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國小學童立體圖畫表徵之探討

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Academic year: 2021

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摘 要

本研究主要探討國小學童立體圖畫表徵內容。 本碩士論文係吳德邦(2004)所主持國家科學委員會專案計畫(計劃名稱: 「國小學生立體幾何圖畫表徵之研究-從van Hiele 理論的觀點」,計劃編號:NSC 93-2521-S-142-003。)之部分成果。 透過施測國小一到六年級 194 位學童,探討國小學童對於五種基本幾何立體 物(長方體、圓柱、圓錐、三角錐、三角柱)的立體圖畫表徵能力與類型,研究 其男女的差異、不同年級的差異、並擴充Mitchelmore 或發展新的國小立體表徵 發展階段。其後再探討van Hiele 的幾何層次的國小學童與其立體圖畫表徵發展 階段的關係。 本研究結果顯示: 一、國小學童在五種立體(長方體、圓柱、圓錐、三角錐、三角柱)圖畫表 徵方面,男女之間的差異並不明顯。 二、國小學童在五種立體(長方體、圓柱、圓錐、三角錐、三角柱)圖畫表 徵方面,發現越高年級的學童表徵能力在較高的階段。 三、研究中擴充Mitchelmore 兩種立體物(長方體、圓柱)及發展三種立體 物(圓錐、三角錐、三角柱)新的立體表徵階段。 四、研究發現van Hiele 的幾何層次與五種基本幾何立體物的立體圖畫表徵 發展階段是呈現正相關,有較高的van Hiele 的幾何層次的學童較能將 立體物的圖畫表徵在表現高的階段。

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Abstract

The author of this study purposed to investigate the representation of the three-dimensional figures drew by elementary school students. By means of

testing194 graded1-6 elementary school students in Taiwan, the author researched into the students’ abilities and types of representation of five basic three-dimensional geometric figures, including the cuboid, the cylinder, the cone, the triangular awl, and the triangular cylinder. Meanwhile, the differences between two genders and

divergences among six grades were explored. The new stage of elementary school students’ development of the three-dimensional representation was as well expanded or created. Thereafter, the author was to discuss the relationship between Van Hiele levels of thinking in geometry and the stage of development of the three-dimensional representation of the students tested for this study.

The results indicated that:

1. No significant differences showed between the two genders at the representation of drawing five basic three-dimensional figures(the cuboid, the cylinder, the cone, the triangular awl, and the triangular cylinder).

2. The higher grades tended to have the higher stage of representation at the representation of drawing five basic three-dimensional figures(the cuboid, the cylinder, the cone, the triangular awl, and the triangular cylinder).

3. The author was to expand (the cuboid and the cylinder ) and develop (the cone , the triangular awl, and the triangular cylinder ) the new developing stage of three-dimensional representation.

4. A positive correlation was found in the relationship between Van Hiele levels of thinking in geometry and the stage of development of the three-dimensional representation of the students tested for this study. Elementary students with

(3)

higher van Hiele levels of thinking in geometry were classified into higher stages of the representation of the three-dimensional figures.

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目 錄

第一章 緒論...1

第一節 研究動機與目的...1 第二節 待答問題...5 第三節 名詞定義...7 第四節 研究限制...7

第二章 文獻探討

...

9

第一節 兒童幾何形體概念...9 一、幾何形體概念的定義...9 二、幾何形體概念的形成...10 三、幾何形體概念的瞭解...13 第二節 數學上的表徵...17 一、表徵(representation)的定義...17 二、表徵的形式...19 三、表徵的功能...21 第三節 Mitchelmore的學童立體表徵發展階段...23 第四節 van Hiele 理論與相關研究...29 第五節 立體幾何相關的研究...34

第三章 研究方法與步驟

...37 第一節 研究對象...37 第二節 研究實施的步驟與設計...38

(5)

第四節 資料處理與分析...44

第四章 研究結果與討論

...

47

第一節 國小學童的長方體立體圖畫表徵...48 第二節 國小學童的圓柱立體圖畫表徵...77 第三節 國小學童的圓錐立體圖畫表徵...93 第四節 國小學童的三角錐立體圖畫表徵...106 第五節 國小學童的三角柱立體圖畫表徵...121 第六節 van Hiele 幾何思考層次與立體圖畫表徵的關係...136

第五章 結論與建議

...

147

第一節 結論...147 第二節 建議...156

參考文獻:

中文方面...158 外文方面...162

附錄

6-1 國小學童立體表徵圖形分類表...167 6-2 使用吳-薛氏國小學童 van Hiele 幾何測驗同意書...183

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表 次

表 3-1 立體圖畫表徵之樣本數...37 表 3-2 國小數學課程立體幾何的立體物種類...40 表 4-1 不同年級在立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表...49 表 4-2 不同年級在立體表徵二的男、女、總人數及所佔比例表...57 表 4-3 不同年級在立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表...64 表 4-4 不同年級在立體表徵 3B 的男、女、總人數及所佔比例表...68 表 4-5 不同年級在立體表徵 4 的男、女、總人數及所佔比例表...71 表 4-6 不同年級在長方體表徵發展階段的男、女、總人數及所佔比例表...72 表 4-7 所有年級男女與各階段的差異檢定...73 表 4-8 不同年級在圓柱立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表...78 表 4-9 不同年級在圓柱立體表徵二的男、女、總人數及所佔比例表...80 表 4-10 不同年級在圓柱立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表...83 表 4-11 不同年級在圓柱立體表徵 3B 的男、女、總人數及所佔比例表...85 表 4-12 不同年級在圓柱立體表徵 4 的男、女、總人數及所佔比例表...87 表 4-13 不同年級在圓柱表徵發展階段的男、女、總人數及所佔比例表...88 表 4-14 所有年級男女與各階段的差異檢定...89 表 4-15 不同年級在圓錐立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表...94 表 4-16 不同年級在圓錐立體表徵二的男、女、總人數及所佔比例表...95 表 4-17 不同年級在圓錐立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表...97 表 4-18 不同年級在圓錐立體表徵 3B 的男、女、總人數及所佔比例表...98 表 4-19 不同年級在圓錐立體表徵 4 的男、女、總人數及所佔比例表...100 表 4-20 不同年級在圓錐表徵發展階段的男、女、總人數及所佔比例表...102 表 4-21 所有年級男女與各階段的差異檢定...105 表 4-22 不同年級在三角錐立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表...107

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表 4-23 不同年級在三角錐立體表徵二的男、女、總人數及所佔比例表...109 表 4-24 不同年級在三角錐立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表...112 表 4-25 不同年級在三角錐立體表徵 3B 的男、女、總人數及所佔比例表...114 表 4-26 不同年級在三角錐立體表徵 4 的男、女、總人數及所佔比例表...115 表 4-27 不同年級在三角錐表徵發展階段的男、女、總人數及所佔比例表....116 表 4-28 所有年級男女與各階段的差異檢定...117 表 4-29 不同年級在三角柱立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表...121 表 4-30 不同年級在三角柱立體表徵 2 的男、女、總人數及所佔比例表...124 表 4-31 不同年級在三角柱立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表...127 表 4-32 不同年級在三角柱立體表徵 3B 的男、女、總人數及所佔比例表...129 表 4-33 不同年級在三角柱立體表徵 4 的男、女、總人數及所佔比例表...130 表 4-34 不同年級在三角柱表徵發展階段的男、女、總人數及所佔比例表...131 表 4-35 所有年級男女與各階段的差異檢定...132 表 4-36 各年級達到 van Hiele 幾何思考層次的人數表...136 表 4-37 van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段關係表...137 表 4-38 van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段關連性檢定...138 表 4-39 van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段相關檢定...139 表 4-40 van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫表徵階段關係表...139 表 4-41 van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫表徵階段關連性檢定...140 表 4-42 van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫表徵階段相關檢定...141 表 4-43 van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段關係表...141 表 4-44 van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段關連性檢定...142 表 4-45 van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段相關檢定...142 表 4-46 van Hiele 幾何思考層次與三角錐圖畫表徵階段關係表...143 表 4-47 van Hiele 幾何思考層次與三角錐圖畫表徵階段關連性檢定...143 表 4-48 van Hiele 幾何思考層次與三角錐圖畫表徵階段相關檢定...144

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表 4-49 van Hiele 幾何思考層次與三角柱圖畫表徵階段關係表...144

表 4-50 van Hiele 幾何思考層次與三角柱圖畫表徵階段關連性檢定...145

表 4-51 van Hiele 幾何思考層次與三角柱圖畫表徵階段相關檢定...146

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圖 次

圖 2-1 表徵關係圖...20 圖 2-2 學童立體圖畫表徵發展階段...28 圖 3-1 研究實施步驟...39 圖 3-2 畫立體圖時,學童與立體物的位置圖...41 圖 3-3 學生所見立體物視角的立體圖像...42 圖 4-1 學童立體圖畫表徵發展階段圖...47 圖 4-151 van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段關係長條圖.137 圖 4-152 van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫表徵階段關係長條圖...140 圖 4-153 van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段關係長條圖...141 圖 4-154 van Hiele 幾何思考層次與三角錐圖畫表徵階段關係長條圖.143 圖 4-155 van Hiele 幾何思考層次與三角柱圖畫表徵階段關係長條圖.145 圖 5-5 國小學童立體圖畫表徵階段圖-長方體...150 圖 5-5 國小學童立體圖畫表徵階段圖-圓柱...151 圖 5-5 國小學童立體圖畫表徵階段圖-圓錐...152 圖 5-5 國小學童立體圖畫表徵階段圖-三角錐...153 圖 5-5 國小學童立體圖畫表徵階段圖-三角柱...154

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第一章 緒論

本研究主要是探討國小學童的立體圖畫表徵,以Mitchelmore (1978)的「國 小學童立體徒手畫發展階段」以及van Hiele 的幾何層次理論為基礎。本章共分 為四節,分別來探究本研究的研究動機與目的、待答問題、名詞定義與研究限制 等。

第一節 研究動機與目的

一.研究動機

表徵(representation)是呈現數學概念最基本的方式,藉由表徵人們可以瞭解 以及使用數學的概念,美國數學教師協會(National Council of Teachers of

Mathematics, 簡寫 NTCM, 2000, p67)在其出版的「數學教育的原則與標準」中 曾如此宣示,表徵是從幼稚園到高中三年級都必須要有的數學教育標準,也說明 表徵是學習數學概念最基本的方式(NTCM, 2000)。九年一貫數學課程的基本理 念,相當重視數學溝通能力,溝通包括理解與表達兩種能力,就是希望能擁有及 瞭解數學表徵的能力(教育部,2003)。 表徵這個主題應用在許多數學領域,在立體幾何裡的立體表徵卻是少人去研 究的,洪萬生(2003)指出在本國數學教育過程中,「立體幾何」的教學沒有受 到應有的重視,國小階段只利用幾何模型的操弄,只能學到立體幾何的一點知 識。但是並沒有因為九年一貫課程的重視能力之培養,立體幾何的學習與課程安 排上,而獲得大家應有的重視。於是洪萬生努力於國中立體幾何研究,但並沒有 做有關國小立體幾何的研究,而洪教授也呼籲希望有人做國小立體幾何研究。張 英傑(2001)也指出在小學的數學教育裡,幾何的地位與重要性更需要提高,應該 更進一步去研究分析國小數學觀念中有關幾何的內容,但張英傑有研究平面圖形

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的表徵,立體圖形的表徵少有探討過。 最近在國內數學教育幾何研究都停留在平面幾何,如吳德邦、藍同利 (2004):「一位國小六年級觸覺型兒童在三角形概念之個案研究~從Duval 理論 的觀點」,是以平面為主,並無探討立體方面。吳德邦、薛建成(2004):依據 van Hiele 幾何思考理論─探究臺灣中部地區國小學童幾何概念發展之研究,是研 究平面圖形的幾何能力,也無觸及立體幾何方面。吳德邦(2005):「國小學童 在van Hiele 幾何層次一的幾何概念」,探討平面幾何圖形,並沒有探討立體幾 何van Hiele 幾何層次一的幾何概念。吳德邦(2005):「一位觸覺型兒童在三角

形概念之個案研究~從van Hiele 和 Duval理論的觀點」,也是平面為主。 對於立體幾何的研究大都是以空間能力方面,沒有類似於立體表徵方面的研 究,如吳明郁(2004):「國小四年級學童空間能力學習的研究,以立體幾何展 開圖為例」:探討國小四年級學童在以強調探索、觀察、實作的「非形式幾何」 精神為設計依據的「立體幾何展開圖」教學活動中,其空間能力的學習成效,但 是以空間能力為主,沒有去探討學生的立體表徵能力。劉再興(2004):「國小 六年級幾何教學對空間能力提昇之研究─以柱體與錐體為例」,探討國小六年級 幾何教學對其空間能力提昇的影響,透過六年級現有立體幾何課程-柱體與錐體 的單元教學實驗觀察,分析幾何教學對空間能力提昇的可能,但也是以空間為 主。吳文如(2004)「國中生空間能力與數學成就相關因素之研究」,探討國中生 不同年級、不同性別的空間能力與數學學習成就之間的差異及相關因素,也是以 空間為主,並沒有談及立體表徵。陳鎮潦(2004):「高工製圖科學生學習立體 圖與提昇空間能力相關之研究」,主要目的在探討高工學生學習立體圖與提昇空 間能力兩者之相關性,研究發現學習立體圖確實可以提升立體幾何的空間能力, 但並沒有針對國小學童。 立體圖形的表徵,可以發現學童對於立體物的認知與掌握的能力,換句話 說,學童的立體表徵可以呈現學童對於立體物的瞭解。Duval(1995)曾指出當 在構圖的過程中,也就是學童在畫立體圖時的造型活動、或者是描述該圖形的結

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構時,必須同時對圖形作構圖性的瞭解。而所謂構圖性的瞭解,即在構圖的過程 中,圖形的不同單位元件會依序的浮現。

1957 年,荷蘭數學教育家 P. M van Hiele 和 Dina van Hiele-Geldof 二氏,根

據完形心理學的結構論,以及Piaget 的認知理論提出幾何思考模式(Hoffer, 1983),主張個體的幾何思考概念可以存在五種思考層次,van Hiele 認為在視覺 的層次中,學童藉著視覺觀察各種具體的事物,依據物體的外觀輪廓來辨別物體 的種類(吳德邦,2001),而近年來,利用van Hiele 的幾何層次理論來研究學童 幾何能力是很常見的,但大部分都停留在平面的幾何,在立體幾何上的應用卻是 很少,目前國中有:「青少年的數學概念學習研究」,調查臺灣青少年幾何形狀概 念發展情況,並研擬我國學生幾何形狀學習的學習路徑臆測(陳創義,2003), 但是對象是國中生,並不是國小學童,目前國小有作此研究,只有筆者所參與的 國科會計畫,「國小學生立體幾何概念之發展研究-從van Hiele 理論的觀點」(吳 德邦,2005)有類似的研究。 將學童心中對於立體物的概念形象表達出來,就是學童的立體圖畫表徵,可 以從學童對於物體外觀輪廓的掌握,知道學童對於這個立體物的認識,那是不是

可以藉由van Hiele 的幾何層次來瞭解學童的立體圖畫內容,那 van Hiele 的幾何

層次與學童所畫的立體表徵的關係又是什麼呢?而學生畫立體物時的造型活 動,當然與學生的立體幾何概念有關,當學校美術老師說到,學生素描立體物畫 的不好,數學老師要負責任時,是不是在說明數學與美術之間的關係,以及數學 與美術之間的課程統整教學,對立體幾何的瞭解有其重要性。 吳德邦、鄭佳昇(2001)「由表徵觀點初探國小兒童立體幾何概念之研究」, 研究結果顯示,國小階段學生對於立體幾何的立體物徒手畫表徵能力可以分為兩 階段,第一階段:完全以平面幾何的認知來擴展立體幾何知識,第二階段:能夠 直接分析立體圖形。他們研究裡說明學生只有兩種階段,雖依據 Piaget 理論根 據,但只是將學生統計,大致分類,而且只有兩種階段,一種是平面,一種是立

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體圖的圖畫表徵,並不是只有這兩種類型。 Mitchelmore (1978)所發表的「國小學童立體徒手畫發展階段」裡清楚的說 明,有正規立體物幾何特性的學童,將影響立體表徵發展的程度。學童畫立體物 的表現發展有四個連續的階段(一)概像平面的圖(plane schematic)(二)概像立 體的圖(solid schematic)(三)接近實際的圖(prerealistic)(四)實際完整的圖 (realistic)。Mitchelmore(1980)又在美國做了類似的研究。Mitchelmore (1978)只有 做出四種類型的立體物表徵:長方體、圓柱、四角錐、正方體。但在本國國小課 程裡,立體物的種類有正方體、長方體、圓柱、圓錐、角柱與角錐。Mitchelmore (1978)有一些沒有研究的類型,是值得去探討的,而 Mitchelmore (1978)所做的研 究是非洲人的生活形態,文化,教育,也許與我國有些差異,加上我國並沒有類 似的研究,我國國小學童的立體表徵能力確實有其需要探討的地方。 綜合以上的討論,研究者因此發現立體表徵在國內很少人做相關的研究,而 吳德邦、陳東村(2004):「國小學童立體圖畫表徵之研究—以長方體為例」,是 以Mitchelmore (1978)所發表的「國小學童立體徒手畫發展階段」為基礎,去分 類國小學童在長方體的立體表徵,但只研究長方體,其他立體幾何,比如圓柱、 圓錐、三角柱、三角錐等的圖畫表徵呢?基於上述說明,本研究擬將國小學童的 立體圖畫表徵加以探究。

二、研究目的

依據上述研究動機,本研究的研究目的如下: (一)利用Mitchelmore(1978)所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」 的理論內容,研究國小學童對於五種基本幾何立體(長方體、圓柱、 圓錐、三角錐、三角柱)圖形的立體表徵能力與類型,研究其男女 的差異、不同年級的差異、以及發展新的立體物的表徵階段。 (二)探討國小學童van Hiele 的幾何層次與立體圖畫表徵發展階段的關係。

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第二節 待答問題

根據上述的研究動機與目的,本研究主要探討下列相關之問題: (一)國小學童對於長方體的立體表徵能力與類型。 1.利用Mitchelmore(1978)所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」 的理論內容,探討國小學童在長方體立體圖畫表徵的內容為何? 2.不同性別之國小學童在長方體立體圖畫表徵的是否有差異? 3.不同年級之國小學童在長方體立體圖畫表徵階段發展情形的差異? 4.發展並擴充本國國小學童長方體立體表徵階段。 (二)國小學童對於圓柱的立體表徵能力與類型。 1.利用Mitchelmore(1978)所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」 的理論內容,探討國小學童在圓柱立體圖畫表徵的內容為何? 2.不同性別之國小學童在圓柱立體圖畫表徵的是否有差異? 3.不同年級之國小學童在圓柱立體圖畫表徵階段發展情形的差異? 4.發展並擴充本國國小學童圓柱立體表徵階段。 (三)國小學童對於圓錐的立體表徵能力與類型。 1.利用Mitchelmore(1978)所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」 的理論內容,探討國小學童在圓錐立體圖畫表徵的內容為何? 2.不同性別之國小學童在圓錐立體圖畫表徵的是否有差異? 3.不同年級之國小學童在圓錐立體圖畫表徵階段發展情形的差異? 4.發展並創造本國國小學童圓錐立體表徵階段。

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(四)國小學童對於三角錐的立體表徵能力與類型。 1.利用Mitchelmore(1978)所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」 的理論內容,探討國小學童在三角錐立體圖畫表徵的內容為何? 2.不同性別之國小學童在三角錐立體圖畫表徵的是否有差異? 3.不同年級之國小學童在三角錐立體圖畫表徵階段發展情形的差異? 4.發展並創造本國國小學童三角錐立體表徵階段。 (五)國小學童對於三角柱的立體表徵能力與類型。 1.利用Mitchelmore(1978)所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」 的理論內容,探討國小學童在三角柱立體圖畫表徵的內容為何? 2.不同性別之國小學童在三角柱立體圖畫表徵的是否有差異? 3.不同年級之國小學童在三角柱立體圖畫表徵階段發展情形的差異? 4.發展並創造本國國小學童三角柱立體表徵階段。 (六)國小學童van Hiele 的幾何層次與立體圖畫表徵發展階段的關係為 何? 1. 國小學童van Hiele 的幾何層次與長方體圖畫表徵發展階段的關係 為何? 2. 國小學童van Hiele 的幾何層次與圓柱圖畫表徵發展階段的關係為 何? 3. 國小學童van Hiele 的幾何層次與圓錐圖畫表徵發展階段的關係為 何? 4. 國小學童van Hiele 的幾何層次與三角錐圖畫表徵發展階段的關係 為何? 5. 國小學童van Hiele 的幾何層次與三角柱圖畫表徵發展階段的關係 為何?

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第三節 名詞定義

本節將研究中所涉及到的相關名詞,作更進一步的定義與說明,茲分述如下: 一、基本幾何立體圖形 本研究所謂的基本幾何立體圖形,係指國民小學數學中所提到的立體幾何圖 形,包括長方體、圓柱、圓錐、角柱、角錐。 二、立體圖畫表徵 係指國小學童徒手在紙上所繪畫出的基本幾何立體圖形,所呈現出來的立體 圖畫,稱之為立體圖畫表徵。

第四節 研究限制

本研究的主要限制如下: 1. 由於經費與人力的限制,研究僅限於中部的一所國小,無法擴及全國國小。 2. 本研究畫立體圖畫的立體物視角是單一的,那其他視角所見的並不在此研究 中。

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第二章 文獻探討

本章分為五節,主要針對本研究所提到的相關文獻作進一步的探討,其中第一 節是兒童幾何形體概念,第二節是探討數學上的表徵,第三節是針對Mitchelmore 所發展立體表徵階段的理論,第四節是探討van Hiele 的幾何層次理論,第五節 是立體幾何其他相關研究,茲將其內容分述如下:

第一節 兒童幾何形體概念

本研究主要是以國小學童從立體圖畫表徵去觀察學童的幾何形體概念,是故 對學童幾何形體的概念有進一步釐清的必要,從文獻中來探討學童的幾何形體概 念。

一、幾何形體概念的定義

歐幾里得的著作幾何原本,正式開啟了「幾何」一詞,在明朝末年由傳教士 利瑪竇和徐光啟合譯而成。內容包括平面幾何與立體幾何。具體的幾何形體分為 平面幾何與立體幾何兩種,平面幾何是指組成一個形體上的所有點,都在同一個 平面上,也就是說只有一個平面來包含整個形體,如圓形、正方形、三角形、長 方形等:相對的立體幾何是指形體上所有的點無法包容在一個平面上,這樣的形 體稱之為立體的幾何形體,如立方體、長方體、球體等,又稱為空間幾何形體。 概念(concept)只是對同類事件或是事物所獲得的概括性的名稱與符號,(張 春興,2000;劉秋木,1996)。概念是一個象徵的建構(symbolic construction), 它是用來代表外界的事物或事件的共同性,,我們能夠將外界的事物或是事件進 行歸納整理,於是產生概念(鄭昭明,1997)。概念的基本意義是每個人對世界 上所觀察事物或是其性質的反應,概念可分為具體的概念,以及定義的概念,具 體的概念,是以知覺上的特徵為分類上的依據,如「冷熱」、「大小」、「香臭」等,

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綺穗,1995) 單純幾何圖形並非實際存在的東西,而是將真實的物體的種種性質,如材 質、粗細、顏色、味道等特質移除後抽象而得到的幾何概念,而進行如此抽象的 概念,是為了得到單純且純粹的立體幾何圖形(劉好,1994)。布魯納(1964) 明白的指出概念包含了五種要素:命名、事例、屬性、屬性價值、與規則。於是 幾何形體概念是指個體對平面幾何與立體幾何的命名,幾何形狀的認知、幾何形 體的基本性質,性質之間的關係,以及幾何形體之間性質的規則與變化,例如: 研究中所畫的五種立體物、長方體、圓柱、圓錐、三角柱、三角錐等都是屬於幾 何形體的一種,他們分別具有點、線、面以及平行垂直等組合特性,柱與錐之間 的關連等都是屬於幾何形體的概念,個體對這些幾何形體,都擁有自己的具體或 是抽象的理解。

二、幾何形體概念的形成

兒童透過他們的眼睛看到形式、圖形、物體移動、他們從空間來看到所有的 幾何形體,藉由眼睛所看到的每項幾何形體的刺激線索,從中抽取之前對於幾何 的相關經驗,進行統整,再組成新的幾何形體概念(張英傑,2001)。在學童的 視覺知覺系統中,我們的眼睛進入外在訊息,這些訊息以鄰近部分的秩序分佈在 視網膜上形成影像,經過層層的訊息處理程序後,在學童的視覺皮層裡被重新建 構出來(Churchland & Sejnowski, 1992),多次建構出來的幾何形體轉入學童 的思考活動的心智裡,便是學童的幾何形體概念。

(一)概念心像(concept image)與原型心像(prototype image)

學童的幾何思考發展與學習歷程,都是由具體的立體物開始,日常生活中的 立體物便是學習最重要的媒介,由視覺上的觀察與生活上實際的操弄,藉由這些 幾何經驗的累積,而將其幾何的性質轉入心智形成圖像的概念心像。而概念心像

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是指:學童對於一個數學物件是否屬於某個概念,是以心中對那概念存在的影像 來決定,學童一開始都是以概念心像的認知來認識幾何形體。數學中除了原始的 概念之外,每個數學概念都有一個嚴謹且形式化的定義存在,稱之為概念定義, 在學校上課時,這些定義會被介紹出來,但是學童在學習幾何形體時,並不是從 幾何的概念定義而來,而是從學童本身的概念心像去試圖理解幾何形體,而幾何 形體的概念定義是很後面的學習才能賦於學童的,所以,幾何形體的辨識,往往 不是經由幾何概念的定義,而是透過幾何形體的概念心像,然而直觀是概念心像 的形成要素,這些直觀形成的概念心像,是基於學童幾何經驗的累積(陳創義, 2003;Vinner & Dreyfus, 1989; Fischbein, 1996)。

原型心像(prototype image)是指,當教師在教學童數學概念時,常常用一 些原型的範例或是範例的子集,而這些範例會侷限這些數學概念的發展,在傳統 的幾何教室裡,教師為了便利性,使用這些原型的範例,即使這個範例有其代表 性及便利性,但卻侷限了幾何一般性及抽象性的概念發展,學童可能就依少數幾 個典範例子所表現出來的視覺特性去建構自己的概念心像,使得心像只具某些特 定種類,形成原型心像。而原型心像會阻撓學童操弄以及瞭解不符合原型範例的 例子。而學童在學習幾何形體時,會因為這些原型心像而做出原型判斷,所謂的 原型判斷分為兩種: 1.視覺的(visual):所謂的視覺的判斷,是指學童利用原型範例的形狀,來 當作判斷一個答案的準則,這樣的判斷會導致學童錯誤的結論。 2.自我屬性歸因(self-attribute):學童將原型的範例過度的一般化歸納到其 他的圖形上,如無法接受正三角形旋轉 30 度還是正三角形,因為正三角 形必須有一個邊是水平的(Fischbein, 1996)。 所以如何在教學上,如何可以預防使用原型的典範,而使學童產生原型心 像,以致於影響孩童在學習幾何概念的困擾,這是教育者應該要認真思考,以及

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(二)皮亞傑幾何認知的形成

「基模」(schema)是指行動的組織或結構,是主體以之認識周圍世界的基 礎,人類吸收知識的基本架構 (Piaget & Inhelder, 1969)。皮亞傑認為基模是從 遺傳中獲得的,基模是透過行動建構出來的。在後天生活中,這些遺傳性基模 會不斷地分化和複雜化,由最初互不相關的反射動作漸漸發展成相互協調的行 為模式,稱之為動作基模。動作基模一經形成之後,主體進一步就會利用這個 工具去探索周圍的世界,這些動作基模分化、整併的結果,就會越來越大、愈 變愈複雜,而成相互交錯的結構,即「認知結構」(cognitive structure)。與完形 學派的結構觀點是不相同,皮亞傑眼中的認知結構會隨著主體的認知發展而呈 系統性及整體性的改變,並非僵化不能改變的心理結構(Piaget & Inhelder,1969)。 1.行動與運思 知識不是來自先天的遺傳,也不是來自後天的環境,而是來自主體的「行 動」(action)。主體為了認識幾何形體,他就必須操弄它、改變它、轉換它; 亦即,必須對該幾何形體採取行動。從最基本的感覺運動(如:觸摸、視覺) 至最複雜的思維活動(如:分類、說出性質),幾何形體的概念的發生與發展 始終跟行動結合在一起。就皮亞傑而言,行動不僅是知識的泉源,它更是主 體建構知識的首要條件(王文科,1991; Piaget, 1970)。

行動產生運思(Piaget & Inhelder, 1969),幾何形體行動產生幾何概念運 思,是以抽象語言的幾何思維活動。當主體幾何概念的低層次進步的較高層 次,主體便產生了內化的效應,也就將高層次的能力內化成心裡的能力,亦 即內化為運思。此時,主體在其頭腦裡即可進行幾何概念思考而不需藉助於 實物操弄。主體運思能力的獲得,是日後擴展幾何概念抽象思考的必要前提。

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2.同化與調適

皮亞傑認為,所謂「同化」(assimilation)是指主體對輸入刺激的過濾或 改造(Piaget & Inhelder, 1969)。當輸入幾何形體的刺激作用於主體時,先用 自己現有的幾何認知結構,將這一刺激進行過濾或改造這便是調適的過 程,,使之變為主體能夠吸收的形式,然後再將之併入原有的幾何形體認知 結構(王文科,1991)。 3.平衡與失衡 同化和調適兩種互補的適應過程,兒童的知識因其與環境中事物的互動 而增加,且智力隨生活經驗的擴大而成長,當個體既有基模能輕易同化環境 中新知識經驗時,在心理上會感到平衡,當個體既有基模不能同化環境中新 知識經驗時,在心理上就會感到失衡,智力成長是因為個體對環境適應時在 心理上連續不斷地交替出現平衡與失衡的狀態所致。每經一次由失衡而恢復 平衡的經驗,個體的基模就會產生改變。個體的基模經過改變後即能吸納更 多的知識經驗,而使其智力水平上升(Piaget & Inhelder,1969)。

三、幾何形體概念的瞭解

學童如何去理解幾何形體的概念,Duval(1995)提出四種方式去瞭解幾何 概念,而Duval 認為以"圖形暸解類型"作為理論基礎,去觀察學生如何瞭解及領 悟出幾何的概念: (一)Duval(1995)將這四種類型分述如下: 1.知覺性瞭解(perceptual apprehension) 知覺包括五種,視覺、聽覺、嗅覺、味覺、觸覺,利用知覺的感覺去 試圖瞭解幾何的圖形概念,一個可以被察覺到的圖形和僅呈現在視網膜上 的圖形,其最大的差別在於圖形組織的原則,當提起一個圖形或圖案,必 定會引起知覺性的瞭解,圖像所帶給視覺者的暗示,而且我們也可以區分

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和辨識出圖形中的子圖形。 2.操弄性瞭解(Operative apprehension) 當學習一個圖形概念時,可以透過操弄圖形或是幾何形體來得到幾何 概念,利用操弄性的瞭解,在以不同的方式更改圖形後,變更圖形的方法 大致可分為以下幾種形式(1) 幾何圖形的分解與組合 (2) 幾何圖形的放 大與縮小(3) 幾何圖形的平移與旋轉…等,這些方式可實際地操弄去改變 它,也可在心靈中操作,這些操弄可使圖形的幾何概念具有啟發性的功 能,因此,可以在操弄的過程中,突顯出圖形的變化,而得到某種證明步 驟或增加幾何概念的進步。 3.作圖性瞭解(Sequential apprehension) 當在構圖的過程中,也就是學童在畫立體圖時的造型活動、或者是描 述該圖形的結構時,必須同時對圖形作構圖性的瞭解。而所謂構圖性的瞭 解,即在構圖的過程中,圖形的不同單位元件會依序的浮現,藉由構圖時 的幾何元件的浮現,可以使幾何概念更加明確的領悟,進而達到學習的目 標。而藉由構圖來瞭解幾何形體的概念,主要和繪圖工具(如尺、圓規) 的限制有關,若是因為繪圖工具的侷限而無法表達出圖形性質間的關係 時,圖形則無法容易被被瞭解。 4.論述性瞭解(Discursive apprehension) 幾何概念的起源,乃在於對圖形的命名和一些假設,單純使用知覺性 的瞭解,每個人將自由詮釋自己的知覺感受,並不能使所有人對圖形的幾 何性質達到共同的理解。在所有的幾何表徵中,對於幾何性質的辨認仍須 建立在敘述上,藉由敘述幾何的性質,可以進一步釐清自己的幾何概念, 達到學習幾何的目標,而後經過一連串演繹的過程來決定這個圖形表現了 什麼,論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變,在學生學習幾 何知識上,達到更明確的幾何學習目標。

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(二)Duval 有三種認知過程 1.視覺(visualization)過程 在視覺的知覺觀察幾何形體時,可能僅是純粹的表象圖形,純粹的幾 何圖形(線條與形狀的組織體),但也可以是幾何意義或是幾何性質(角、 平行、垂直、等距、等面積)的洞察,亦可以是根據文字敘述所進行的 圖形再現。 2.作圖(construction) 即在作圖的過程中,圖形的不同單位元件會依序的浮現,將幾何性 質一一再度呈現於作圖上,可以使幾何概念更加明確的領悟,根據作圖 工具對圖形的再製過程,通常這個過程對於學生去發現幾何形體中的幾 何概念是有幫助。 3.推理(reasoning) 進行幾何圖形論說的過程,試圖說明幾何圖形性質。例如:描述平行、 垂直、說明、證明…等。 (四)Duval 在幾何認知的教學方面 1.視覺、構圖、推理這三種的幾何認知過程應該獨力發展 2.教學必須教於學童有不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區 分。藉由這些不同區分,讓學童可以得到更進一步的幾何概念。 3.三種認知過程的整合僅在這些區別活動趨於成熟後才有可能(Duval, 1998)

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小結: 學童藉由知覺的幾何形體行動,知覺包括如視覺、觸覺等,在幾何形 體行動中產生的幾何形體運思,這些運思使學童在心中產生幾何概念心像, 這些幾何形體的概念心像,經過更多幾何形體的認識與接觸,或是課堂上教 師的指導,學童產生了調適與同化,進而出現平衡與失衡的狀態,在平衡與 失衡的衝擊下,學童去發展自己的幾何形體概念,於是形成學童的幾何形體 的幾何概念。 如何運用Duval(1995)這四種學習幾何形體概念的方法,去讓學童 更能瞭解幾何的概念,於是本研究中,想試圖從學生的幾何形體繪圖的表 現,來觀察學生的幾何繪圖能力與幾何能力是否有關。因為學童畫立體圖畫 表徵過程中,也就是學童在畫立體圖時的造型活動、或者是描述該圖形的結 構時,圖形的不同單位元件會依序的浮現,浮現的事物可以得知學童的立體 形體的概念。

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第二節 數學上的表徵

本研究乃是探討學童的立體圖畫表徵能力,立體圖畫表徵是數學表徵上的一 種類型,希望藉由探討數學上的表徵內容,能更深入瞭解圖畫表徵的含意,進而 對研究有些幫助。本節分為 3 部分,分別是表徵(representation)的定義、表徵 的形式、表徵的功能、來進行探討。

一、表徵(

representation)的定義

表:顯顯著。徵:有效驗(高樹藩,1971)。表徵:事實表現足資徵信者(賴 明德,1987)。藉由字典上的表徵意義,再藉由許多學者對於表徵的定義,去瞭 解表徵真正的定義。 所謂的表徵,則專指是概念的再表現(representing)的活動產品,而且特別 說明表徵與語言一樣,自然有其所指,對於具體的解題活動上,用有關數學表徵 的意義來進行(von Glasersfeld, 1995 ; Kaput, 1991)。

表徵的本身只是信號並非符號,因為所描述的語言或是姿勢是否具有意義, 必須藉由同一群人對於這個表徵的回應,雖然這些表徵是敘述者產物。同理,寫 出來的文字或是記號,也是兼具有社會學的與心裡學的特定意義,於是為了溝通 的目的,而去要求學童自己去描述解答活動類型,是屬於社會學的也是屬於心裡 學的,也就是說,表徵是個人的產品,這個產品是為了達與團體溝通的目的而產 生,以及文化之間的相容,基於這些目的,個體才調適(accommodate)屬於自 己的產品成為約定俗成的格式(甯自強,1996)。 Lesh(1987)指出:表徵是心智過程模式化所使用的符號系統,個體將內心的 概念轉成看的見、顯著且具體化表現於外的信號。 Bruuner(1966)指出:表徵是運思的材料,利用運思的觀點將表徵區分為三種 形式:動作的(enactive)表徵、圖像的(iconic)表徵、符號的(symbolic)表

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在認知心裡學上,表徵是指將外在現實世界的事物以另外一種較為抽象或是 符號化的形式來代表的歷程,認知心裡學的訊息處理取向上,表徵是指訊息處理 過程中,經訊息經譯碼(coding)而轉換成另一種形式(張春興,2000)。 表徵是用某一種型式(物理或心理),將一種事、物、或想法,重新表現出 來,以達成溝通的目的。在這個說明溝通之下,一定存在一個「表徵」實體,也 必定存在一個「被表徵」的實體,例如有一個長方體放在桌上,用「長方體」的 語言來說明桌上的東西,就是用語言來表徵實物,是用「長方體」這三個文字符 號的型式,來溝通長方體的存在,相反的,可先產生「長方體」的想法,再拿出 長方體的實物來溝通這個想法,此時是用實物來表徵想法(蔣治邦,1994;Palmer, 1977)。

Rumelhart & Norman(1983)指出:表徵是一種替代事物的模式,亦即用某種事 物來取代另一種事物的效應,所以表徵是以圖像、表格、符號、或是內心心像等 不同模式來表現出存在心中的事物。 Kaput(1985)指出:表徵的概念一定包含兩個相關但功能上卻是分離的實體, 表徵的世界與被表徵的世界,這兩個世界有某些程度的一致性。所以每個表徵包 含了五點,被表徵的世界、表徵的世界、被表徵的內容、表徵的內容、兩個表徵 世界裡的一致性性質。 從上述各學者對於表徵所下的定義後,做一個總結,表徵是個體自己的產物, 個體的概念的再表現,表徵是一個信號,它可以以很多種不同的形式存在,可以 是寫作下的產物例如圖畫等,也可以是個體的動作或是姿勢來呈現表徵,表徵是 個體自己的產物,所以表徵本身也是個體對於被表徵事物的瞭解而呈現,藉由表 徵可以瞭解個體對於被表徵事物的概念,而表徵的形式之外,表徵也是運思的材 料,個體可以藉由自己的表徵去進行運思,站在與團體溝通的角度上,個體為了 可以達到溝通的目的,將自己的表徵轉變調適成約定成俗的表徵。

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二、表徵的形式

Bruner(1966)是用運思材料的觀點來討論表徵的類別,Lesh(1979)則用溝通 的觀點,重新描述了表徵的類別。Heddens(1984)用學習階段區分,分為具體、 半具體、半抽象、抽象四個連續的階段。Hiebert & Carpenter(1992)用外在與內在 的觀點,將表徵分為兩類。以下由這四種觀點來看表徵的種類: (一)Bruner(1966)將學習區分成三種被運思的表徵 1. 動作的(enactive)表徵 接受到刺激後,會引發的外在行動反應,藉由實際的行動來掌握事物的 意義或概念,例如幼兒對於長方體的瞭解,在於長方體可以怎麼被操弄。 2. 圖像的(iconic)表徵 圖像的活動是以心像(image)為材料,進行內在的活動,來掌握概念。 例如:長方體已經消失在桌上,但心中還是有保留長方體的心像。 3. 符號的(symbolic)表徵 符號本身是一個隨意選擇的記號,它與實物之間並無任何類似之處,它 代表了實物或心像的抽象意義。符號運思是指用符號來掌握概念,對符 號進行運思。 在行動操弄之後,獲得圖像或符號表徵的意義內涵,當確實瞭解意義內涵 時,才可進一步地使用圖像或符號表徵為材料,進行運思活動。 (二)Lesh(1979)則用溝通的觀點,重新描述了表徵的類別: 1、實物情境(real-world situations) 利用真實世界中存在的東西來解釋或是解決問題情境。 2、操作具體物(manipulative aids) 藉由操作具體物來獲得概念。

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3、圖畫(pictures ) 一種靜態的圖形模式,利用圖形模式,內化為心像成為認知,如長條圖。 4、口語符號(spoken symbols) 日常生活中的口語表徵符號 5、書寫符號(written symbols)。 教學上使用的數學算式或是數學符號。

圖 2-1 表徵關係圖(譯自Lesh, Post, & Behr, 1987)

Lesh(1979)認為學童能否在不同的表徵方式中自由轉換(translation),也 就是能彈性的轉換表徵形式,表示其概念意義的掌握,例如「長方體」為例,使 用一個長方體具體物來表示,可以用口語說出長方體的樣子與性質,又可以畫出 長方體的圖畫表徵。也就是說,不論使用何種表徵來作為數學上的溝通,而接受 訊息者有能以其他表徵形式來描述,這樣的轉換有助於數學的學習(Lesh, 1981)。表徵系統轉換方式有兩類,一是在某一個表徵系統做轉換:其二是在各個

表徵系統之間的轉換(Brenner, Herman, & Zimmer, 1999)。 書寫符號

操作具體物 圖畫

口語符號 實體情境

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(三)Heddens(1984)用學習階段區分,分為具體、半具體、半抽象、抽象四個 連續的階段。 1.具體物表徵階段(concrete level):運用生活上的具體實務來表徵數學問 題,例如水果、動物、日常用品等 2.半具體表徵階段(semiconcrete):利用圖片或是照片來表示生活中的實 際物體,有如圖片教學。 3.半抽象表徵階段(semiabstract level):利用一些簡單的符號或是圖形來 代表實際物體。例如一個圈圈等於一個人。 4.抽象表徵階段(abstract level):利用約定成俗的符號來學習。 Heddens(1984)主張學習者必須沿著這四個連續的階段,在擁有上一層表徵 能力之後,才能漸進進入下個階段,最後能夠將數學之事賦予抽象化的表徵,學 生才能夠皆真實世界與抽象的符號系統作連結,達到學習數學的目標。

(四)Hiebert & Carpenter(1992)用外在與內在的觀點,將表徵分為兩類: 1.內在表徵(internal representation):透過不同的編碼,存在個體心中腦海 中的心智運作,屬於個體心中的想法外人無法觀察得知,而個體利用內 在表徵,可以進行想像、推理、構思。 2.外在表徵(external representation):外在表徵是將內在表徵表現於外,反 映出個體的內在知識表徵,以語言、文字、符號、圖片、實際情境等形 式存在的表徵,透過這些外在表徵,可以達到與人溝通,表達自己想法、 以及瞭解別人想法。這些表徵也透露出表徵的人內心的想法。

三、表徵的功能

在數學活動中,表徵扮演著兩種角色:溝通的媒介與運思的材料,藉由這兩 種性質,可以發現學生對於數學概念的認知,另一方面在教學上的課程設計可以 提供方法,進而達到學習數學概念的功能。

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(一)發現學生對於數學概念的認知 從認知心理學的觀點來看數學解題的過程,當學生面對數學問題情境時,會 將所接收到的訊息轉譯內化成為心理表徵,變成自己所能理解的形式。接著再經 由數學問題解題歷程,將學童認知內部思考過程轉變成為外在解題的表徵,作為 溝通數學想法的工具。而表徵是內部數學思考的歷程,以及外在數學形式的展現 (Mayer, 1992)。而透過外在的數學表徵形式,如:圖形、語言、具體物、符號.. 等等,可以得知學生內部的數學概念思考(NCTM, 2000)。 Lesh(1987)認為經由不同形式的數學表徵轉換過程,能夠得知學生對於概念 意義的掌控情形。從學生的表徵內容,可以看出學生對於數學概念的瞭解,以及 學生所能用哪種表徵來作運思的材料,進一步的瞭解學生的數學能力。 (二)在教學上的課程設計可以提供方法 表徵本身是溝通的媒介與運思的材料,教師利用表徵來與學生溝通,表徵是 運思的材料,所以提供表徵讓學生達到數學的運思,選擇適當的表徵可以達到數 學教學的目標,而數學表徵是學習數學知識的重要媒介,例如:在數學課中,教 師使用語言來與學童溝通數學問題,學童對教師或其他同學也需要使用某一種方 式,來溝通數學想法、解題過程或結果,在如此學習環境互動中,語言表徵是一 個不可或缺的媒介(蔣治邦,1994; Lesh, 1987)。 美國數學教師協會(NCTM, 1989)指出數學表徵在數學學習裡的一項重要工 具,它可已呈現個體的思考過程也能與他人溝通。NCTM(2000)在「數學課程原 則與標準」裡,表徵是呈現數學概念最基本的方式,藉由表徵人們可以瞭解以及 使用數學的概念。當學生可以越能理解數學的表徵也就越能表現自己的數學概 念,而且他們可以擁有一系列的數學工具,以及擴充他們在數學思考的能力。 NTCM(2000, p67-72)宣稱學生要達到三個教育目標:

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1.創造並使用表徵組織、紀錄及溝通數學想法。 學生經由解決問題與研究數學概念的過程建立一個有特性的表徵,這個 表徵可以扮演一個很重要的角色,幫助學生瞭解數學問題,解決數學問題, 提供有意義的方法去記錄數學的解題方式,對他人描述這個解題方法,老 師可以利用各種方法,讓學生增加尋找自己的有意義表徵,之後老師必須 聯繫學生自己的表徵與約定成俗的表徵之間的關係,這是很重要的關鍵, 不僅可以使學生學習到約定成俗的表徵,也可以建造學生的表徵,使學生 可以更加瞭解與接受約定成俗的表徵。 2.能在數學表徵間加以選擇、運用、轉譯,以達成解答的目的。 不同的數學表徵通常解釋數學複雜概念以及數學關係不同的面向,學童 數學教育必須重視使用多重表徵的重要性,數學有一個很有利的方式,就 是使用抽象的符號,利用抽象的表徵,可以簡化題目的問題,也可以更容 易的解決數學的問題,在許多方面,更能增加數學上的應用。當學生們的 表徵模式不斷延伸是重要的,學生可以思考反省自己的表徵模式,並進一 步去瞭解不同目的的表徵之間的強弱關係。讓學生擁有更多的表徵能力, 並且使學生更能有效的使用。 3.運用表徵形式形成典型來解釋物理、數學、社會的現象 這幾年來,學生使用利用表徵去典型物理、社會數學現象是越來越多, 各年級都表徵的發展,而這些表徵的工具與理解可以使學生更能使用表徵 典型去分析更多更大的真實世界與有趣的情境。 (三)有效幫助解決數學問題 表徵的功能,並不只是與外人溝通,也是自己與自己溝通的工具,它可以是 記錄自己數學活動經驗的工具,藉由它可以作數學解題之後的反省與驗證,由於 表徵是運思的材料,表徵的型式自然會影響下一個運思活動的方式,在數學解題

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過程中,它也可以作為是前一步驟活動與後一步驟活動間的溝通橋樑。換句話 說,每個數學解題步驟都涉及一個運思活動,而每個運思活動都都會擁有被運思 的材料,必須用某一種型式表達出前一步驟運思的結果,才能成為下一個運思活 動的材料,如此進行數學解題活動。可以幫助學生去解決數學問題(蔣治邦,1994; Bruner, 1966)。 在九年一貫的課程數學領域裡,也強調培養數學問題的轉化能力,學習各種 數學表徵為重要的教學目標(教育部,2003)。學習數學表徵在於解決數學問題 是相當重要的。 小結: Bruner 觀點中,動作、圖像、與符號的表徵代表著運思的抽象程度,表徵 是運思材料,而運思是個人的活動而形成心像或符號,並不一定需要與外人溝 通。而 Lesh 的觀點,卻是以溝通為目的,意味著一些約定成俗的共識,隱含有 某種特定格式的限制。Bruner 與 Lesh 都在討論不同的表徵型式,但觀點並非完 全相同而且是並不能相提並論,即使使用同樣的名稱,其表徵功能可能完全不 同。例如 Bruner 所討論的圖像表徵,圖像表徵是由行動中自然形成的心像而來, Lesh 所討論的圖像表徵是:線段圖是一個圖畫表徵,線段圖格式的共識,是文 化傳遞的結果 (蔣治邦,1994) 。 本研究的立體圖畫表徵,筆者發現從 Bruner 的觀點是將視覺所見的立體物 表徵,轉成內心的立體物心像表徵,再轉變成圖畫式的符號表徵,從 Lesh 的觀 點也讓筆者發現是將實物情境的表徵(立體物擺放在學生前面),讓學生能轉換 成圖畫式的表徵,藉由轉換的能力所達到的圖畫表徵,可以看出學生對於立體物 的概念。文獻探討中發現,本研究的立體圖畫表徵,可以藉由學童立體圖畫表徵 的內容去思考學童的立體物的概念,進而可以瞭解學生表徵的階段與類型,以及 學童表現出的表徵能力與其幾何能力的關係。

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第三節

Mitchelmore的學童立體表徵發展階段

Mitchelmore 研究八十位介於七到十五歲牙買加的學童,在三度空間立體表徵 的模式,在一定時間的立體物展示狀況下,每個學童畫五個常見的立體物,學童 畫立體的表現發展,透過年齡的不同,發現這些立體表徵是有階段性的, Mitchelmore 發現有四個連續的階段(概像平面的圖,概像立體的圖,接近實際 的,實際完整的),這階段是連續的,孩童自己的立體表徵裡,是符合這些連續 的階段,透過年齡的不同,更發現這些立體表徵是有階段性的並且試著去瞭解, 擁有正確基本立體物幾何特性的學童,表現出來的立體圖畫表徵是否會在比較高 的階段。 一、Mitchelmore 的研究發現 (一).圖畫的分類 首先分類的是正方體和長方體的圖。如同先前研究所示,許多圖形都是由單 一的正方形或長方形所構成,這類的歸為階段一。包含較多正方形和長方形的圖 畫,研判是更具概念的,置於階段二。由單一視角所畫出卻不盡真實的圖歸類為 階段三。階段三又分為 3A 和 3B,到階段四,平行面便能持續用平行或幾近平行 的線來表現。 其次歸類的是四角錐。只用了單一三角形的圖畫顯然與正方體長方體的階段 一相彷。超過三個三角形,而且完全不企圖表現形體深度的圖置於階段二。第三 階段同樣也分為兩小階段,只不過不像正方體長方體的區別那麼明顯。至於階段 四就很容易鑑別了。 在圓柱圖形中,單一而相近的圖形有很大的範圍(多半是圓形、橢圓形或長 方形),如同上述,這些也顯然的被歸為階段一。階段四的圖畫同樣很容易判斷。 其他剩餘的圖畫則歸為幾類,且這些種類在理論上是不呈現線性規律的。因此,

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角椎圖都是可預知的。研究發現所有呈現兩個底面圓的圓柱圖形(無論是畫正圓 或橢圓)都處於相似的階段,而且是明顯的比那些只呈現一個底面圓的圖形層次 還低。除了那些上層面是圓形,下層面卻是一直線的圖形外,所有只呈現一個底 面圓的圖形都處於相似的階層。而階段二及 3A、3B 都是這樣分級的。 至於圓錐的分類被放棄,是因為圖畫的輪廓和實體幾乎沒有兩樣(且這些多 半是由其他圖形處於階段一的受試者所畫出的)。 (二)、其他發現: 每個人對於不同立體物都存在某種具代表性的基模,而在有實物可觀察的情 況下也只會有細微的修正。年紀最小的學生幾乎不看第二眼,且他們在兩種情況 下畫出的圖形通常一模一樣。年紀較長的學生會多看幾眼,但最後畫出來的圖形 也很少修正。事實上,少數有幾個案例是記錄了學生擦掉重新畫過的地方。那些 在狀況二下畫出比在狀況一下更高層次圖形的受試者,很有可能正在建立一個新 的基模;最常發生的是在三角錐圖形中,這是四種立體物中最少見的,也因此最 少有機會發展一個人的原型基模。 比起正方體和長方體,階段一學生發展較快,可能是因為三角錐的可見面, 既不是長方形也不互相平行。階段四的學生發展反而慢,似乎是由於他們對底部 的後斜平行邊產生分岔的錯覺。 相對的,圓柱體對孩子而言比較容易;在每個年齡層,都很少出現平面基模 期的圖形,而比起正方體和長方體,有更多接近實體的畫作,一個可能的原因就 是孩子在試圖畫人的過程中,獲得許多類似圓柱狀的繪圖經驗。另外,圓柱體沒 有長方形面也沒有後斜平行邊。當孩子仍以圓形表現如輪子或盤狀物等物品時, 為什麼會提早使用橢圓形來表現圓柱的圓形面,這原因還是個謎。 以上關於這四種立體物代表性基模發展的幾何因素之研究,無庸置疑是相當 具試驗性質的。然而,這確實能夠預期其他形體的發展結果,以及基模發展的相 對速率。

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二、Mitchelmore 發展的理論 (一)階段一(平面基模期) 看似只有用單一線條呈現一面的立體圖形。所表現的表徵,只是單純 的一個平面。不管是畫任何形體,都是只用一個平面的圖形,去表達這各 立體圖畫表徵,而畫出這樣的學童,掌握所畫的立體物性質是比較不足。 如圖 2-1 所示的階段 1。 (二)階段二(立體基模期) 立體圖由幾個面來呈現,多半包含可見面和隱藏面,不能見到隱藏面, 在這個表徵階段,學童往往很努力的試圖表現出來。不同的面畫出來的相 對位置往往不正確,或是表達的方式是十分錯誤的。長方形面通常都畫長 方形;三角形面會扭曲以配合底線,但不會前景短縮,所畫的圖形通常為 了配合某一個平面圖形來畫,整體看來還是屬於一個平面圖,沒有任何立 體感的表現,有基底現的概念。圓形面會橢圓形呈現,但不會有任何深度 表現的可能。如圖 2-1 所示的階段 2。 (三)階段三(前真實期) 在這一階段,開始試圖呈現立體物的深度,也就是學童的立體圖畫表 徵有去表達出一些的立體感,看似從單一角度繪成的,而不是多角度的圖 像。呈現的只有看得見的那一面,不會再將隱藏面刻意表達出來,而且面 與面的相對位置都正確,錯誤的地方少了很多。局部的位置關係也慢慢修 正進步,而該階段也可根據每個形體不同的特質區分為兩個子階段。

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1.階段 3A:有試圖呈現出立體感,但表達的方式是錯誤的,或是雖有表現 立體的感覺。如圖 2-1 所示的階段 3A。 2.階段 3B:表達該有的立體感,但不夠完整,與真實的立體圖只有一些差 距。如圖 2-1 所示的階段 3B。 (四)階段四(真實期) 形體真實的呈現,使用平行線/面或趨近平行的線條來表現平行邊, 表徵是完整而且正確的,可能是有空間感,或者是有立體感。如圖 2-1 所 示的階段 4。 小結: 本研究是利用 Mitchelmore 的學童立體表徵發展階段來進行分類,而 Mitchelmore 只作了四種立體表徵模型,本研究有五種立體物的表徵,於是研究 中會更進一步的利用 Mitchelmore 的理論去創造新的立體表徵模型。

Mitchelmore(1978)學童立體圖畫表徵發展階段

長方體 圓柱 四角錐 正方體 圖 2-2 學童立體圖畫表徵發展階段圖 階段 1 階段 2 階段 3A 階段 3B 階段 4

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第四節

van Hiele 理論與相關研究

l957 年,荷蘭著名教育學家van Hiele 及 Dina van Hiele-Geldof 夫婦提

出一套幾何思考發展模式,van Hiele 的理論強調學生的學習,幾何的思考有著一

定的發展層次,經由教師或引導者適當的引導,,將可協助學生達到較高層次的 幾何思考的(van Hiele, 1957; van Hiele-Geldof, 1957; Usiskin, 1982; Hoffer, 1983; van Hiele, 1986; Fuys, 1988)。van Hiele 的理論乃是以物件導向為出發點, 其幾何思考之理論,包含三大範籌,即:領悟的本質、幾何思考的層次、以及五

階段學習模式。van Hiele 將學習幾何的過程區分咸五個層次:層次一:視覺的層

次;層次二:描述的層次;層次三:理論的層次;層次四:形式邏輯的的層次;層次 五:邏輯法則的層次(吳德邦,1999; van Hiele, 1986) 。

一、

van Hiele 的幾何思考層次

van Hiele 將幾何的思考層次區分成五個層次,根據 van Hiele 研究顯示,五個 層次有其次序性,學習者的發展層次一定是循序漸進,學習者需擁有前一層次的 各項能力,才能有效進行下一層次的教學活動。以下為五個幾何思考層次的內容 (van Hiele, 1986): (一)層次一:視覺的層次(visual) 屬於此層次的學生,藉著視覺觀察圖形的外形輪廓來辨認圖形,如長方形 是瘦瘦長長的,圓圓的東西屬於圓形,像門的形狀為長方形,像太陽的形狀為 圓形,此階段兒童的靠視覺來作幾何思考推理。並能依據圖形的外貌確認命名 比較及操作圖形,但不了解這些幾何語言的真正意義。此階段學童可以分辨、 稱呼、比較及橾弄幾何圖形。透過視覺的知覺來觀察幾何形體,以具體物的整 體輪廓來辨認圖形,因此,這階段的學童宜多安排知覺感官操作的幾何活動,

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來獲得幾何圖形的正確概念。 (二)層次二:描述的層次(descriptive) 具備辨別圖形特性的能力,透過實際驗證及觀察的方法,分析幾何圖形的 組成要素及圖形的性質,也利用視覺來觀察組成幾何圖形的基本構成要素與幾 何圖形之間的關係,試圖分析幾何概念,但無法說明這些圖形特徵之間有何關 係存在。例如:會知道三角形有三個角和三個邊,卻無法解釋內角大所對的邊 就越長。又如:學生會知道正方形、長方形、菱形、平行四邊形,但卻不知道 這些幾何圖形之間有何關係存在。此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構 成要素之間的關係分析圖形,學生藉由構成要素的名稱,和構成要素之間的關 係來分析圖形。依其幾何經驗建立圖形所具有之特性,並且運用圖形之特性來 解決幾何問題,並且可以利用實際操作(如摺疊、尺量,以格子觀察或設計特 別的圖樣)的方式,此階段的學童,雖發現圖形的共有性質也能描述圖形的定 義,但不易精簡描述的過程。教學上宜安排一些製作及檢驗的活動來獲得幾何 圖形的性質。 (三)層次三:理論的層次(theoretical) 建立圖形和性質之間的關係,了解構成各種圖形的要素,並根據圖形的性 質及構成要素,進一步形成抽象的定義,探索各種幾何圖形的內在屬性、以及 瞭解圖形之間的包含關係。例如包含關係:正三角形是等腰三角形的一種,正 方形是長方形的一種等。可以透過非正式地論證,能有邏輯地去分析幾何性質 與先前學到的幾何性質作連結。也能更進一步探索幾何圖形內在性質關係及各 幾何圖形間的包含關係,如:平行四邊形是四邊形兩雙對邊相等,而不必將所 有平行四邊形的性質均描述出來才能確認是否為平行四邊形。在了解圖形內在 關係後,可以建立長方形是平行四邊形的一種;可以知道 n 邊多邊形的內角和 為(n 一 2)180 度等概念。

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(四)層次四:形式邏輯的的層次(formal logic) 能夠經由抽象的幾何思考推理過程,來證明各種幾何的問題。能夠了解推論 的重要性,並了解到幾何定理有不同的方式證明,也能了解其充分或必要條件的 內在關係,例如:學生能知道正方形也是長方形又是平行四邊形也是菱形。可以 理解一個幾何定理的充分或必要條件之內在關係,發現正逆命題問的差異性,例 如正方形四邊等長,但四邊等長不一定是正方形。不必靠記憶公式來証明幾何問 題,用演繹邏輯證明定理,也了解不同的幾何系統。如歐氏幾何和非歐幾何。 進 而可以在一個公設系統中建立幾何理論。

(五)層次五:邏輯法則本質的層次(the nature of logical laws)

這個層次是最高的層次,達到此層次能夠了解公設化系統的意義,能夠在不 同的公設體系中,建立定理並且分析或比較不同公設系統,甚至可自創一種幾何 公設系統。達此階段的人,可以在不同的公設系統中建立定理,並且分析或比較 這些系統的特性。例如能區別歐幾里德幾何與非歐幾何的差異,也可了解抽象推 理 幾何,。此層次一般人很難達到,即使是以數學為專業者亦不易達成。

二、

van Hiele 的幾何思考層次的特性

van Hiele(1986)指出:幾何思考層次具有某些基本固有的特性存在,而許

多學者對於van Hiele 幾何思考層次的特性也有相當程度的描述。根據 Crowley

(1987)對於 van Hiele 幾何思考層次的特性的描述,他提出了五個特性,茲將 這五個特性分述如下(吳德邦,1998; 譚寧君,1993; Crowley, 1987; van Hiele, 1986):

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(一)次序性(Sequential) 在van Hiele 幾何思考的發展層次中,學習者的發展層次一定是循序漸進, 在達到任何一個層次之前,必須擁有前一層次的各項概念與策略(Crowley, 1987)因此學生不可能已達第二層次而未達第一層次,或已達到第三層次而 未達第二層次。 (二)增強性或加深加廣性(Advancement) 從一個層次進階到下一個更高的層次,是受到教學的影響而不是因年齡 因素,教師適當的教學與引導可以提升學童的幾何思考概念,但是無法使 學生直接跳過某一層次,如幾何層次一的學童不會沒有經過幾何層次二, 就直接達到幾何層次三,因為在每一幾何思考層次中,先前一個層次的隱 藏元素為下一個層次的顯現因素,即某一層次的內在性質為下一層次的外 在因素。在某一層次只有圖形的外在因素被接受了,要在下一層次才能被 分析研究,如果教導程度較高的學童超過他實際層次的其他能力,亦是可 行的,但不宜強迫灌輸。因為這些方法或許能夠增強過程發展,但也有一 些過程會阻礙各層次間的轉換(Crowley, 1987)。

(三)內因性與外因性(Intrinsic and Extrinsic)

先前一個層次的隱藏元素為下一個層次的顯現因素,即某一層次的內在性 質為下一層次的外在因素。例如:在層次一中,僅由圖形的外觀來辨認圖 形,然到了第二層次,則是發現由圖形的特徵和組成要素來進行分析。 (四)語言性(Linguistics) 每一個層次均有其獨特的語言性,擁有特定的語言符號以及和語言符號 的相互關連系統,相同的語言在不同的層次解讀也是不同,因此正確的概 念在某一層次中,不代表可行於另一個層次時,這個幾何概念就必須要改

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變。如:正三角形可稱為等腰三角形,在第二層次的學生可能無法將上述 觀念概念化,但到了第三層次即可能理解其間的關連性(Crowley, 1987)。 (五)不配合性(Mismatch) 不同思考層次的人,彼此間相互的溝通、暸解是有問題的。低層次學童 無法暸解較高層次的課程或是幾何問題。老師的教學是高於學童的層次, 那麼期望的教學效果或是學習歷程就不會產生,對於教師的教學過程、教 材內容、教具的選擇、教具的準備和語彙的應用,均是高於學童的層次, 學童是無法完全理解其過程與結果,反而產生更多的疑惑與問題(Crowley, 1987)。 小結: 國小低年級學童大都均在第一層次的視覺期,故其對幾何圖形的了解須 藉由實物的操作、堆積、分類、觀察、描述與比較,較為知覺性的方式,經 過無數次具體經驗,使其在具備豐富視覺層次經驗後,進而達到較高層次。 中年級學童大約可以達到第二層,高年級學童大約在第二層至第三層的過渡 時期。 就由瞭解幾何層次之間的特性,從學童的幾何思考層次去觀察學童的立 體圖畫表徵能力,試圖找出此種關係間的性質,是本研究所努力的。

(43)

第五節 立體幾何相關的研究

吳德邦、鄭佳昇(2001):研究以表徵觀點嘗試了解兒童立體幾何概念的形 成,以提供教師在進行立體幾何教學時的參考,研究結果顯示,國小階段學生對 於立體幾何的表徵能力可以分為兩階段,第一階段:完全以平面幾何的認知來擴 展立體幾何的知識,第二階段:能夠直接分析立體圖形,每個年級中都有分屬於 第一、二階段的學生。 吳德邦(2005):利用van Hiele 幾何層次理論的觀點去探討國小學生立體幾 何概念之發展。 洪萬生(2003)其主要研究「青少年數學概念發展研究」,打算建立我國青 少年(從小六到國三)立體幾何概念發展的本土資料庫。其內容將涵蓋青少年在 立體幾何思考、空間推理、視覺具像能力乃至於幾何表徵等所呈現的認知特性。 研究結果顯示:整體來看,學生在一、二年級的回答狀況與三年級的學生有著較 大的差別。因此,就立體空間來說,可以將國中三年分成兩個階段,第一階段為 國中一、二年級,第二階段為國中三年級。 陳創義(2003):研究旨在調查臺灣青少年幾何形狀概念發展情況,並研擬 我國學生幾何形狀學習的學習路徑臆測。主要探討國中生在幾何形狀概念發展。 林木明(2004):研究旨在運用國小六年級立體幾何教學模組對四位學童進 行補救教學並探究教學後學童的學習成效。 吳明郁(2004):探討國小四年級學童在以強調探索、觀察、實作的「非形 式幾何」精神為設計依據的「立體幾何展開圖」教學活動中,其空間能力的學習 成效。 劉再興(2004):探討國小六年級幾何教學對其空間能力提昇的影響,透過 六年級現有立體幾何課程-柱體與錐體的單元教學實驗觀察,分析幾何教學對空 間能力提昇的可能。 吳文如(2004):探討國中生不同年級、不同性別的空間能力與數學學習成

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就之間的差異及相關因素。 陳鎮潦(2004):主要目的在探討高工學生學習立體圖與提昇空間能力兩者 之相關性,研究發現學習立體圖確實可以提升立體幾何的空間能力。 陳芬美(1991):本研究分析不同年齡幼兒繪畫能力發展的趨勢,發現各種 表現形式均隨年齡增加而漸趨複雜,且我國幼兒的發展較羅恩菲爾的發展階段為 快。 呂桂生(1994):台灣地區國小兒童美勞科人物繪畫、塑造表現能力研究上發 現,兒童繪圖空間的表現隨著年級的增加而漸進發展。

Douglas H. Clements 與 Michael T. Battista(1992):深入討論了「空間思考」

與數學的關係、空間思考的本質、(視覺的)概念心像以及空間能力的改善,乃

至於視覺思考對幾何概念的表徵之影響。

Rina Hershkowitz, Bernard Parzysz, 與 Joop van Dormolen (1996):所撰寫的 「空間與形狀」(Space and Shape),依據法國和日本的研究例子,發現空間思考 與視覺(visualization)能力是有很密切的關係。有能力將實體、數學概念、過程 與現象的觀察具像化,現在已被視同與計算、符號化一樣重要。視覺思考能力與 數學學習成就息息相關,將立體幾何與它的模型、或與它的平面圖形表徵關聯起 來。圖形既可指涉「幾何實體」,也可指涉「圖像的表徵」(graphical representation)。 小結: 國內外眾多的研究立體幾何,大部分都是以空間為主,鮮少有以基本幾何立 體圖形來作研究,而許多談論數學表徵,也忽略的立體圖畫的表徵。因此,研究 者試圖去研究有關基本幾何立體圖形表徵的研究。

(45)

數據

圖 3-1 研究實施步驟 分析幾何概念相關文獻 文獻探討 擬定研究計畫 正式進行施測 吳-薛氏國小學童  Van Hiele 幾何測驗  資料分析採用 Mitchelmore「學童立體圖畫表徵發展階段」分類資料建檔 徒手畫立體物  (長方體、圓柱、圓錐、三角柱和三角錐) 探討國小學童 Van Hiele 幾何層次 與立體物圖像表徵的關係 進行統計分析 建立或擴充 學童立體物圖像表徵發展階段(長方體、圓柱、圓錐、三角柱和三角錐) 撰寫論文
表 4-1:不同年級在立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表  一年級  二年級  三年級 四年級 五年級 六年級  合計  男生  4  5  4  2  1  1  17  女生  11  5  2  2  0  0  20  人數  合計  15  10  6  4  1  1  37  年級  人數  32  33  33  30  32  34  194  佔各年 級的人 數比例  47﹪  30﹪  18﹪  13﹪  3﹪  3﹪  18﹪  各年級學童畫出這樣的立體圖畫所佔的人數表,如表 4
表 4-6:不同年級在長方體表徵發展階段的男、女、總人數及所佔比例表  階段一  階段二  階段 3a  階段 3b  階段四  合計  男  女  男  女  男  女  男  女  男  女  人 數  4  11  9  2  1  1  3  1  0  0  32 一 年 級  比 例  47%  34%  6%  13%  0%  100% 人 數  5  5  7  3  2  3  2  4  2  0  33 二 年 級  比 例  30%  30%  15%  19%  6%  100%
表 4-10:不同年級在圓柱立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表  一年級  二年級  三年級 四年級 五年級 六年級  合計  男生  2  2  3  4  4  0  15  女生  4  0  2  4  2  1  13  人數  合計  6  2  5  8  6  1  28  年級  人數  32  33  33  30  32  34  194  佔各年 級的人 數比例  19﹪  6﹪  15﹪  27﹪  19﹪  3﹪  14﹪  如表 4-10 所示:  1、畫出這樣的圓柱
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參考文獻

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