國小學童的圓柱立體圖畫表徵

本節分為四部分，先是探討國小學童在圓柱表徵內容、不同性別的國小學童在 圓柱立體表徵發展情況、不同年級學童的圓柱立體表徵的表現、擴充 Mitchelmore

（1980）所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」。

一、探討國小學童在圓柱表徵內容。

將本單元分為五個部分，利用 194 位國小學童的圓柱立體表徵的圖形來探討 圖形的意義，分別討論在國小學童圓柱圖像表徵階段 1（平面基模期）、階段 2

（立體基模期）、階段 3A（前真實期 A）、階段 3B（前真實期 B）到、階段 4（真 實期）的每一種類型的立體圖畫表徵的差異。

（一）學童圓柱表徵發展階段 1（平面基模期）

圖 4-54 圖 4-55 圖 4-56 圖 4-57 圖 4-58

在這個階段裡，學童在畫圓柱時，只能簡單畫出平面圖形，如圖 4-54 所示，

學童對於所見到的圓柱，對他而言只是單純的平面，所以只畫出一個長方形，又 如圖 4-55、圖 4-56、圖 4-57 所示可以只用一個圓或是一個長方形來表示，其實 學童可以看見兩個可見面，就是上面的圓以及下面的長方體，學童卻只表達出一 個可見面，忽略了另一個面，而又如圖 4-58 所示有學童乾脆用一個圓及一個長 方形來表示，畫出這樣的圓柱立體表徵的學童，在認識圓柱是不夠的，在立體的 表現上也是比較薄弱，依照 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵

發展階段」將這些圖形都分類在表徵階段 1。

表 4-8：不同年級在圓柱立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 2 3 4 1 1 1 12 女生 6 1 2 2 1 1 13 人數

合計 8 4 6 3 2 2 25 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

25﹪ 12﹪ 18﹪ 10﹪ 6﹪ 6﹪ 13﹪

如表 4-8 所示：

1、一年級有八人佔全部的四分之一，二年級有四人佔全部的 12﹪，三年級 有六人佔全部的 18﹪，四年級有三人，只剩下 10﹪，五六年級更少各只 有 2 人。

2、一年級是最多的，越高的年級的學童表現在這各階段也比較少一點，跟 之前長方體立體表徵階段 1 是一樣的，在低階段的立體表徵，較低的年級 表現是比高年級多的，低年級比較容易出現在立體階段一。

3、而可以發現到畫出立體階段一的學童並不多，只佔全部學童的 13﹪，相 對於長方體，在圓柱表徵比較長方體表徵可以表現多一點。從男女角度來 看，一年級的女生是一年級男生 3 倍，也跟長方體立體表徵一樣，一年級 男女在圓柱立體表徵也是有差異的，在其他年級男女的差異就不明顯。

（二）、學童圓柱表徵發展階段 2

在這個階段的圓柱立體表徵，依照 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立 體圖畫表徵發展階段」，學童會畫出兩個平面圖形以上，階段二（立體基模期）

立體圖由幾個面來呈現，多半包含可見面和隱藏面。不同的面畫出來的相對位置

往往不正確。長方形面通常都畫長方形；三角形面會扭曲以配合底線，但不會前 景短縮。圓形面會以橢圓形呈現，但不會有任何深度表現的可能。可是在這個階 段 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」的立體階段二 圖示，學童所畫出的圓柱只有多一個隱藏面，其他面都很完整，與長方體立體表 徵有很大的差別。

圖 4-59 圖 4-60

圖 4-59 及圖 4-60 所示，這兩個圖形是 Mitchelmore（1978）所發展的「學 童立體圖畫表徵發展階段」的立體階段二圖示，學童畫出一個隱藏面，但其他的 部分畫的卻是相當完整，這樣的能力 Mitchelmore 把他們分在立體表徵階段 2，

筆者覺得似乎有所不妥，其實可以表達出這樣的立體表徵，學童對於圓柱立體的 內容認識已經相當明顯，只是有些年級沒有學過要把隱藏面用虛線表示，有學過 的年級，學童在畫時也忽略了要用虛線來表示。

圖 4-61

如圖 4-61 所示，學童將圓柱上面的可見面省略，卻畫出隱藏面，有趣的是，

他將圓柱的長方形面畫成彎曲的，來表達它是圓柱的樣子，依據 Mitchelmore

階段 2。於是將這個圖形放置在這個階段。

圖 4-62 圖 4-63 圖 4-64 圖 4-65 圖 4-66

如圖 4-62 所示，學童畫出隱藏面之外，還將上下兩個圓畫超過長方形的寬，

這樣的表徵方式，是最接近 Mitchelmore 學童立體圖畫表徵發展階段立體階段 2 的理論，類似平面的表達方式，只是將圓形與長方形組合，也畫出隱藏面，所以 當然是屬於這個階段，而圖 4-63、圖 4-64、圖 4-65、圖 4-66 所示，學童不但 畫出隱藏面，也將上下兩個橢圓形彎曲成半圓或是方形，可以明顯的看出學童對 於圓柱認識的扭曲，所能表達的立體表徵也相對薄弱一點，畫出這樣的表徵大都 是低年級的學生。

表 4-9： 不同年級在圓柱立體表徵二的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 7 10 3 2 3 9 34 女生 3 11 3 3 4 3 27 人數

合計 10 21 6 5 7 12 61 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

31﹪ 64﹪ 18﹪ 17﹪ 22﹪ 35﹪ 31﹪

如表 4-9 所示：

1、六年級有 12 位學童表現在立體表徵階段二，佔六年級的人數 35﹪，五 年級有 7 人，佔五年級的人數 22％，而四年級有 5 人，也只佔四年級全部 人數的 17％，三年級有 6 人，佔三年級全部人數的 18％，二年級有 21 人，

佔全部二年級的 64％，一年級有 10 人，佔一年級全部人數的 31％。

2、跟長方體立體表徵 2 相差很多，因為六年級 12 位學童，畫出 Mitchelmore

（1978）所發展「學童立體圖畫表徵發展階段」的立體表徵階段 2，仔細 去看了六年級為何畫出這樣的圖形，筆著發現六年級在這個階段所畫出都 是圖 4-59 的圖形，而二年級也有 21 位畫出階段二的學童，卻只有幾位是 畫出圖 4-59 的圖形，是否意味著 Mitchelmore 的在圓柱立體表徵階段二 的分類有問題，當然單純用年級來說明分類是有問題，是有點不夠的，我 們將做第六節討論這個問題，利用「吳-薛氏國小學童 van Hiele 幾何測 驗」工具，所測出的成績來瞭解學生在 van Hiele 認知理論層次是屬於哪 一個層次，與學生所畫的立體表徵階段來探討之間的關係，再來探討畫出 圖 4-59 的學童，是否真的適合放在圓柱立體表徵階段 2。

3、一年級的男生在立體表徵階段 2 比女生多很多，而在立體表徵階段 1 的 時候（如表 4-8），是女生比男生多很多，發現到在這個立體階段 2 時，

反而是男生比較多，在一年級的立體表徵階段的表現，在長方體已經發現 是有差異的，男生比女生好一點，而在圓柱上面也是，一年級的男生對於 圓柱立體表徵的表達比女生好。在其他年級就沒有像一年級的表現出那樣 的差異。

4、圓柱立體表徵階段 2 二年級是最多，佔全班的 64％，幾乎是三分之二，

跟長方體立體表徵一樣。立體表徵階段 1 及 2 是低年級最常見的表徵方式。

（三）、學童圓柱表徵發展階段 3A（前真實期 A）

階段三（前真實期 A）在這一階段，開始試圖呈現立體物的深度，看似從單 一角度繪成的。呈現的只有看得見的那一面，而學生想表達出立體的感覺，但表 達的方式，是不合理，或是不正確的，在圓柱立體表徵階段 3A，學童不再畫出

隱藏面，但圓柱立體表徵上方的圓形並沒有畫成橢圓形，或者是超過下方長方形 的寬，且長方形的底部為直線，沒有彎曲來表達圓柱立體的感覺。

圖 4-67 圖 4-68

如圖 4-67 及圖 4-68 所示，學童上面畫出一個圓形，圓的直徑可能沒有剛好 與長方形的寬一樣長，但因為沒有畫出有隱藏面，下面長方形圖形的底部，是屬 於直線，沒有彎曲的，在 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵發 展階段」是屬於階段 3A。

圖 4-69 圖 4-80

如圖 4-69 所示，與圖 4-68 不同的是：上方畫成半圓，雖然畫成半圓，但因 為沒有畫出有隱藏面，圖形的底部，是屬於直線，沒有彎曲的，也是屬於階段 3A 的，而圖 4-80 雖然長方形的底部不是直線，但畫出內凹的圖形，也是不正確 的，所以並不屬於圓柱立體表徵階段 4，而上方也畫出圓形，而非橢圓形，也是 不屬於圓柱立體表徵階段 3B，所以是屬於階段 3A 的。

表 4-10：不同年級在圓柱立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 2 2 3 4 4 0 15 女生 4 0 2 4 2 1 13 人數

合計 6 2 5 8 6 1 28 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

19﹪ 6﹪ 15﹪ 27﹪ 19﹪ 3﹪ 14﹪

如表 4-10 所示:

1、畫出這樣的圓柱立體表徵的學童，一年級與五年級所佔的比率差不多，

但可以發現四年級是比較多的人畫在這個立體表徵階段，但也只有佔全 班的四分之一。

2、而其他的年級也有畫出這立體階段的圖形，但都很少，而全部一到六年 級的學童，也只有 14％的比例，如此少的學童表現在這個圓柱立體表徵，

是否圖形的代表性相對比較於長方體立體表徵階段 3A，比較弱一些。

3、或者是可以再增加一些圖形來表達，當然不能只以年級的高低來分類立 體表徵能力，所以等到第六節再來討論這個問題，利用「吳-薛氏國小 學童 van Hiele 幾何測驗」工具，所測出的成績來瞭解學生在 van Hiele 認知理論層次是屬於哪一個層次，與學生所畫的立體表徵階段來探討之 間的關係，再來探討是否真的可以增加或是改變。

4、在這個階段，男女生之間的差異也不大，並沒有明顯的人數差別。與長 方體立體表徵類似。

（四）、學童圓柱表徵發展階段 3B（前真實期 B）

圓柱表徵發展階段 3B（前真實期 B），呈現的只有看得見的那一面，而且面 與面的相對位置都正確。局部的位置關係也慢慢修正進步，學生表達立體物的立 體深度，已經可以掌握，但表達不完整，但離正確的表達方式相當接近，如果學 童表達立體表徵時，忽略了一個小細節，或者是不小心畫錯了也是屬於這個階 段。在 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」圖式裡（如 圖 4-1），他將學童在圓柱立體表徵 3B 的圖式特徵是圓柱只錯誤在底邊，是以一 條基準線來畫，其他部分表達正確，但這樣的圖式並不能代表全部學童的圓柱立

圓柱表徵發展階段 3B（前真實期 B），呈現的只有看得見的那一面，而且面 與面的相對位置都正確。局部的位置關係也慢慢修正進步，學生表達立體物的立 體深度，已經可以掌握，但表達不完整，但離正確的表達方式相當接近，如果學 童表達立體表徵時，忽略了一個小細節，或者是不小心畫錯了也是屬於這個階 段。在 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」圖式裡（如 圖 4-1），他將學童在圓柱立體表徵 3B 的圖式特徵是圓柱只錯誤在底邊，是以一 條基準線來畫，其他部分表達正確，但這樣的圖式並不能代表全部學童的圓柱立