國小學童的圓錐立體圖畫表徵

Mitchelmore(1978)並沒有作出圓錐的立體表徵階段，雖然沒有訂定圓錐立體 表徵，但可以依據圓柱的表徵階段來作依據，再依據 Mitchelmore(1978)的理論 去分類圓錐立體圖畫表徵，去創造圓錐的立體表徵階段。本節分為四部分，先是 探討國小學童在圓錐表徵內容、不同性別的國小學童在圓錐立體表徵發展情況、

不同年級學童的圓錐立體表徵的表現、依據Mitchelmore（1978）的理論創造圓 錐的表徵發展階段。

一、探討國小學童在圓錐表徵內容。

將本單元分為五個部分，利用 194 位國小學童的圓錐立體表徵的圖形來探討 圖形的意義，分別討論在國小學童圓錐圖像表徵階段 1（平面基模期）、階段 2

（立體基模期）、階段 3A（前真實期 A）、階段 3B（前真實期 B）到、階段 4（真 實期）的每一種類型的立體圖畫表徵的差異。

（一）學童圓錐表徵發展階段 1（平面基模期）（單一平面表徵階段）

圖 4-89

在這個階段裡，學童在畫圓錐時，只能簡單畫出平面圖形，如圖 4-89 所示，

學童對於所見到的圓錐，對他而言只是單純的平面，可以只用一個三角形來表 示，其實學童可以看見畫出這樣的圓錐立體表徵的學童，在認識圓錐是不夠的，

在立體的表現上也是比較薄弱，依照 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體 圖畫表徵發展階段」將這些圖形都分類在表徵階段 1。

表 4-15：不同年級在圓錐立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 9 5 8 4 1 2 29 女生 12 4 5 7 2 0 30 人數

合計 21 9 13 11 3 2 59 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

66％ 27％ 39％ 37％ 9％ 6％ 30％

如表 4-15 所示，一年級的學童大部分都表徵在這個階段，佔全班的 66％，

有相當大的比例，比圓柱立體表徵階段 1 多很多，而二到四年級，也有相當多的 比例，一直到五年級才比較少，可以發現到，學童在圓錐立體表徵的能力似乎比 較弱一些，以為只要用一個三角形就可以表達一個圓錐，這樣表達可以發現學生 對於圓錐的立體感掌握的不是很好，無法表達出完整圓錐的立體，甚至對於圓錐 的認知有些誤差。

（二）、學童圓錐表徵發展階段 2（立體基模期）

在這個階段的圓錐立體表徵，學童會畫出兩個平面圖形以上，階段二（立體 基模期）立體圖由幾個面來呈現，多半包含可見面和隱藏面。不同的面畫出來的 相對位置往往不正確。這個立體表徵階段，我們可以看到學童所畫的圓錐立體表 徵雖然有很兩個面的呈現，但整體依舊是一個平面的結構，沒有立體感。

圖 4-90 圖 4-91 圖 4-92 圖 4-93 如圖 4-90、圖 4-91、圖 4-92 所示，學童畫圓錐立體表徵的時候，先將三 角形畫出，然後再畫一個半圓，來表達圓錐下面的圓形，但這個圓形是隱藏面，

是不應該表現出來的，這樣的表徵，學童沒有想去表達立體感，先畫一個三角形 來代表圓錐，然後畫出隱藏面，這樣跟畫出圓錐立體表徵階段 1 的學童一樣，並 沒有試圖表現出圓錐的立體感，也是平面方式的思考，所以將這個圖形定義在圓 錐立體表徵階段 2。而如圖 4-93 所示，不同於前三個圖，是將半圓畫在裡面，

跟畫在外面的方式類似，故也定義在圓錐立體表徵階段 2。

表 4-16：不同年級在圓錐立體表徵二的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計

男生 2 3 1 1 2 0 9

女生 0 2 0 1 1 0 4

人數

合計 2 5 1 2 3 0 13 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

6％ 15％ 3％ 7％ 9％ 0％ 7％

如表 4-16 所示，表現在這個階段的學童並不多，只佔全部學童的 7%，六年 級沒有任何一位學童表現在這個階段，但一到五年級都有學童表現在此階段，以 二年級比較多一點，與之前的長方體與圓柱表徵階段 2 一樣，都是二年級學童比 較多。男女生之間的差異因人數太少，所以並不明顯的可以看出來。

（三）、學童圓錐表徵發展階段 3A（前真實期 A）

階段三（前真實期 A）在這一階段，開始試圖呈現立體物的深度，看似從單 一角度繪成的。呈現的只有看得見的那一面，局部的位置關係也慢慢修正進步，

而學生想表達出立體的感覺，但表達的方式是不合理，或是不正確的表達所有的 立體感，但我們看得出有表達出立體的意思。

圖 4-94 圖 4-95

如圖 4-94 及圖 4-95 所示，學童不再是單純的畫出三角形，而是配合底部來 畫出圓錐的表徵，這樣的表徵內容已經有表達出立體感，不再是單純的平面組 合，但學童還是畫出隱藏面，而且沒有立體的概念，畫出的隱藏面是圓形，，不 是橢圓形，所以雖然表現出立體感，卻表達的方式是不對的，加上也畫出隱藏面，

所以將其歸納於圓錐立體表徵 3A。

圖 4-96 圖 4-97

學童在畫圓錐立體表徵犯兩個錯誤，如圖 4-94 所示一是沒有隱藏下面的橢 圓形，另外則是橢圓表現錯誤，下面的底向內凹入，而圖 4-97 所示，雖然隱藏 面畫出的是橢圓形，但錯在多了一條線，所以也是屬於在圓柱立體表徵階段 3A，

畫出這樣的表徵的學童並不多，只是少數。

表 4-17：不同年級在圓錐立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計

男生 1 3 0 2 1 0 7

女生 0 1 0 0 0 2 3

人數

合計 1 4 0 2 1 2 10 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

3％ 12％ 0％ 7％ 3％ 6％ 5％

如表 4-17 不同年級在圓錐立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表所示，

畫出這個階段表徵的學童並不多，各年級只有少數幾位，甚至三年級一位學童也 沒有，只有十分之一的學童表徵在這個階段，學童在畫圓錐時，表現在這個階段 是比較少的，但還是有學童會畫出這樣的表徵。

（四）、學童圓錐表徵發展階段 3B（前真實期 B）

圓錐表徵發展階段 3B（前真實期 B），面與面的相對位置都正確。局部的位 置關係也慢慢修正進步，學生表達立體物的立體深度，已經可以掌握，但表達不 完整，但離正確的表達方式相當接近，如果學童表達立體表徵時，忽略了一個小 細節，或者是不小心畫錯了也是屬於這個階段，如透視圖應該是以虛線來畫，學 童卻是以實線的方式呈現。

圖 4-98

如圖 4-98 所示，隱藏面應該要用虛線來表示，但學童卻是以實線的方式來

呈現，而在圓錐的其他部分表達是正確的，底部的圖形也是有上下壓縮的橢圓 形，沒有其他的錯誤，這樣的圖形表徵是被分類在圓錐立體表徵階段 3B 的。

圖 4-99 圖 4-100 圖 4-101

上面三個圖，學童都沒有畫出隱藏面，也試著表現出立體感，但還是有一點 小錯誤，如圖 4-99 所示，多畫一條曲線，而且不僅僅是底部為曲線，連兩邊的 直線也曲線來表徵這個圓錐，所畫的圓錐是相當不一樣的，學童利用三角形兩邊 彎曲來表徵圓錐，是明顯的錯誤，但因為沒有畫出隱藏面，依據 Mitchelmore

（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」的理論，將其分類在這個階段，

而如圖 4-100 所示，多了一條線，如圖 101 所示，底部雖是彎曲，但卻是向內彎 曲，是明顯的錯誤，但皆沒有畫出隱藏面，而有表達出立體，所以分類在圓錐立 體表徵階段 3B。

表 4-18：不同年級在圓錐立體表徵 3B 的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 2 5 5 3 4 10 29 女生 3 4 7 3 4 4 25 人數

合計 5 9 12 6 8 14 54 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

16％ 27％ 36％ 20％ 25％ 41％ 28％

如表 4-18 所示：

1、各年級學童畫出圓錐立體表徵 3B 所佔的人數表，能畫出圓錐立體階段 3B 的學童，已經可以掌握圓錐的基本性質，可以發現，一到六年級約有 3 成的學童畫在這個階段，階段 3B 是比階段 2 及 3A 來的多，與階段 1 差不多，所以這個階段是有相當的代表性。

2、一年級在這個階段是最少的，因為大部分的一年級都在階段 1，能畫出 這階段的一年級學童，所能表達圓錐的立體表徵是比一般一年級的學童 高一些，也更清楚不是利用一個三角形就能表達一個圓錐。

3、而二到五年級，約有 2 到 3 成的學童表現在這個階段，六年級在這個階 段大幅增加，佔了全班 41％。

4、之前三個圓錐表徵階段，六年級是很少的，在這個階段就明顯的增加。

5、男女之間的差異，一到五年級是不明顯的，六年級男生比女生多約兩倍，

跟圓柱的立體表徵一樣，六年級男生學童沒有將虛線畫上。以致於男女 之間的差異變大，可以從下面圓柱立體表徵階段 4 那邊可以看出，學童 畫圓柱時沒有畫出，畫圓錐也是一樣。

（五）、學童圓錐表徵發展階段 4（真實期）

形體真實的呈現，學童在可以表達立體表徵階段 4 代表學童不但擁有圓錐的 基本幾何性質，對於圓錐立體感的掌握也是最好的。

圖 4-102 圖 4-103

如圖 4-102 所示，學童很清楚的畫出圓錐真實期的立體圖畫表徵，不是單 純的三角形與圓形的組合，而是將圓錐下部的邊轉成曲線來表達，這樣的表徵 當然被分類在圓錐的立體表徵階段 4，而學童用能清楚的表現圓錐，如圖 4-103 所示，利用虛線來表示隱藏面，學生對圓錐立體物的掌握是最好的，畫出這樣 的表徵圖形都是六年級學童。

表 4-19：不同年級在圓錐立體表徵 4 的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 1 2 3 4 7 5 22 女生 2 4 4 5 10 11 36 人數

合計 3 6 7 9 17 16 58 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

9％ 18％ 21％ 30％ 53％ 47％ 30％

各年級學童畫出圓錐立體表徵 4 所佔的人數表，如表 4-19 所示，一年級可 以表現在這個階段只有三人，相當的少，與之前的圓柱、長方體表徵一樣，二年 級增加兩倍，到了三年級也漸漸增加到 2 成，四年級時就有 3 成的學童了，五、

六年級就有一半的學童表現在這個階段，也可以清楚的得知，學童畫出圓錐立體 階段 4 的能力，與其年級有相關，年級越高，越能畫出正確的圓錐表徵。

表 4-20：不同年級在圓錐表徵發展階段的男、女、總人數及所佔比例表