第四章 研究結果與討論
第六節 van Hiele 幾何思考層次與立體圖畫表徵的關係
NSC91-2521-S142-004）所發展的『吳-薛氏國小學童 van Hiele 幾何測驗』工具，
來測驗 194 位國小學童，由學童所呈現在 van Hiele 幾何層次，以及在前幾節學
根據 Usiskin(1982)提出的標準，國小學童在『吳-薛氏國小學童 van Hiele 幾何測驗』工具上，必須達到全部的五分之三才算達到該層次，依據 van Hiele 幾何層次的理論，低年級的學童是屬於幾何層次 1，所以低年級的學童沒有測驗 幾何層次 2 的題目，中年級也沒有測驗在幾何層次 3 的題目。
由表 4-36 可以瞭解 194 位學童所達到的 van Hiele 幾何思考層次，可以發 現年級越高達到的 van Hiele 幾何思考層次也比較高。四年級有一位學童還停留
0%
van Hiele層次0 van Hiele層次 一
van Hiele層次 二
van Hiele層次 三
van Hiele
層次 0 39％ 39％ 11％ 11％ 0％ 100％
22 17 11 11 2 63 van Hiele
層次一 35％ 27％ 17％ 17％ 3％ 100％
8 11 23 24 19 85 van Hiele
層次二 9％ 13％ 27％ 28％ 22％ 100％
0 0 2 5 21 28
van Hiele
層次三 0％ 0％ 7％ 18％ 75％ 100％
2.van Hiele 幾何思考層次 1 所表現的長方體圖畫表徵比 van Hiele 幾何 思考層次 0 有更高的表徵階段，van Hiele 幾何思考層次 2 在於長方體 立體表徵階段 1 與階段 2 就有更明顯的減少。
3.而 van Hiele 幾何思考層次 3 所表現的長方體圖畫表徵就沒有階段 1 與 階段 2，而且有 75％在表徵 4。
4. 可以發現在越高的 van Hiele 幾何思考層次表現在比較高的長方體圖像 表徵階段。van Hiele 幾何思考層次越高與長方體圖畫表徵階段也相對 表現比較好，而且當學童漸漸達到 van Hiele 幾何思考層次三時，學生 所表現出來的長方體圖畫表徵也趨近於成熟，沒有出現長方體表徵階段 1 和 2，學童都能在表徵時盡量表達出立體感覺，不會單純只是平面組 合，相對的 van Hiele 幾何思考層次 0 的學童，沒有人可以畫出長方體 表徵階段 4，且大部分都分佈在表徵階段 1 和 2。
以下我們利用關連性檢定，來試著瞭解 van Hiele 幾何思考層次與長方體圖 畫表徵階段的關係。
表 4-38： van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段關連性檢定 Pearson 卡方值 自由度 顯著性 Lambda 值 顯著性 幾何層次依變數 長
方
體 94.334 12 .000*** .207 . 000*** .202
從表 4-38 關連性檢定所示可以發現：
1.卡方值為 94.334，自由度為 12，p=.000 達到.05 顯著水準，即 van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段有相關存在，並非獨立。
2. Lambda 值是預測關連性指標，從表 4-38 所示從幾何層次長方體圖畫表徵 階段預測程度（degree），λ＝.207，表示知道學童幾何層次的訊息，可以 增加我們預測長方體圖畫表徵階段的能力達到 20.2％之多。
從以上兩點可以發現，van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段是 有關連的。
將幾何層次與表徵階段都改成數值，幾何層次 0 等於 0，幾何層次一等於 1，
如此下去，而表徵階段 1 等於 1，表徵階段 2 為 2，表徵階段 3A 等於 3，表徵階 段 3B 等於 4，表徵階段 4 等於 5，可得 194 位的學童的（x,y）兩次元數值，將 194 位的數值進行 Pearson R 相關的檢定，瞭解幾何層次與表徵階段之間的相關 類型。
表 4-39： van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段相關檢定 Pearson R 相關 顯著性
長方體
.592 .000***
從表 4-39，可以發現 van Hiele 幾何思考層次與長方體圖畫表徵階段有顯 著相關，且為正相關。
小結：
van Hiele 幾何思考層次越高比較能表現越高長方體圖畫表徵。
二、van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫表徵的關係
表 4-40： van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫表徵階段關係表
階段 1 階段 2 階段 3A 階段 3B 階段 4 合計
4 9 3 2 0 18
van Hiele
層次 0 22% 50% 17% 11% 0% 100％
11 30 8 10 4 63 van Hiele
層次一 17% 48% 13% 16% 6% 100％
9 21 16 20 19 85 van Hiele
層次二 11% 25% 19% 24% 22% 100％
1 1 1 7 18 28
van Hiele
層次三 4% 4% 4% 39% 57% 100％
合計 25 61 28 39 41 194
0%
van Hiele層 次0
van Hiele層 次一
van Hiele層 次二
van Hiele層 次三
1.卡方值為 60.615，自由度為 12，p=.000 達到.05 顯著水準，即 van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫表徵階段有相關存在，並非獨立。
2. Lambda 值是預測關連性指標，從幾何層次圓柱圖畫表徵階段預測程度
（degree），λ＝.101，表示知道學童幾何層次的訊息，可以增加我們預測 圓柱圖畫表徵階段的能力達到 10.1％之多。
0%
van Hiele層 次0
van Hiele層 次一
van Hiele層 次二
van Hiele層 次三
van Hiele
層次 0 61％ 6％ 6％ 17％ 11％ 100％
33 5 3 15 7 63
van Hiele
層次一 52％ 8％ 20％ 24％ 11％ 100％
14 6 5 31 29 85 van Hiele
層次二 16％ 7％ 6％ 36％ 34％ 100％
1 1 1 5 20 28
van Hiele
層次三 4％ 4％ 4％ 18％ 57％ 100％
從表 4-43 及圖 4-153 所示：
1.層次 0 與層次一表現在表徵階段 1 是比較多的，雖然層次 0 與層次一的 圓錐表徵是差不多的，但還是層次一表徵階段表現是比層次 0 好。
2.層次二表現的表徵階段與層次一有很大的差別，相當明顯進到較高的表 徵階段。
3.層次三跟之前的立體表徵一樣，表徵階段 4 的比較多。
以下我們利用關連性檢定，來試著瞭解 van Hiele 幾何思考層次與圓柱圖畫 表徵階段的關係。
表 4-44： van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段關連性檢定
Pearson 卡方值 自由度 顯著性 Lambda 值 顯著性 幾何層次依變數 圓
錐 59.167 12 .000*** .225 .000*** .174 從 4-44 所示：
1.卡方值為 59.167，自由度為 12，p=.000 達到.05 顯著水準，即 van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段有相關存在，並非獨立。
2. Lambda 值是預測關連性指標，從幾何層次圓錐圖畫表徵階段預測程度
（degree），λ＝.174，表示知道學童幾何層次的訊息，可以增加我們預測 圓錐圖畫表徵階段的能力達到 17.4％之多。
從以上兩點可以發現，van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段是有 關連的，再利用 Pearson R 相關的檢定，方法與長方體相同。
表 4-45： van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段相關檢定 Pearson R 相關 顯著性
圓錐
.485 .000***
從表 4-45，可以發現 van Hiele 幾何思考層次與圓錐圖畫表徵階段有顯著 相關，且為正相關。
0%
van Hiele層 次0
van Hiele層 次一
van Hiele層 次二
van Hiele層 次三
van Hiele
層次 0 33％ 50％ 6％ 6％ 6％ 100％
11 24 15 3 10 63 van Hiele
層次一 17％ 38％ 24％ 5％ 16％ 100％
12 14 12 8 39 85 van Hiele
層次二 14％ 16％ 14％ 9％ 46％ 100％
1 1 2 4 20 28
van Hiele
層次三 4％ 4％ 7％ 14％ 71％ 100％
表 4-47： van Hiele 幾何思考層次與三角錐圖畫表徵階段關連性檢定
1.卡方值為 54.678，自由度為 12，p=.000 達到.05 顯著水準，即 van Hiele 幾何思考層次與三角錐圖畫表徵階段有相關存在，並非獨立。
2. Lambda 值是預測關連性指標，從幾何層次三角錐圖畫表徵階段預測程度
（degree），λ＝.119，表示知道學童幾何層次的訊息，可以增加我們預測 三角錐圖畫表徵階段的能力達到 11.9％之多。
van Hiele
層次 0 22％ 67％ 11％ 0％ 0％ 100％
9 19 27 4 4 63
van Hiele
層次一 14％ 30％ 43％ 6％ 6％ 100％
3 13 25 16 28 85 van Hiele
層次二 4％ 15％ 29％ 19％ 33％ 100％
0 2 5 7 14 28
van Hiele
層次三 0％ 7％ 18％ 25％ 50％ 100％
合計 16 46 59 27 49 194
0%
van Hiele層 次0
van Hiele層 次一
van Hiele層 次二
van Hiele層 次三
1.卡方值為 71.967，自由度為 12，p=.000 達到.05 顯著水準，即 van Hiele 幾何思考層次與三角柱圖畫表徵階段有相關存在，並非獨立。
2. Lambda 值是預測關連性指標，從幾何層次三角柱圖畫表徵階段預測程度
三角柱圖畫表徵階段的能力達到 12.8％之多。
再利用 Pearson R 相關的檢定，方法與長方體相同。
表 4-51： van Hiele 幾何思考層次與三角柱圖畫表徵階段相關檢定
從表 4-51，可以發現 van Hiele 幾何思考層次與三角柱圖畫表徵階段有顯 著相關，且為正相關。小結： van Hiele 幾何思考層次越高比較能表現越高圓 柱三角柱圖畫表徵。
總結：
發現學童的 van Hiele 的幾何層次與五種基本幾何立體物（長方體、圓柱、
圓錐、三角錐、三角柱）的立體圖畫表徵發展階段是呈現正相關，也就是說 學童有較高的 van Hiele 的幾何層次比較能將立體物的圖畫表徵在表現高的 階段。
Pearson R 相關 顯著性 三
角
柱 .546 .000***