van Hiele 理論與相關研究

l957 年，荷蘭著名教育學家van Hiele 及 Dina van Hiele-Geldof 夫婦提 出一套幾何思考發展模式，van Hiele 的理論強調學生的學習，幾何的思考有著一 定的發展層次，經由教師或引導者適當的引導，，將可協助學生達到較高層次的 幾何思考的(van Hiele, 1957； van Hiele-Geldof, 1957; Usiskin, 1982; Hoffer, 1983； van Hiele, 1986; Fuys, 1988)。van Hiele 的理論乃是以物件導向為出發點，

其幾何思考之理論，包含三大範籌，即：領悟的本質、幾何思考的層次、以及五 階段學習模式。van Hiele 將學習幾何的過程區分咸五個層次：層次一：視覺的層 次;層次二：描述的層次;層次三：理論的層次;層次四：形式邏輯的的層次;層次 五：邏輯法則的層次(吳德邦，1999； van Hiele, 1986) 。

一、van Hiele 的幾何思考層次

van Hiele 將幾何的思考層次區分成五個層次，根據 van Hiele 研究顯示，五個 層次有其次序性，學習者的發展層次一定是循序漸進，學習者需擁有前一層次的 各項能力，才能有效進行下一層次的教學活動。以下為五個幾何思考層次的內容

（van Hiele, 1986）：

(一)層次一：視覺的層次(visual)

屬於此層次的學生，藉著視覺觀察圖形的外形輪廓來辨認圖形，如長方形 是瘦瘦長長的，圓圓的東西屬於圓形，像門的形狀為長方形，像太陽的形狀為 圓形，此階段兒童的靠視覺來作幾何思考推理。並能依據圖形的外貌確認命名 比較及操作圖形，但不了解這些幾何語言的真正意義。此階段學童可以分辨、

稱呼、比較及橾弄幾何圖形。透過視覺的知覺來觀察幾何形體，以具體物的整 體輪廓來辨認圖形，因此，這階段的學童宜多安排知覺感官操作的幾何活動，

來獲得幾何圖形的正確概念。

(二)層次二:描述的層次(descriptive)

具備辨別圖形特性的能力，透過實際驗證及觀察的方法，分析幾何圖形的 組成要素及圖形的性質，也利用視覺來觀察組成幾何圖形的基本構成要素與幾 何圖形之間的關係，試圖分析幾何概念，但無法說明這些圖形特徵之間有何關 係存在。例如：會知道三角形有三個角和三個邊，卻無法解釋內角大所對的邊 就越長。又如:學生會知道正方形、長方形、菱形、平行四邊形，但卻不知道 這些幾何圖形之間有何關係存在。此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構 成要素之間的關係分析圖形，學生藉由構成要素的名稱，和構成要素之間的關 係來分析圖形。依其幾何經驗建立圖形所具有之特性，並且運用圖形之特性來 解決幾何問題，並且可以利用實際操作(如摺疊、尺量，以格子觀察或設計特 別的圖樣)的方式，此階段的學童，雖發現圖形的共有性質也能描述圖形的定 義，但不易精簡描述的過程。教學上宜安排一些製作及檢驗的活動來獲得幾何 圖形的性質。

(三)層次三:理論的層次(theoretical)

建立圖形和性質之間的關係，了解構成各種圖形的要素，並根據圖形的性 質及構成要素，進一步形成抽象的定義，探索各種幾何圖形的內在屬性、以及 瞭解圖形之間的包含關係。例如包含關係：正三角形是等腰三角形的一種，正 方形是長方形的一種等。可以透過非正式地論證，能有邏輯地去分析幾何性質 與先前學到的幾何性質作連結。也能更進一步探索幾何圖形內在性質關係及各 幾何圖形間的包含關係，如：平行四邊形是四邊形兩雙對邊相等，而不必將所 有平行四邊形的性質均描述出來才能確認是否為平行四邊形。在了解圖形內在 關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種;可以知道 n 邊多邊形的內角和 為(n 一 2)180 度等概念。

(四)層次四:形式邏輯的的層次(formal logic)

能夠經由抽象的幾何思考推理過程，來證明各種幾何的問題。能夠了解推論 的重要性，並了解到幾何定理有不同的方式證明，也能了解其充分或必要條件的 內在關係，例如:學生能知道正方形也是長方形又是平行四邊形也是菱形。可以 理解一個幾何定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題問的差異性，例 如正方形四邊等長，但四邊等長不一定是正方形。不必靠記憶公式來証明幾何問 題，用演繹邏輯證明定理，也了解不同的幾何系統。如歐氏幾何和非歐幾何。 進 而可以在一個公設系統中建立幾何理論。

(五)層次五:邏輯法則本質的層次(the nature of logical laws)

這個層次是最高的層次，達到此層次能夠了解公設化系統的意義，能夠在不 同的公設體系中，建立定理並且分析或比較不同公設系統，甚至可自創一種幾何 公設系統。達此階段的人，可以在不同的公設系統中建立定理，並且分析或比較 這些系統的特性。例如能區別歐幾里德幾何與非歐幾何的差異，也可了解抽象推 理 幾何，。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。

二、van Hiele 的幾何思考層次的特性

van Hiele（1986）指出：幾何思考層次具有某些基本固有的特性存在，而許 多學者對於van Hiele 幾何思考層次的特性也有相當程度的描述。根據 Crowley

（1987）對於 van Hiele 幾何思考層次的特性的描述，他提出了五個特性，茲將 這五個特性分述如下(吳德邦，1998; 譚寧君，1993； Crowley, 1987； van Hiele, 1986):

(一)次序性（Sequential）

在van Hiele 幾何思考的發展層次中，學習者的發展層次一定是循序漸進，

在達到任何一個層次之前，必須擁有前一層次的各項概念與策略（Crowley, 1987）因此學生不可能已達第二層次而未達第一層次，或已達到第三層次而 未達第二層次。

(二)增強性或加深加廣性（Advancement）

從一個層次進階到下一個更高的層次，是受到教學的影響而不是因年齡 因素，教師適當的教學與引導可以提升學童的幾何思考概念，但是無法使 學生直接跳過某一層次，如幾何層次一的學童不會沒有經過幾何層次二，

就直接達到幾何層次三，因為在每一幾何思考層次中，先前一個層次的隱 藏元素為下一個層次的顯現因素，即某一層次的內在性質為下一層次的外 在因素。在某一層次只有圖形的外在因素被接受了，要在下一層次才能被 分析研究，如果教導程度較高的學童超過他實際層次的其他能力，亦是可 行的，但不宜強迫灌輸。因為這些方法或許能夠增強過程發展，但也有一 些過程會阻礙各層次間的轉換（Crowley, 1987）。

(三)內因性與外因性（Intrinsic and Extrinsic）

先前一個層次的隱藏元素為下一個層次的顯現因素，即某一層次的內在性 質為下一層次的外在因素。例如：在層次一中，僅由圖形的外觀來辨認圖 形，然到了第二層次，則是發現由圖形的特徵和組成要素來進行分析。

(四)語言性（Linguistics）

每一個層次均有其獨特的語言性，擁有特定的語言符號以及和語言符號 的相互關連系統，相同的語言在不同的層次解讀也是不同，因此正確的概 念在某一層次中，不代表可行於另一個層次時，這個幾何概念就必須要改

變。如：正三角形可稱為等腰三角形，在第二層次的學生可能無法將上述 觀念概念化，但到了第三層次即可能理解其間的關連性（Crowley, 1987）。

(五)不配合性（Mismatch）

不同思考層次的人，彼此間相互的溝通、暸解是有問題的。低層次學童 無法暸解較高層次的課程或是幾何問題。老師的教學是高於學童的層次，

那麼期望的教學效果或是學習歷程就不會產生，對於教師的教學過程、教 材內容、教具的選擇、教具的準備和語彙的應用，均是高於學童的層次，

學童是無法完全理解其過程與結果，反而產生更多的疑惑與問題（Crowley, 1987）。

小結：

國小低年級學童大都均在第一層次的視覺期，故其對幾何圖形的了解須 藉由實物的操作、堆積、分類、觀察、描述與比較，較為知覺性的方式，經 過無數次具體經驗，使其在具備豐富視覺層次經驗後，進而達到較高層次。

中年級學童大約可以達到第二層，高年級學童大約在第二層至第三層的過渡 時期。

就由瞭解幾何層次之間的特性，從學童的幾何思考層次去觀察學童的立 體圖畫表徵能力，試圖找出此種關係間的性質，是本研究所努力的。