國小學童的三角錐立體圖畫表徵

Mitchelmore(1978)並沒有作出三角錐的立體表徵階段，雖然沒有訂定三角錐 立體表徵，但可以依據 Mitchelmore(1978)的理論去分類三角錐立體圖畫表徵，

去創造三角錐的立體表徵階段。本節分為四部分，先是探討國小學童在三角錐表 徵內容、不同性別的國小學童在三角錐立體表徵發展情況、不同年級學童的三角 錐立體表徵的表現、依據 Mitchelmore（1978）的理論創造三角錐的表徵發展階 段。

一、探討國小學童在三角錐表徵內容。

將本單元分為五個部分，利用 194 位國小學童的三角錐立體表徵的圖形來探 討圖形的意義，分別討論在國小學童三角錐圖像表徵階段 1（平面基模期）、階 段 2（立體基模期）、階段 3A（前真實期 A）、階段 3B（前真實期 B）到、階段 4

（真實期）的每一種類型的立體圖畫表徵的差異。

（一）學童三角錐表徵發展階段 1（平面基模期）

圖 4-104

在這個階段裡，學童在畫三角錐時，只能簡單畫出平面圖形，如圖 4-104 所示，

學童對於所見到的三角錐，對他而言只是單純的平面，可以只用一個三角形來表 示，其實學童可以看見畫出這樣的三角錐立體表徵的學童，在認識三角錐是不夠

的，在立體的表現上也是比較薄弱，依照 Mitchelmore（1978）所發展的「學童 立體圖畫表徵發展階段」將這些圖形都分類在表徵階段 1。

表 4-22：不同年級在三角錐立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 1 4 0 2 3 3 13 女生 6 2 2 6 1 0 17 人數

合計 7 6 2 8 4 3 30 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

22％ 18％ 6％ 27％ 13％ 9％ 15％

如表 4-22 所示：

1、通常都是一年級學童在立體表徵階段一是最多的，可是在三角錐的立體 表徵卻是四年級比較多，而且各年級都有人在階段一，這是什麼原因呢？

難道是三角錐的立體表徵對這些學童而言是難以表達，還是他們認為一 個簡單的三角形就可以表達出三角錐。

2、四年級有八個人表現在這個階段，三年級卻是最少只有兩人，在這三角 立體表徵階段一的變化，並沒有什麼規則，不管是哪一個年級，在表達三 角錐時，都有可能會畫出立體階段一的機會，但這個立體表徵階段並沒有 很多人，只佔全部學童的 15％，跟前幾節所討論的立體物並不一樣，前 幾節的立體表徵階段一所佔的比例是比較高的。

3、可以發現大部分學童在表達三角錐時，不會以為只要用一個三角形就可 以表達三角錐。

（二）、學童三角錐表徵發展階段 2（立體基模期）

在這個階段的三角錐立體表徵，學童會畫出兩個平面圖形以上，階段二（立 體基模期）立體圖由幾個面來呈現，多半包含可見面和隱藏面。不同的面畫出來 的相對位置往往不正確。這個立體表徵階段，我們可以看到學童所畫的三角錐立 體表徵雖然有很兩個面的呈現，但整體依舊是一個平面的結構，沒有立體感。學 童先畫一個簡單的三角形，然後再畫出其他部分，或是畫出隱藏面，但都可以看 出學童所畫的方式，都是以簡單的平面組合為主，或是都包含之前先畫的三角形 內，先以三角形的概念，在去表達這個表徵。

圖 4-105 圖 4-106

如圖 4-105 所示，學童畫三角錐立體表徵的時候，先將三角形畫出，在畫 出一條從頂點到底的中線，來表達三角錐兩面的可見面，這樣的表徵，先畫一個 三角形來代表三角錐，然後用簡單的直線來表達其他的可見面，這樣跟畫出三角 錐立體表徵階段 1 的學童一樣，並沒有試圖表現出三角錐的立體感，也是平面方 式的思考，所以將這個圖形定義在三角錐立體表徵階段 2。如圖 4-106 所示，學 童更多畫兩條線來表示三角錐的立體表徵，這樣的表徵方式跟圖 4-105 類似，但 學童想表達更多的東西，到表達的方式還是平面為主，而且是不對的，沒有立體 感，所以也分類在這個表徵階段。

圖 4-107 圖 4-108 圖 4-109 圖 4-110

如圖 4-107、圖 4-108、圖 4-109、圖 4-110 所示，學童畫圓錐立體表徵的 時候，先將三角形畫出，或是與圖 4-105 一樣的表徵，然後在三角形底下再畫一 個圖形，來表達三角錐下面的圖形，但這個圖形是隱藏面，是不應該表現出來的，

而且這個圖形學童會以為不是三角形，是用長方形、或是變形的圓形，當然也有 學童認為是三角形，學童並沒有去看三角錐的底部是什麼形狀，以想像的方式來 畫出這樣的表徵，這樣的表徵，學童沒有想去表達立體感，先畫一個三角形來代 表圓錐，然後畫出隱藏面，這樣跟畫出圓錐立體表徵階段 1 的學童一樣，並沒有 試圖表現出圓錐的立體感，也是平面方式的思考，所以將這個圖形定義在圓錐立 體表徵階段 2。

表 4-23：不同年級在三角錐立體表徵二的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 11 4 10 2 1 1 29 女生 7 4 4 2 1 1 19 人數

合計 18 8 14 4 2 2 48 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

56％ 24％ 42％ 13％ 6％ 6％ 25％

如表 4-23 所示，可以發現一年級有 56％的比例表現在這個階段，跟前幾節 的立體表徵不同，大部分一年級學童對於三角錐不會單純一個平面去表達，而是 畫出兩個可見面，二年級也很不少的學童在這個立體表徵階段，三年級也有很多 的學童在這個立體表徵階段，佔三年級人數的 42％，一到三年級表現在這個立 體表徵階段是比較多的，尤其是以一年級最多，而到四年級就變少了，只佔全部 四年級的 13％，五、六年級時就更少了，只有兩個人，這個立體表徵階段二對 高年級而言是比較少的。在這個立體表徵階段二佔全部學童的 25％，是四分之 一的比例。

（三）、學童三角錐表徵發展階段 3A（前真實期 A）

階段三（前真實期 A）在這一階段，開始試圖呈現立體物的深度，看似從單 一角度繪成的。呈現的只有看得見的那一面，局部的位置關係也慢慢修正進步，

而學生想表達出立體的感覺，但表達的方式是不合理，或是不正確的表達所有的 立體感，但我們看得出有表達出立體的意思。

圖 4-113 圖 4-114 圖 4-115 圖 4-116

1、如圖 4-113 及圖 4-114 所示，學童不再是單純的畫出三角形，而是希望 表達另一面的立體感，但表達的方式卻是將另一面畫成四邊形的模樣，

三角錐可見面都是三角形，但學童卻畫出四邊形，可以得知學童對於三 角錐的認知是不足夠的。

2、但我們可以看出學童已經試著去表達出三角錐的立體感，雖然所畫的表 徵方式錯誤，所以雖然表現出立體感，卻表達的方式是不對的，所以將 其歸納於三角錐立體表徵 3A。

3、而圖 4-115 所示，學童畫法與圖 4-113 類似，但是多畫了三角錐下面的 隱藏面，有想表達出立體感，但還是錯誤的表達方式。

4、如圖 4-116 所示，學童畫法與圖 4-113 類似，更多畫了一條中線，所以 也是屬於三角錐立體表徵 3A。

圖 4-117 圖 4-118 圖 4-119

如圖 4-117 所示，學童表現出的三角錐立體表徵，是將一個三角形畫出之 後，在畫出另外一個可見面，也就先畫出左邊的三角形之後，才在畫出右邊的三 角形，可以看出學童已經試著去表達出三角錐的立體感，雖然所畫的表徵方式錯 誤，所以雖然表現出立體感，卻表達的方式是不對的，所以將其歸納於三角錐立 體表徵 3A。而圖 4-118 所示，類似於圖 4-117 也是屬於這個表徵階段，而圖 4-119 是多畫一條中線，但還是跟圖 4-117 犯一樣的錯誤，所以也是屬於這個階段。

圖 4-120 圖 4-121

如圖 4-120 及圖 4-121 所示，學童在畫三角錐立體表徵不再出現一條基準 線，但有犯兩個錯誤，一是畫出隱藏面，二是隱藏面畫的不是三角形，這兩個圖，

一個畫出四邊形，一個畫出五邊形，可以發現學童對於三角錐的底部形狀並不清 楚，雖然有畫出立體的感覺，但表達的方式是不正確的，所以也是屬於在圓柱立 體表徵階段 3A，畫出這樣的表徵的學童並不多，只是少數。

表 4-24：不同年級在三角錐立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 3 5 3 1 1 2 15 女生 3 2 5 4 1 0 15 人數

合計 6 7 8 5 2 2 30 年級

人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年

級的人 數比例

19％ 21％ 24％ 17％ 6％ 6％ 15％

如表 4-24 不同年級在三角錐立體表徵階段 3A 的男、女、總人數及所佔比例 表所示，可以看出三年級在這個表徵階段是比較多的，佔全部三年級的 24％，

其次是二年級以及一年級，而四年級也有 17％的學童表現在這個表徵階段，到 了高年級就比較少一點，只剩下 6％的學童，而在三角錐立體表徵階段 3A，是佔 全部學童的 15％，能畫出這樣的表徵階段，還是有不少的學童，尤其是以三年 級比較多一點。

（四）、學童三角錐表徵發展階段 3B（前真實期 B）

三角錐表徵發展階段 3B（前真實期 B），面與面的相對位置都正確。局部的 位置關係也慢慢修正進步，學生表達立體物的立體深度，已經可以掌握，但表達 不完整，但離正確的表達方式相當接近，如果學童表達立體表徵時，忽略了一個 小細節，如透視圖應該是以虛線來畫，學童卻是以實線的方式呈現。

圖 4-122

如圖 4-122 所示，學童已經可以畫出比較完整立體感的三角錐，但卻多畫一 個面，因為學童其他部分都表達正確，只多畫一個面，一集立體感表達完整，所 以將這樣的圖形，分類在三角錐立體圖畫表徵階段 3B。

圖 4-123 圖 4-124

如圖 4-123、圖 4-124 所示，學童將三角錐的中間線畫成直線與基底線成 90 度垂直，這樣的表達方式是錯誤的，並不是垂直 90 度的三角錐，學童這樣的表 達是錯誤的，但只錯一個位置，而且也有表達出其他的立體感，所以也將這樣的 圖形分類在這個表徵階段。

圖 4-125 圖 4-126

如圖 4-125、126 所示，隱藏面應該要用虛線來表示，但學童卻是以實線的 方式來呈現，而在三角錐的其他部分表達是正確的，底部的圖形也是三角形，沒

如圖 4-125、126 所示，隱藏面應該要用虛線來表示，但學童卻是以實線的 方式來呈現，而在三角錐的其他部分表達是正確的，底部的圖形也是三角形，沒