2 之和。 12.設為一正銳角,acos,試將sin2 , 2 sin ,tan2 , 2 tan 。分別表為a 之函數。
13.設 2cos2 3sin21,而1,2為滿足此方程式之二角,求tan(1+2)。
14.在 0
x<2的範圍內,解下列方程式 (1)sin3x=2sinx (2)cos3x-cos2x+cosx=0 (3)csc2x+2cot2x- 5cscx=0 (4)cos2x=cosx(sinx+sinx )。 15.設x 解下列方程式 (1)R 4 1 x cos x sin (2)cos2x+3sinx+1=0 (3) ) 4 4 tan( ) 4 tan( - - 。 16.設 0<x<
,試解不等式, 8 7 2 x cos 2 x sin 8 5 4 4 。17.求 8(cos4+sin4)在區間[ 6 , 12 5 ]上之最大值,最小值。 18.設a=sin35,b=cos25,試求ab+ 1-a2 1-b2 之值。 19.設tan+tan=4,cot+cot=3,試求tan(+)之值。
20.設
、 、均為銳角,tan=1,tan=2,tan=3,試求++之值。 21.求csc10- 3sec10的值。 22.試求 5 4 sin 5 3 sin 5 2 sin 5 sin 之值。23.設sinx+cosx=0.8,試求sin3x-cos3x之值。 24.設 t 1 t cos 2 =+ ,請問t 表示2cos3 。
25.試求tan9-tan27+tan81-tan63之值。 26.試求sin6sin42sin66sin78之值。
27.△ABC 中,若 9 7 A tan = , 8 1 B tan = ,試求∠C 的值。 28.已知四邊形 ABCD 中,AB16,BC25,CD15,<ABC 及 <BCD 皆為銳角,而 sin<ABC= 25 24 ,sin<BCD= 5 4 。 1、求BD之長。2、求AD之長。 [3-1.和角公式][單選題] 1.設
,分別是二、三象限角,且 13 5 sin= , 5 4 sin=- ,求+是 (A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 (E)象限角。 2.設 90°<<180°,且 2 2 tan= ,下列各式中何者最大? (A) 2sin (B)sin (C)sin2 (D)
3
sin (E)sin4。
3.設是銳角,則 1+sin- 1-sin 為 (A)sin (B)cos (C)
2 sin 2 (D) 2 cos 2 (E) cos sin - 。 4.設 9 1
tan= ,tan(+)=1,則tan的值為 (A)
3 2 (B) 4 3 (C) 5 4 (D) 6 5 (E) 7 6 。 5.設
,分別是一、三象限角,且 13 5 sin= , 5 4 sin=- ,則-是 (A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 (E)是象限角。 6.設 a=sin39° , b=cos21°,則下列各式中何者的值為 2 1 - ? (A)a 1-b2 +b 1-a2 (B) 2 b 1a - -b 1-a2 (C)ab+ 1-a2 1-b2 (D)ab- 1-a2 1-b2 (E)a 1-a2 + 2
b 1
b - 。
7.設 是一銳角,且 sec=3,則下列各式中何者最大? (A)cos (B)cos2 (C)cos3 (D)cos4 (E)cos
2
8.設 sin與 cos是方程式 x2+px+q=0 的二根,則 2cos2 2 (cos 2 +sin 2 )2的值為 (A)p+q (B)1 +p+q (C)1-p+q (D)1+p-q (E)1-p-q。 9. sin cos 1 sin cos 1 + + + - 可簡化為 (A)sin 2 (B)cos 2 (C)tan 2 (D)cot 2 (E)sec 2 。 10.設 , 分別是第二、四象限,且 sin= 13 5 , sin=- 5 4 ,則-為 (A)第一象限角 (B)第二象 限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 (E)象限角。
11.sin74°-sin14°等於下列何式 (A)sin60° (B)2cos44°cos30° (C)2cos44°sin30° (D)2sin44°cos30° (E)2sin44°cos30°。 12.tan(x+y)tan(x-y)+1= (A) x sin y cos y sin y cos 2 2 2 2 - - (B) y sin y cos x sin y cos 2 2 2 2 - - (C) y sin y cos y sin x cos 2 2 2 2 - (D) y sin x cos y sin y cos 2 2 2 2 - (E) y sin x cos x sin x cos 2 2 2 2 - - 。 13.若 sinθ 為 4x2+4x-3=0 之一根,則 cos2θ 之值為 (A)1 (B) 2 3 (C) 2 2 (D) 2 1 (E)0。 [3-1.和角公式][填充題] 1.△ABC 中,若secA=7, 11 14 B sec = ,則∠C= 。
2.設tan , tan是方程式2x2-8x+3=0的兩根,則tan(+ )= 。
3.設
3 1
tan= ,則sin2+cos2+tan2= 。 4.設 3 2 cos cos+ = , 3 1 cos
cos- = ,則cos3-cos3= 。
5. 12 11 sin 12 7 sin 12 5 sin 12 sin4 + 4 + 4 + 4 的值為 。 6.設0 x<2,滿足cos2x+5sinx-3=0時,x= 。
7.設是第二象限角,且3sin2-sincos-2cos2=0,則cos2的值為 。 8.設cos是4x2+4x-3=0的一根,則cos3的值為 。
9.設tan , tan是方程式x2-4x+a=0的二根,且tan(+)=-4,則a= 。
10.△ABC 中,tanA= 8 1 , tanB= 9 7 ,則∠C= 。
11.設 tan , tan是方程式 x2+3x-1=0 的兩根,則 sin2(+)+3sin(+)cos(+)+cos2(+)的 值為 。 12.設 3 3 2 ,則16cos3-12cos的最大值為 。 13.設 sin+sin= 2 1 , sin-sin= 3 1 ,則cos2-cos2的值為 。 14.y=3cos2-2sin+1 的最大值為 。 15.cot9°-cot27°+cot81°-cot63°的值為 。
16.設 2
<x<,滿足 cos3x+2cosx=0 時,x= 。 17.設 sin是 4x2-4x-3=0 的一根,則 sin3的值為 。
18.設 為一銳角,且 6sin2+sincos-2cos2=0,則 cos2的值為 。 19.設 a=sin35°,b=cos25°,則 ab+ 1-a2 1-b2 。 20.設 5 4 sin- , 13 12 sin ,且 2 3 , 2 ,則sin(-) ,cos(+) 。 21.設 2 3 2 ,且 5 3 sin , 5 12
tan ,則sin() ,cot(+) 。 22.ABC中,cosA= 5 3 ,cosB= 13 12 ,則 (1)cosC= (2)此三角形之形狀為 。 23.設 2 0 , 2
0 ,且tan2,tan3,求(1)tan() (2) 。 24.若 3 2 sin- ,求 ) 2 8 ( sin ) 2 8 ( sin2 - 2 - 之值 。 25.求 3tan74°- 3tan44°-tan74°tan44°之值為 。 26.設 2 3 cos cos , 2 3 sin sin ,則cos(-)= 。
27.設tan , tan為2x2-4x+1=0 的二根,則 2sin2(+)-4sin(+)cos(+)+4cos2
) (+ 的值為 。 28.設 2 2 3 , 5 3 cos ,則cos2= , 2 cos , 2 5 cos 。 29.設 2 1 cos sin , 2 2 3 ,求 (1)sin2 (2) 2 )2 2 sin 2 (cos 2 cos 2 (3) ) 3 2 cos( ) 6 cos( ) 3 2 sin( ) 6
sin( - - - (4)sin cos- 。
30.如右圖,已知ADDB且 4 DC,BC3,ACB90,為 一有向角,則) 2 2 sin(- 。 31.以 x+sin 18 除8x3-6x+1996 之餘式為 。
32.設sincos a,則sin3-cos3 。(以 a 表示) 33.4 3 sin310°-3cos10°-3 3 sin10°+4cos310°= 。 34.設 0<x< 4 且 4 17 x tan 1 x tan ,則cos2x= 。 35.設tan-2,則(sincos)2 。
36.設 0<x<2
,則方程式sinx+sin2x+sin3x=0 有 個解。38.設ABC為一直角三角形,□BCDE是以BC為一邊向 外作出的正方形,若BC=5,CA=4,AB=3,試求 cosACD= ,ACD的面積。 39.一盒中有 10 個球,球上分別印有號碼 1 到 10;今由盒中取 4 球,則 4 球之號碼中第二大樹木是 7 的機率為 。 40.(如圖)θ 為一有向角,AB=2,BC=5,則 sin2θ= 。 A B C D θ 41.設 y= 3sinx-cosx+8,且 0<x2
,則當x= 時,y 有最小值。42.sin15°+ cos15°+ tan15°+ cot
12
+ sec 12 + csc 12 = 。 43.Sin252.5° - sin27.5° = 。44.(1) sin21° cos66° - cos21° sin66° = (2)tan12° tan33°+ tan12°+ tan33° = 。 45.sin (135°+ ) cos (75°- ) + cos (135°+ ) sin (75°- ) = 。
46. 35 tan 80 tan 1 35 tan 100 tan = 。
47.tan12° tan33°+ tan12°+ tan33° +1 = 。 48.0<
< 2 , 0<< 2 , tan
=2 , tan =3,則(1) tan(α+β)= (2) = 。 49.= 4 7 則 (1-tanα) (1-tanβ) = 。 50.
+= 4 3 ,則 (1-tanα) (1-tanβ) = 。 51.0<α< 2 ,0<β< 2 , sinα= 14 13 ,sinβ=14
11
,則α+β= 。 52.2
3
<α<2π,2
<β<π,cosα= 5 3 ,sinβ= 13 12 ,則 cos (α+β) = 。53.0<A< 2 ,0<B< 2 ,sin A= 14 13 , cos B = 14 3 5 ,則
sin (A+B) = ,A+B = 。 54. 2 χ 2 , 2 y 2 , sin x cos y = 4 1 ,sin y cos x = 4 3 ,則 x = ,y = 。 55. 2 α ,πβ 2 3 ,cosα = 25 24 , tanβ= 40 9 ,則α-β 在第 象限。 56.0<α< 2 ,0<β< 2 , tanα= 2 1 ,tanβ= 3 1 ,則 tan( ) = 。 57. 2 <α<
,
<β< 2 3 , 2 3 <γ<2
, sin
= 5 3 , tanβ= 12 5 , cosγ= 2 2 ,則 cos ( ) = 。58.sin
+ sinβ+ sinγ= 0 , cos
+ cosβ+ cosγ= 0 , 則 cos (α-β) + cos (β-γ)+ cos (γ-α) = 。 59.sinα+ sinβ+ 2 sinγ=0 , cosβ+ 2 cosγ= 0 , 則 cos (α-β) + cos(β-γ) = 。60.x+ y = 6
, 則 cos2 x-sin2y 之最大值為 ,最小值為 。
61.
- = 60° , 則 cos2
+cos2 之最大值 = , 最小值 = 。62.tan
,tan為 x2-px + q = 0 之二根,則 cos2(α+β) + p sin (α+β) cos (α+β) + q sin2 (α+β) = 。 63.△ABC , 若 tanA , tanB 是二次方程式 px2 + qx + r =0 的兩個實根,(p≠r),則 tan C =________(試表成p,q,r 的式子)。
64.圖中每一小格皆為正方形 , 則 tan = 。
65.△ABC 中,∠A = 90°,AB=4AC,且D,E,F 四等分AB,設∠BCD =α,則 tanα = 。
66.α,β,γ 為一三角形三內角之度量 , cotα+ cotβ+ cotγ= 3 , 則此三角形為 三角形。
67.0x<2
, 求(1)y = cos2x+ 2 sinx 之最大值 ?(2)此時的 x 值 ?68.f (x) = cos22x+ 2 sin2x,且 0≦x≦π,則函數 f (x)的最小值 = ,此時 x 的值 = 。 69. 2 3 <θ<2
,cosθ= 5 3 ,則 cos2θ= , 2 cos = , 2 5 cos = 。 70. 2 <α<
,sinα + cosα= 5 1,則 (1)sinα= (2)cosα= (3)sin 2α= (4)tanα+ cotα= (5)cos2α= 。 71. 0<x< 4 ,sinx+cosx= 2 5 ,則 sinx= ,sin2x= 。 72. 4 <θ< 2 , sin2θ= 5 3 , 則 cosθ- sinθ= 。 73. 4 <θ< 2 , sin2θ= 5 4 , 則 tanθ= 。 74.tanθ=-2, 2 3 <θ<2
,則 cos2θ= 。 tan2θ= 。75.tanx= 3 4 , 則 sin2x-sin2x = 。 76.tan (θ+ 4 ) =k, 以 k 表 sin2θ 得=_____。 77.tan 2 = 3 1 , 則 sinθ+cosθ=_____。 78.u=tan 2 ,將3+2cosθ+sinθ 化成 u 的分式 qp((uu)),其中p(u),q(u)為互質的整係數多項式(也不含 非1 之常數公因式),則(1)分子 p(u) = (2)分母 q(u) = 79.tanx+ x tan 1 = 4 17 ( 0< 4 ),則 tan2x=_____。sinx+cosx=_____。 80.cos2θ= t , 則 4 ( cos6θ - sin6θ) =_____。
81.sinθ+cosθ= 2 1 , 2 3 <θ<2
則 (1)sin2θ =_____。(2)2cos2 2 (cos 2 +sin 2 )2=_____。 (3)sin(θ+ 6 )sin(θ-3 2 )–cos(θ+ 6 )cos(θ-3 2) =_____。(4) sinθ- cosθ=_____。 (5) cos 2θ=_____。 82.0<α<
2
, 1sin - 1sin + 2 ( 1cos - 1cos ) = _____。 83.3 sin2θ+ 2 cos 2θ= 3 , 則 tanθ = _____。
84.2 + 3為x2-(tanθ+cotθ)x+ 1 = 0 之一根,則 sin 2θ =_____。 85.sinθ.cosθ 為 χ2 + pχ+ q = 0 之二根,則:(1)tanθ+cotθ=_____。(2)sin2 2 (cos 2 -sin 2 )²= 。 86.α,β 為方程式 3sinx-cosx+1=之二根,則 tan 2 = 。 87.方程式 x2 + px+q = 0 之二根為 sinθ, cosθ, 試以 p , q 表出 2sin2
2 ( cos 2 -sin 2 )2得 。 88. 2
<θ<
, 3sin2θ-sinθcosθ-2cos2θ= 0 , 則 sin2θ+cos2θ= 。89.sinθ 與 cosθ 為方程式 5x2-x+a=0 之二根,0<θ<
,則(1)a =_____。(2)tan2θ =_____。(3)tan2 =_____。
90.cos24° cos48° cos96° cos192° =_____。 91.sin 5 .sin 5 2 .sin 5 3 .sin 5 4 =_____。 92.cos 7 .cos 7 3 .cos 7 5 =_____。 93.cos 7 2 .cos 7 4 .cos 7 6 =_____。 94.Cos2 8 + cos2 8 3 + cos2 8 5 +cos2 8 7 = _____。
95.α,β 為 sinx- 3cosx-1 = 0 之二根,0≦x≦2
,則(1) tan 2 + tan 2 =_____。 (2) tan 2 .tan 2 =_____。96.cos227.5° + cos232.5° + cos287.5° =_____。 97.cos2θ+ cos2 (60°+θ) + cos2 (120° +θ) =_____。 98.sin18°-cos36° =_____。 99.以 x-sin40° 除 f (x) = 3x-4x3的餘式為_____。 100.以 x-sin10° 除 4x³-3x 的餘式為_____。 101. sin 3 sin - cos 3 cos = _____。 102.x
R,f(x)=sinxsin(60°-x)sin(60°+x)的最大值為_____。 103.sin 5° sin 25° sin 35° sin 55° sin 85° =_____。104.(1) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 。(2) cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 。(3) tan 20° tan 40° tan 60° tan 80° = 。 [3-1.和角公式][綜合題] 1.已知三次方程式x3 px2qxr0之三根為 12 sin2 , 12 3 sin2 與 12 5 sin2 ,則 (1)p= (A) 2 3 - (B) 2 3 1 - (C) 2 3 - (D) 2 3 (E) 2 3 。 (2)q= (A) 8 5 - (B) 16 9 - (C) 16 9 (D) 8 5 (E) 4 3 。 (3)r= (A) 8 1 - (B) 16 1 - (C) 32 1 - (D) 32 1 (E) 16 1 。 2.設 E={x︱0<x<2
且tan2x=3tanx},令 a 表集合 E 的元素個數,b 表集合 E 內諸數之算術平均數 (1)a= (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 。(2)b= (A) 3 2 (B) 6 5 (C)
(D) 9 10 (E)以上皆非。 [3-1.和角公式][證明題] 1.試證: 2 65 16 sin 13 5 sin 5 4 sin-1 + -1 + -1 =。2.請根據 cos3=4cos3-3cos,證明 cos20°是無理數。
3.設 cos+cos+cos=0,試證 cos3+cos3+cos3=12coscoscos。 4.恆等式之證明: 1tan2 2 sin 1 sin 2 sin 1 cos = + - 。(0 4 ) 5.證明:(1) sin3 4 1 ) 60 sin( ) 60 sin( sin - (2) cos3 4 1 ) 60 cos( ) 60 cos( cos -
7.(1)證明 sin (α+β).sin (α+β) = cos2β-cos2α(2)利用(1)求 5 . 7 cos 5 . 37 cos 5 . 37 sin 5 . 7 sin 之值。 8.
++ =
, 證明 cot 2 cot 2 cot 2 = cot 2 + cot 2 + cot 2 。 9.△ABC 中,若 cot 2 , cot 2 , cot 2 C 成等差,證明cot 2 .cot 2 C = 3。10.銳角△ABC 之垂心為 H,設BC= a,CA= b,AB= c,又HA= x,HB= y,HC = z,證明:
tan A + tan B + tanC = tanA tanB tan C。 11.△ABC 中 , 若 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C = 3 , 證明:此三角形為正三角形。
12.(1)證明:cotθ - tanθ = 2 cot2θ (2)求 tan70°- tan20°- 2 tan40°- 4 tan10° 之值 13.ABC 中,BC =a,CA=b,AB=c,s = 2 1 (a + b + c),證明 sin 2 = bc ) c s )( b s (
[3-1.和角公式][多選題] 1.BC [3-1.和角公式][計算題] 1.(1) 2 1 (2) 3 2.(1)2 (2)22 3.(1)0.568(2)1.072 4.(1)6 5(2) 10 2 3 5.(1) 2 3 - (2) 2 1 - (3) 3 (4) 2 3 - (5)1 6. 10 3 3 4 7.-12 8.2 9.
10.(1) 25 17 (2) 25 13 (3) 125 63 (4) 125 51 11. 17 32 12.(1)2a 1-a2 (2) 2 a 1- (3) 1 a 2 a 1 a 2 2 2 - - (4) a 1 a 1 2 - 13. 2 6 14.(1)0,
, 6 7 , 6 11 或 6 , 6 5 (2) 3 , 3 5 , 4 , 4 7 或 4 3 , 4 5 (3) 6 或 6 5 (4) 8 , 8 5 , 4 5 或 4 7 15.(1) 12 ) 1 ( 2 n x - n ,n (2)Z ) 6 ( ) 1 ( n x - n - ,n (3)Z 6 n x ,n 16.Z 3 x 6 或 6 5 x 3 2 17.最大值7,最小值 4 18. 2 3 19.-12 20.π 2 1.4 22. 4 5 23.-1.376 24. 3 3 t 1 t + 25.4 26. 16 1 27. 4 3 28. 20、12 [3-1.和角公式][單選題] 1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.E 8.C 9.C 1 0.C 11.C 12.A 13.D [3-1.和角公式][填充題] 1. 3 2.-8 3. 20 43 4. 27 14 - 5. 4 7 6. 6 5 6> 7.13 5 8.-1 9.2 10. 4 3 11.1 12.4 13. 3 1 - 14. 9 38 15.4 1 6. 3 2 17.-1 18. 5 3 19. 2 3 20. 65 56 , 65 63 21. 65 33 , 63 16 22. 65 16 - ,鈍角三角形 23.-1, 4 3 24. 3 1 - 25.1 26. 2 1 27. 17 20 2 8. 25 7 - , 5 5 2 - , 125 5 38 - 29. 4 3 - , 8 9 , 4 3 , 2 7 - 30. 10 1 31.1997 32.2a3-3a 33.0 34. 17 15 35. 5 1 36.5 37. 16 1 38.-5 3 ,8 39. 14 3 40. 29 20 41. 3 5 42. 2 6 5 4 43. 4 6 44.(1) 2 2 (2) 1 45. 2 1 46.-1 47.2 48.(1)-1(2) 4 3 49.2 50.2 51.120° 52. 5 753.(1) 2 3 (2) 120° 54.x= 6 , y = 3 55.四 56.1 57. 130 2 89 58. 2 3 59.2 60. 2 3 , 2 3 61. 2 3 , 2 1 62.1 63. pqr 64.﹣ 2 1 65. 13 1 66.正△ 67. 2 3 , 6 , 6 5 68. 4 1 , 6 , 6 5 69.(1) 25 7 (2) 5 2 4 (3) 255 70.(1) 5 4 (2) 53 (3) 2524 (4) 1225 (5) 257 71. 4 3 5 , 4 1 72. 5 10 73.2 74. 53, 3 4 75. 5 8 76. 1 2 1 2 k k 77. 5 7 78.(1) u2+2u+5 (2) 1+u2 79.(1) 15 8 (2) 17 17 5 80.3t + t3 81.(1) 4 3 (2) 8 9 (3) 4 3 (4) 27(5) 4 7 82.2 cos 2 83.1 或 5 1 84. 2 1 85.(1) q1 (2) 1+ p + q 86. 3 87.1 + p + q 88. 137 89. 125 , 7 24 ,2 90. 16 1 91. 16 5 92. 81 93. 8 1 94.2 95.(1) ( 3+ 1) (2) ( 3+ 2) 96. 2 3 97. 2 3 98. 21 99. 2 1 1 00. 12101.2 102. 4 1 103. 64 1 104.(1) 16 3 (2) 16 1 (3) 3 [3-1.和角公式][綜合題] 1.A,C,C 2.D,C [3-1.和角公式][證明題] 1.略 2.略 3.略 4.略 5.略 6.略 7.(1)略(2)2 25 3 8. 略 9.略 10.略 11.略 12.略,0 13.略 14.(1) 略(2)(14 5)