第四章 研究結果與討論
第五節 國小學童的三角柱立體圖畫表徵
Mitchelmore(1978)並沒有作出三角柱的立體表徵階段，雖然沒有訂定三角柱 立體表徵，但還是依據 Mitchelmore(1978)的理論去分類三角柱立體圖畫表徵，
去創造三角柱的立體表徵階段。本節分為四部分，先是探討國小學童在三角柱表 徵內容、不同性別的國小學童在三角柱立體表徵發展情況、不同年級學童的三角 柱立體表徵的表現、依據 Mitchelmore（1978）的理論創造三角柱的表徵發展階 段。
一、探討國小學童在三角柱表徵內容。
將本單元分為五個部分，利用 194 位國小學童的三角柱立體表徵的圖形來探 討圖形的意義，分別討論在國小學童三角柱圖像表徵階段 1（平面基模期）、階 段 2（立體基模期）、階段 3A（前真實期 A）、階段 3B（前真實期 B）到、階段 4
（真實期）的每一種類型的立體圖畫表徵的差異。
（一）學童三角柱表徵發展階段 1（平面基模期）
圖 4-130 圖 4-131
在這個階段裡，學童在畫三角柱時，只能簡單畫出平面圖形，如圖 4-130 所示，
學童對於所見到的三角柱，對他而言只是單純的平面，可以只用一個長方形來表 示，其實學童可以看見畫出這樣的三角柱立體表徵的學童，在認識三角柱是不夠 的，在立體的表現上也是比較薄弱。如圖 4-131 所示，學童可以發現三角柱不是
長方形的模樣，雖然表徵出來不是長方形，但依舊是以一個平面來表示，依照 Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」將這些圖形都分 類在表徵階段 1。
表 4-29：不同年級在三角柱立體表徵一的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計
男生 5 1 0 0 2 0 8
女生 5 2 1 0 0 0 8
人數
合計 10 3 1 0 2 0 16 年級
人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年
級的人 數比例
31% 9% 3% 0% 6% 0% 8%
如表 4-29 所示：
1、在三角柱立體表徵階段 1 最多的是國小一年級學童，其他年級就相當的 少了很多，跟之前的立體物一樣所以並不意外，可是二年級在這個階段 就明顯的減少，只有三人，三到六年級也是少數幾人，似乎只有一年級 才會表現在這個階段，這樣明顯的差異，跟之前的任何立體物是有很大 的不同。
2、而這一次一到六年級表現在表徵階段 1 的國小學童明顯的少很多，只有 8%的比例，比之前任何一個立體表徵階段 1 都要來的少，大部分國小學 童對於三角柱而言，並不會只用單純的一個平面來表示，可以用更多的 面來表達，更瞭解單一平面與三角錐是不同的，是不足代表三角錐的，
這一點是異於其他立體物表徵，是不是也代表其他角柱的圖形，學童也 是這樣的表現呢？
3、從男女之間的差異來看，從表來看，三角柱表徵階段 1 的性別差異並不 大。
（二）、學童三角柱表徵發展階段 2（立體基模期）
在這個階段的三角柱立體表徵，學童會畫出兩個平面圖形以上，階段二（立 體基模期）立體圖由幾個面來呈現，多半包含可見面和隱藏面。不同的面畫出來 的相對位置往往不正確。這個立體表徵階段，我們可以看到學童所畫的三角柱立 體表徵雖然有很兩個面的呈現，但整體依舊是一個平面的結構，沒有立體感。
圖 4-132 圖 4-133
如圖 4-132，圖 4-133 所示，學童畫出兩個可見面，畫圖 4-132 的學童是畫出 三角柱的上方，以及下面一個方形，而畫圖 4-133 的學童，卻忽略了上方可見面，
只畫出下方兩個可見面，由圖可知，圖示是相當平面的，沒有任何的立體感覺，
只是兩個平面的組合，沒有試圖表達出三角柱的立體感，所以是屬於三角柱表徵 階段 2。
圖 4-134
如圖 4-134 所示，學童將可見面三個通通都畫出來了，比圖 4-132 與圖 4-133 多了一個可見面，甚至可以說是兩個圖的組合，圖 14-134 當然表達的比較好，
有將所有的可見面的表現出來，雖然還是平面的方式，從圖中可以看得出來，三 角柱的表徵方式依舊是平面的組合，並沒有出現任何的立體感，所以也是屬於立
圖 4-135
如圖 4-134 所示，學童還畫出三角柱底部的一個隱藏面，隱藏面的表達也 是很單純的三角形，看不出有任何的立體感的表現，當然表達隱藏面是比圖 4-132 表徵還糟糕，不應該去表達隱藏面，學童忽略的三角柱中間的一個可見面，卻去 表達下面的隱藏面，是這個圖形比較有趣的一點，而這樣的圖形依舊是是屬於表 徵階段 2。
表 4-30：不同年級在三角柱立體表徵 2 的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 9 8 3 2 1 2 25 女生 8 3 5 3 1 1 21 人數
合計 17 11 8 5 2 3 46 年級
人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年
級的人 數比例
53% 33% 24% 17% 6% 9% 24%
如表 4-30 所示，在三角柱立體表徵階段 2，一年級還是最多的，佔全部一 年級學童的 53％，與三角錐類似，跟前幾節的立體表徵不同，大部分一年級學 童對於三角錐不會單純一個平面去表達，而是畫出兩個可見面以上，但還是平面 的方式，而從表可知，年級越高表現在表徵階段 2 就越來越少，但了高年級只剩 下少數的學童表現在這個表徵階段，一到六年級的學童有 24％表現在這個表徵 階段，這裡的表徵是滿多學童表現的，也是滿重要的一個表徵階段。
（三）、學童三角柱表徵發展階段 3A（前真實期 A）
階段三（前真實期 A）在這一階段，開始試圖呈現立體物的深度，看似從單 一角度繪成的。呈現的只有看得見的那一面，局部的位置關係也慢慢修正進步，
而學生想表達出立體的感覺，但表達的方式是不合理，或是不正確的表達所有的 立體感，但我們看得出有表達出立體的意思。
圖 4-136 圖 4-137
如圖 4-136 所示，學童試圖去表現三角柱的立體感，利用斜線來表達，可是 表達的卻是上方，下方的立體感沒有表達出來，而表達的方式也是錯誤的，也只 有畫出三角柱的兩個可見面，忽略了上方的可見面，所以將這個表徵分類在這個 表徵階段 3A，而圖 4-137 所示，學童有試圖表現三角柱下方的立體，但表達並 不完整，而且與圖 4-136 一樣，忽略了三角柱上方的可見面，所以也將其歸類在 這個表徵階段。
圖 4-138 圖 4-139 圖 4-140
四角柱，接近長方體的立體表徵，學童認為長方體的立體表徵可以代表是三角柱 的立體表徵，有這樣的想法，可以方線學童對於三角柱與四角柱的認知是有問題 的，對於三角柱的不熟悉，甚至用四角柱的方式表達，可以說學童對三角柱的性 質與瞭解是不夠的，甚至是誤解為是四角柱，但這個三個圖形表徵，學童有試圖 畫出立體感，雖然表達成長方體的方式是錯誤的，還是將其分類於三角柱立體表 徵階段 3A。
圖 4-141
如圖 4-141 所示，雖然在畫三角柱的時候，要求學童以固定的角度來畫，
但還是有學童畫出另外一個角度，學童畫這個三角柱的表徵，畫出了上方的可見 面也畫出下方的隱藏面，表達的方式是錯誤的，雖然如此但我們可以看到學童上 方的三角形是扁平的，不是正三角形，下方三角形也跟上方的形狀一樣，不是單 純的平面組合，三角形是有變形成為扁平的，所以可以得知學童有試圖表現立體 的感覺，但其表達的方式是不正確的，與正確的三角柱立體表徵有很大的差異，
所以將其圖形分類在三角柱表徵階段 3A。
圖 4-142 圖 4-143
如圖 4-142 所示，與表徵階段 2 的學童所畫出的表徵最大的差異，就是三角 柱的可見面表達位置是正確的，而且不再是以兩個長方形以及一個三角形的組 合，長方形是有變形成為梯形，雖然如此，但與表徵成為正確的三角柱，還是很 大的差別，三角柱底部的立體感沒有任何的呈現，也沒有試圖去表達，所以也將 這樣的表徵分類於這個立體表徵階段，而圖 4-143 所示，與圖 4-142 有類似的地 方，但卻又多畫了比底部的隱藏面，而將兩邊的四邊形變形為等腰梯形，看不出 學童畫這個表徵時，看三角柱的角度為何，但可以得知這樣的表達方式是不正確 的，所以也分類在三角柱表徵階段 3A。
表 4-31：不同年級在三角柱立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 合計 男生 0 7 10 3 5 2 27 女生 3 9 6 6 4 4 32 人數
合計 3 16 16 9 9 6 59 年級
人數 32 33 33 30 32 34 194 佔各年
級的人 數比例
6% 48% 48% 30% 28% 18% 30%
如表 4-31 不同年級在三角柱立體表徵 3A 的男、女、總人數及所佔比例表所 示， 二年級與三年級學童是最多的表現在立體表徵階段 3A，將近有一半的學童，
可以說大部分二年級與三年級的學童對於三角柱，是試圖去表現立體的感覺，而 不只是單純用平面組合的方式，四年級學童雖也有 30％的比例在這個階段，但 是比三年級少的，相對的發現越高年級也漸漸的變少，而從一到六年級的學童，
我們發現有 30％的學童在這個表徵階段，這個表徵階段也是有滿多學童表現的，
男女之間的差異，一到六年級是不明顯的。
（四）、學童三角柱表徵發展階段 3B（前真實期 B）
三角柱表徵發展階段 3B（前真實期 B），面與面的相對位置都正確。局部的 位置關係也慢慢修正進步，學生表達立體物的立體深度，已經可以掌握，但表達 不完整，但離正確的表達方式相當接近，如果學童表達立體表徵時，忽略了一個 小細節，或者是不小心畫錯了也是屬於這個階段，如透視圖應該是以虛線來畫，
學童卻是以實線的方式呈現。
圖 4-144 圖 4-145
如圖 4-144、圖 145 所示，學童畫三角柱的表徵，相對的位置表達是正確的，
三角柱底部的表達不再是以基底線的方式，而是兩條斜線，這樣的表達比三角柱 表徵階段 3A 還要更好，而圖 4-144 來看，學童已經畫的相當接近真實的三角柱 表徵，但所畫的三角柱兩側的直線，不是向下垂直的直線，雖然所畫的表徵很接
三角柱底部的表達不再是以基底線的方式，而是兩條斜線，這樣的表達比三角柱 表徵階段 3A 還要更好，而圖 4-144 來看，學童已經畫的相當接近真實的三角柱 表徵，但所畫的三角柱兩側的直線，不是向下垂直的直線，雖然所畫的表徵很接